數(shù)學(xué)?？?jí)狠S題九年級(jí)人教版專題09旋轉(zhuǎn)兩種解題模型含答案及解析

專題09旋轉(zhuǎn)兩種解題模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2題型一：奔馳模型 2題型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型 15壓軸能力測(cè)評(píng) 21模型一：奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問(wèn)題模型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型最值問(wèn)題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國(guó)范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來(lái)，所以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題。題型一：奔馳模型一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?順平縣期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置．連接，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．二．填空題（共4小題）2．（2023秋?北屯市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在第一象限，的平分線交軸于點(diǎn)，把繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊與重合，得到，連接．則，點(diǎn)坐標(biāo)為．3．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知在中，，，（如圖），把繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，將點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)、，如果△為直角三角形，那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離為．4．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形中，將邊繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊的垂直平分線上的點(diǎn)處時(shí)，的度數(shù)為．5．（2021秋?盤龍區(qū)校級(jí)期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中正確有（填序號(hào)）①是等邊三角形②是直角三角形③④三．解答題（共6小題）6．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，一塊等腰直角的三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，使，，三點(diǎn)在同一直線上，連接，求的度數(shù)．7．（2021秋?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)期中）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求的大??；（2）如圖2，若為中點(diǎn)，求的最大值．8．（2022秋?東勝區(qū)校級(jí)期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的△，連接．若，，，則的長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為．（變式猜想）（2）如圖2，若點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，請(qǐng)猜想的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長(zhǎng)度為．9．（2023秋?梁山縣期中）如圖，是正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，．若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△．（1）求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；（2）求的度數(shù)．10．（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為三角形．的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1，等邊（邊長(zhǎng)為按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊（邊長(zhǎng)為，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，，如圖2；在圖2中，請(qǐng)直接寫出線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接，，與相交于點(diǎn)，連，如圖3；在圖3中線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小是多少？題型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知，，，點(diǎn)在內(nèi)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．則的最小值為A．10 B． C． D．二．解答題（共2小題）2．（臺(tái)州期中）（1）知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：．②定義：在所在平面上存在一點(diǎn)，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離．（2）知識(shí)遷移①我們有如下探尋（其中，，均小于的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在的外部以為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出的費(fèi)馬點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖）．（3）知識(shí)應(yīng)用①判斷題（正確的打，錯(cuò)誤的打?。我馊切蔚馁M(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)；ⅱ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．②已知正方形，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且的最小值為，求正方形的邊長(zhǎng)．3．（宿豫區(qū)校級(jí)期中）探究問(wèn)題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知所在平面上存在一點(diǎn)，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離；②如圖（B），若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有．此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問(wèn)題：如圖（C），已知點(diǎn)為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中、、均小于的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在的外部以為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)，連接、、、．易知；第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出的費(fèi)馬點(diǎn)，并請(qǐng)指出線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離．（3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見(jiàn)的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問(wèn)題，解放軍某部來(lái)到云南某地打井取水．已知三村莊、、構(gòu)成了如圖（E）所示的（其中、、均小于，現(xiàn)選取一點(diǎn)打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值．1．（連城縣期中）（1）如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，已知，，，求的度數(shù)．要直接求的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．2．（西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．求：（1）點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；（2）求的度數(shù)．3．（漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，是等腰內(nèi)一點(diǎn)，，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）在（1）中，若，，，求的大??；（3）當(dāng)時(shí)，且，，，則的面積是（直接填答案）4．（漢陽(yáng)區(qū)期中）（1）閱讀證明①如圖1，在所在平面上存在一點(diǎn)，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離．②如圖2，已知點(diǎn)為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：．（2）知識(shí)遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋（其中，，均小于的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖3，在的外部以為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓；第二步：在上取一點(diǎn)，連接，，，．易知；第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出的費(fèi)馬點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離．（3）知識(shí)應(yīng)用已知三村莊，，構(gòu)成了如圖4所示的（其中，，均小于，現(xiàn)選取一點(diǎn)打水井，使水井到三村莊，，所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最?。筝斔芸傞L(zhǎng)度的最小值．5．（當(dāng)涂縣校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）在（1）的圖形中，求的度數(shù)．

專題09旋轉(zhuǎn)兩種解題模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2題型一：奔馳模型 2題型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型 15壓軸能力測(cè)評(píng) 21模型一：奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問(wèn)題模型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型最值問(wèn)題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國(guó)范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來(lái)，所以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題。題型一：奔馳模型一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?順平縣期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置．連接，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，即可判斷；依據(jù)是等邊三角形，即可得到，進(jìn)而得出，求出即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：是等邊三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，即是直角三角形，故正確，是等邊三角形，，故正確，，故正確，若，則，與，，不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．二．填空題（共4小題）2．（2023秋?北屯市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在第一象限，的平分線交軸于點(diǎn)，把繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊與重合，得到，連接．則，點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是可得，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的夾角為旋轉(zhuǎn)角求出，再判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，根據(jù)，的平分線交軸于點(diǎn)，，利用三角函數(shù)求出，從而得到，再求出，然后寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：是等邊三角形，，繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)邊與重合，旋轉(zhuǎn)角，，是等邊三角形，，，的坐標(biāo)是，的平分線交軸于點(diǎn)，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：；點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)并判斷出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知在中，，，（如圖），把繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，將點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)、，如果△為直角三角形，那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離為或．【分析】根據(jù)△為直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，△為直角三角形；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，△為直角三角形，依據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，△為直角三角形，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，△為直角三角形，同理可得，，，；綜上所述，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用分類思想是本題的關(guān)鍵．4．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形中，將邊繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊的垂直平分線上的點(diǎn)處時(shí)，的度數(shù)為或．【分析】分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得是等邊三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)，是的垂直平分線，四邊形是正方形，垂直平分，，將邊繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，是等邊三角形，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的左邊時(shí)，同理可得△是等邊三角形，，，，，，，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?盤龍區(qū)校級(jí)期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中正確有①②③（填序號(hào)）①是等邊三角形②是直角三角形③④【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，根據(jù)全等得出，，，，求出，即可判斷①，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②；求出，，即可判斷③，求出和判斷④．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，即是直角三角形，是等邊三角形，，，，，即，故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）6．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，一塊等腰直角的三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，使，，三點(diǎn)在同一直線上，連接，求的度數(shù)．【分析】由已知直接可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，而，，即得，由此即可求出的度數(shù)．【解答】解：等腰直角三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，，，，，的度數(shù)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．7．（2021秋?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)期中）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求的大小；（2）如圖2，若為中點(diǎn)，求的最大值．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）如圖2，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)證明，然后證明、、、四點(diǎn)共圓，接著利用圓是圓中最長(zhǎng)的弦即可求解．【解答】解：（1）如圖1，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好在上，，，，，；（2）如圖2，連接，，為中點(diǎn)，，，而，、、、四點(diǎn)共圓，為這個(gè)圓的直徑，為這個(gè)圓的一條弦，，，，的最大值為8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)也利用了含角的直角三角形的性質(zhì)，有一定的綜合性．8．（2022秋?東勝區(qū)校級(jí)期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的△，連接．若，，，則的長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為．（變式猜想）（2）如圖2，若點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，請(qǐng)猜想的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，則為等腰直角三角形，再由勾股定理得，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則是等腰直角三角形，得，得，然后由勾股定理即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得是等邊三角形，則，，，，再由勾股定理的逆定理得為直角三角形，即可求解；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則是等腰直角三角形，得，，再證，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的△，，，，，為等腰直角三角形，，，，在△中，由勾股定理得：，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，如圖1所示：，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：，；（2）的度數(shù)為，理由如下：是等邊三角形，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，如圖2所示：則是等邊三角形，，，，，，為直角三角形，，；（3），是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，如圖3所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，是等腰直角三角形，，，，是直角三角形，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和勾股定理的逆定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．9．（2023秋?梁山縣期中）如圖，是正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，．若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△．（1）求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；（2）求的度數(shù)．【分析】（1）由已知繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△，可得△，，旋轉(zhuǎn)角，所以為等邊三角形，即可求得；（2）由為等邊三角形，得，在△中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出，可求的度數(shù)．【解答】解：（1）連接，由題意可知，，，而，所以度．故為等邊三角形，所以；（2）利用勾股定理的逆定理可知：，所以為直角三角形，且可求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．10．（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數(shù)；（2）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再求出，然后利用勾股定理得出，等量代換得出．【解答】解：（1）如圖1，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數(shù)為．故答案為：直角；；（2）．理由如下：如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．11．（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1，等邊（邊長(zhǎng)為按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊（邊長(zhǎng)為，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，，如圖2；在圖2中，請(qǐng)直接寫出線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接，，與相交于點(diǎn)，連，如圖3；在圖3中線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小是多少？【分析】（1）利用證明即可；（2）利用證明，得，，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案；（3）點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)或最短．【解答】解：（1）；將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，在和中，，，；（2），，理由如下：設(shè)與交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度，，與是等邊三角形，，，，，，，，（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)或最短．當(dāng)為時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，等于；當(dāng)為（或時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，等于．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．題型二：費(fèi)馬點(diǎn)模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知，，，點(diǎn)在內(nèi)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．則的最小值為A．10 B． C． D．【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，于是可得為等邊三角形，進(jìn)而得到，利用含30度的直角三角形性質(zhì)可得，，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，，，，，為等邊三角形，，，，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，取得最小值為，即取得最小值為，，，，，，，在中，，取得最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．解答題（共2小題）2．（臺(tái)州期中）（1）知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：．②定義：在所在平面上存在一點(diǎn)，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離．（2）知識(shí)遷移①我們有如下探尋（其中，，均小于的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在的外部以為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出的費(fèi)馬點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖）．（3）知識(shí)應(yīng)用①判斷題（正確的打，錯(cuò)誤的打?。我馊切蔚馁M(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)；ⅱ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．②已知正方形，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且的最小值為，求正方形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）①根據(jù)已知首先得出為等邊三角形，進(jìn)而得出，即；（2）①利用（1）中結(jié)論得出；以及線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短”容易獲解；②畫出圖形即可；也可以將繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作，然后在上截取，則△是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的定義直接判定即可；②將沿點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△，如圖5，根據(jù)的最小值為，得的最小值為，即，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的邊長(zhǎng)．【解答】（1）①證明：在上取一點(diǎn)，使，連接，是等邊三角形，，又，是正三角形，，，，又，，，，；（4分）（2）①如圖2，得：，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離，故答案為：；（6分）②過(guò)和分別向外作等邊三角形，連接，，交點(diǎn)即為．（過(guò)或作外接圓視作與圖2相同的方法，不得分）．（8分）（3）①?。?；ⅱ．當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求三角形的費(fèi)馬點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)（10分）故答案為：，，，；②解：將沿點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△，如圖5，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，易得：，，，，，，△是正三角形，，的最小值為，的最小值為，，，，在同一直線上，即，（12分）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，，，在△中，，，得：，，在△中，由勾股定理得：，解得：（舍去）正方形的邊長(zhǎng)為2．（14分）【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，也是閱讀理解型問(wèn)題，主要考查了新定義：三角形費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離，還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識(shí)．難度很大，理解新定義是本題的關(guān)鍵．3．（宿豫區(qū)校級(jí)期中）探究問(wèn)題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知所在平面上存在一點(diǎn)，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離；②如圖（B），若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有．此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問(wèn)題：如圖（C），已知點(diǎn)為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中、、均小于的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在的外部以為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)，連接、、、．易知；第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出的費(fèi)馬點(diǎn)，并請(qǐng)指出線段的長(zhǎng)度即為的費(fèi)馬距離．（3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見(jiàn)的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問(wèn)題，解放軍某部來(lái)到云南某地打井取水．已知三村莊、、構(gòu)成了如圖（E）所示的（其中、、均小于，現(xiàn)選取一點(diǎn)打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值．【分析】（2）知識(shí)遷移①問(wèn)，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長(zhǎng)，即可獲證．②問(wèn)，借用①問(wèn)結(jié)論，及線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短”數(shù)學(xué)容易獲解．（3）知識(shí)應(yīng)用，在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再求解．【解答】（2）①證明：由托勒密定理可知是等邊三角形，，②、，（3）解：如圖，以為邊長(zhǎng)在的外部作等邊，連接，則知線段的長(zhǎng)即為最短距離．為等邊三角形，，，，，，在中，，，，從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形等知識(shí)．難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研問(wèn)題和探索問(wèn)題的精神．1．（連城縣期中）（1）如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，已知，，，求的度數(shù)．要直接求的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．【分析】（1）如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．只要證明，推出，，再利用勾股定理的逆定理即可解決問(wèn)題；（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，想辦法證明是等腰三角形即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，，是等邊三角形，，，，，，在中，，，，故答案為：，，，90．（2）解：，，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，，，，為等腰直角三角形，，，在中，，，，，，為直角三角形，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．2．（西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．求：（1）點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；（2）求的度數(shù)．【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，于是可判斷是等邊三角形，所以；（2）先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，再加上，然后計(jì)算即可．【解答】解：（1）連接，如圖，是等邊三角形，，是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，，，，，是等邊三角形，；（2），，，而，，是直角三角形，且，是等邊三角形，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．3．（漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，是等腰內(nèi)一點(diǎn)，，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）在（1）中，若，，，求的大?。唬?）當(dāng)時(shí)，且，，，則的面積是（直接填答案）【分析】（1）由，可知點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，在的下方過(guò)點(diǎn)作的垂線，并且在垂線上截取，則為點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)以后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，△即為所求；（2）連接，求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)全等三角形的面積相等求出與的面積之和等于四邊形的面積，然后根據(jù)等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解，同理求出和的面積的和，和的面積的和，從而求出的面積，然后根據(jù)的面積的面積與的面積的和計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）如圖1所示，△即為所求；（2）如圖2，連接．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)