2024屆高考數(shù)學(xué)易錯題《統(tǒng)計》含答案解析

高中

專題13統(tǒng)計

一題型一：頻率分布直方圖、總體取值規(guī)律口一易錯點：統(tǒng)計用表中概念不清、識圖不準(zhǔn)致誤

——題型二：頻率分布直方圖特征數(shù)考查一易錯點：統(tǒng)計中的數(shù)字特征的實際意義理解不清楚致誤

統(tǒng)計?------題型三：方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求算易錯點：運用數(shù)字特征作評價時考慮不周

——題型四：百分位數(shù)的考查一、易錯點：忽略百分位數(shù)兩種情況的選取

一題型五：統(tǒng)計案例易錯點：忽略相關(guān)性檢驗而出錯

易錯點一：統(tǒng)計用表中概念不清、識圖不準(zhǔn)致誤（頻率分布直方

圖、總體取值規(guī)律）

頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

①求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的基

②決定組距與組數(shù)

將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距,并且組距應(yīng)力求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分

布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表

小組頻數(shù)

各小組的頻率=

樣本容量

⑤畫頻率分布直方圖

縱軸表示暨，臂實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積=組

組距組距

距、常=頻率.

頻率分布直方圖的性質(zhì)

①因為小矩形的面積=組距X空率=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,

組距

頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

高中1

高中

⑤頻數(shù)

=樣本容量.

相應(yīng)的頻率

④頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一

范圍內(nèi)的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性.

易錯提醒：頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個完全不同的概念，考生應(yīng)注意兩者之間

的區(qū)別.雖然它們的橫軸表示的內(nèi)容是相同的，但是頻率分布條形圖的縱軸表示頻率；頻率

分布直方圖的縱軸表示頻率與組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積.

三9

例：如圖所示是某公司（共有員工300人）2021年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此

可知，員工中年薪在1.4萬元?1.6萬元之間的共有人.

易錯分析：解本題容易出現(xiàn)的錯誤是審題不細(xì)，對所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在

1.4萬元?1.6萬元之間的頻率為1-（0.02+0.08+0.10）x2=0.60,從而得到員工中年薪在1.4

萬元?1.6萬元之間的共有300x0.60=180（人）的錯誤結(jié)論.

正解：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元?1.6萬元之間的頻率為

1-（0.02+0.08+0.08+0.10+0.10）x2=0.24,所以員工中年薪在1.4萬元?1.6萬元之間的共

有300x0.24=72（人）.故72.

易錯警示:考生誤認(rèn)為頻率分布直方圖中縱軸表示的是頻率,這是錯誤的，而是“頻率/組距”,

所以頻率對應(yīng)的是各矩形的面積.

變式1：某大學(xué)有男生2000名.為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男

生的體重，并將這100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：［54,58）、［58,62）、［62,66）、

［66,70）、［70,74）、［74,78］,繪制成如下的頻率分布直方圖：

高中2

高中

該校體重(單位：kg)在區(qū)間[70,78]上的男生大約有人.

變式2：現(xiàn)對某類文物進(jìn)行某種物性指標(biāo)檢測，從1000件中隨機抽取了200件，測量物性指

標(biāo)值，得到如下頻率分布直方圖，據(jù)此估計這1000件文物中物性指標(biāo)值不小于95的件數(shù)

其中平均氣溫的范圍是[20,26],樣本數(shù)據(jù)的分組為[20,21),[21,22),[22,23),[23,

24),[24,25),[25,26].已知樣本中平均氣溫低于22。(3的城市個數(shù)為H,樣本中平均

氣溫不低于25℃的城市個數(shù)是

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1.已知某班全體學(xué)生在某次數(shù)學(xué)考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示,

則圖中。所代表的數(shù)值是.

2.某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競賽成績均不

低于90分.將這400名學(xué)生的競賽成績分組如下:

[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的頻率分布直方圖如圖所示,

則這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為

3.從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖),其中樣本數(shù)據(jù)分組[100/10),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150),

據(jù)的分組依次為[40,40.5）,[40.5,41）,[41,41.5）,[41.5,42],據(jù)此繪制出如圖所示的頻率分布直

方圖，則重量在[40,41）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為.

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5.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)

過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

頻率頻率

組距O4組距

0.040O.O3

0.0360.O3

0.03406.O3

0.0120.010-------------------------------

0.0020.002----------------------------?,

O95100105110115120125130指標(biāo)o707580859095100105指標(biāo)

患病者未患病者

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值。，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于

或等于C的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為Me）;

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為式C）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生

的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.設(shè)函數(shù)〃c）=p（c）+q（c）,則函數(shù)〃c）在區(qū)間［95,105］取

得最小值時。=.

6.某大學(xué)有男生10000名.為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男生

的體重，并將這100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：［54,58）、［58,62）、［62,66）、

［66,70）、［70,74）、［74,78］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，該校體重（單位：kg）

在區(qū)間［70,78］上的男生大約有人.

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7.某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測

試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照［11.5,12）,［12,12.5）,…，［15.5,16］分成9組，制成了如

圖所示的頻率分布直方圖.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績大于13.25秒的頻

率是.

八頻率

組距

0.52--------------------------------

a---------------------

0.30---------------

S16

S2

Sc8

Slul4

16100米成績（秒）

8.某工廠對一批產(chǎn)品的長度（單位：mm）進(jìn)行檢驗，將抽查的產(chǎn)品所得數(shù)據(jù)分為五組，

整理后得到的頻率分布直方圖如圖所示，若長度在20mm以下的產(chǎn)品有30個，則長度在區(qū)

間［20,30）內(nèi)的產(chǎn)品個數(shù)為.

4頻率

TWE

0.08卜--------1~I

4

O..03

。02

。0

°101520253035長度/mm

9.某中學(xué)為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，在全體學(xué)生中隨機抽取200名，統(tǒng)計這200名學(xué)生

某次數(shù)學(xué)考試的成績，將所得的數(shù)據(jù)分為7組：［30,40）,［40,50）,…，［80,90）,［90,100］,

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該次數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的

10.某區(qū)為了解全區(qū)12000名高二學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機抽取了1000

名學(xué)生進(jìn)行體能測試，并將這1000名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖.根據(jù)此

頻率分布直方圖，這1000名學(xué)生平均成績的估計值為.

若第6組的頻率是第3組頻率的2倍，則第6組的頻率是.

12.節(jié)約用水是中華民族的傳統(tǒng)美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即

確定一個合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)X（噸），用水量不超過X的部分按平價收費，超過X的部

分按議價收費.為此希望已經(jīng)學(xué)習(xí)過統(tǒng)計的小明，來給出建議.為了了解全市居民用水量的

分布情況，小明通過隨機走訪，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)

按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該市政府希

望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），如果你是小明，你覺得x的估計值為一

（精確到小數(shù)點后1位）

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頻率

組距

2

oS..45

o

Q

616

s12

sC8

sII4

CJ

II

U00.51.522.533.544.5月均用

水量/噸

易錯點二：統(tǒng)計中的數(shù)字特征的實際意義理解不清楚致誤（頻率

分布直方圖特征數(shù)考查）

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

②中位數(shù)：把T?組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，處在中間位置的數(shù)（或中間兩個

數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

_]1n

③平均數(shù)：如果〃個數(shù)Xl，X2,...?Xn，那么XX,.叫做這"個

=-（XI+X2+-+X?）=-E

nn,-=1

數(shù)的平均數(shù).

總體集中趨勢的估計

①平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集

中趨勢.

②一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、

中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾

數(shù).

頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法

①樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和近似代替.

②在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.

③將最高小矩形所在的區(qū)間中點作為眾數(shù)的估計值.

易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者.在

頻率分布直方圖中：

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);

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(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以

小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

三

例.某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖,

估計該班本次測試眾數(shù)為.

變式1：為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇自行車，他記錄了100次騎車

所用時間(單位：分鐘)，得到頻率分布直方圖，則騎車時間的眾數(shù)的估計值是分鐘

頻率

騎車時間

變式2：數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，四名

同學(xué)的部分統(tǒng)計結(jié)果如下:

甲同學(xué)：中位數(shù)為3,方差為2.8；乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4,方差為1.04；

丙同學(xué)：中位數(shù)為3,眾數(shù)為3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3,中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是同學(xué).

變式3：以下5個命題中真命題的序號有.

①樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征中，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)

據(jù)全體的信息;

②若數(shù)據(jù)A，4，與，…，x”的標(biāo)準(zhǔn)差為S,則數(shù)據(jù)叫+，，ax2+b,ax3+b,axn+b

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的標(biāo)準(zhǔn)差為aS；

③將二進(jìn)制數(shù)11001000⑵轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)是200；

3

④x是區(qū)間[0,5]內(nèi)任意一個整數(shù)，則滿足“x<3”的概率是:

1.2022年11月卡塔爾世界杯如期舉行，這是世界足球的一場盛宴.為了了解全民對足球

的熱愛程度，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了1000名觀眾進(jìn)行對足球“喜愛度”的調(diào)

查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖.圖中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)

估計值為87.5,則片.

2.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分

(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為叫，眾數(shù)為名,平均數(shù)為1則也，加”尤的大小

關(guān)系是

頻數(shù)10

10—

8

6

6

4

2n----■-n--2Q--2-2---

2ul±dininnn

n345678910得分/分

3.《中國居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為

了解某地中學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，測量他們的體重

(單位：千克)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]

分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的中位

數(shù)是.

高中10

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4.為了解某校高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成

績，得到頻率分布直方圖如圖所示.請根據(jù)以上信息，估計該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)

為.（結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位）

5.2021年某省高考體育百米測試中，成績?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個樣

本，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組［12,13）,第二組［13,14）,…，第六組［17,18］,

得到如下頻率分布直方圖.則該100名考生的成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）是.

6.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)、中位

數(shù)的估計值分別為.

高中11

高中

7.某快遞驛站統(tǒng)計了近期每天代收快件的數(shù)量，并制成如下圖所示的頻率分布直方圖.

則該快遞驛站每天代收包裹數(shù)量的中位數(shù)為.

8.某質(zhì)檢部門對某新產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)隨機抽取100件檢測，由檢測結(jié)果得到如圖所示的頻

率分布直方圖.

由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布NJ"?),其中以近似

為樣本平均數(shù)只4近似為樣本方差S2.設(shè)X表示從該種產(chǎn)品中隨機抽取10件，其質(zhì)量指標(biāo)

值位于(11.6,35.4)的件數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望=.(精確到0.01)

注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差SR1L9；②若Z?

貝I]P(N-cr<Z<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<Z<〃+2a)=0.9544.

9.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟

損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失

的平均數(shù)為加，中位數(shù)為〃，貝.

高中12

高中

10.某大學(xué)天文臺隨機調(diào)查了該校100位天文愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直

方圖，則估計該校100名天文愛好者的平均歲數(shù)為.

11.眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有

關(guān).在如圖的分布形態(tài)中，加、入。分別表示眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，則八入P中最小值

12.如圖為某工廠工人生產(chǎn)能力頻率分布直方圖，則估計此工廠工人生產(chǎn)能力的平均值

高中13

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易錯點三：運用數(shù)字特征作評價時考慮不周（方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求

算）

方差、標(biāo)準(zhǔn)差

①假設(shè)一組數(shù)據(jù)為匹,％2，工3,…Z，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)%=—（再+、2+…+%）=—，

nni=l

標(biāo)準(zhǔn)差S=

②若假設(shè)一組數(shù)據(jù)為七,工2/3,…招，它的平均數(shù)為1方差為$2,

則一組數(shù)據(jù)為+仇辦2+3+仇…曬,+6，的平均數(shù)為晟+b，方差為a2s2。

③標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越

小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

易錯提醒：方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越大，說明數(shù)據(jù)的離散性越大；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，說明數(shù)據(jù)的離

散性越小，數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征時，如果抽樣的方法

比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，這些偏差是由樣

本的隨機性引起的.雖然樣本的數(shù)字特征并不是總體真正的數(shù)字特征,而是總體的一個估計,

但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本容量很大時，樣本的數(shù)字特征穩(wěn)定于總體的數(shù)字特征.

三9

例、若甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，從產(chǎn)品中隨

機抽取6件進(jìn)行測量，測得數(shù)據(jù)如下：（單位：mm）：甲：99,100,98,100,103；乙：99,

100,102,99,100,100.通過計算，請你說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.

［錯解】彳=99+100+98+100+100+103=,

6

-99+.00+102+99+100+100=100>

-6

因為兩個機床所加工零件的平均數(shù)相等，平均數(shù)描繪了數(shù)據(jù)的平均水平，

所以兩臺機床加工的零件都符合要求.

高中14

高中

【錯因】平均數(shù)戛對數(shù)據(jù)有“取齊”作用，它描述了一組數(shù)據(jù)的平均水平，定量地反映了數(shù)據(jù)

的集中趨勢，因此平均數(shù)是與樣本數(shù)據(jù)最接近、最理想的近似值，但由于樣本選取的隨機性,

有時用平均數(shù)衡量總體的特征會失之偏頗，因此應(yīng)進(jìn)一步計算方差或標(biāo)準(zhǔn)差來比較它們的波

動大小.

，工副、￥99+100+98+100+100+103

[正解]%=---------------------------=1i0n0n,

O

-99+100+102+99+100+1001八八

x7=-----------------------------------------=100,

乙6

17

sgd=7x[(99-100)2+3X(100~100)2+(98-100)2+(103-100)2]=,

n3

s4=Jx[2x(99—100)2+3x(100-100)2+(102-100)2]=1.

o

SMAS"說明甲機床加工的零件波動比較大.

故乙機床加工的零件更符合要求.

變式1：泉州，作為古代海上絲綢之路的起點，具有深厚的歷史文化底蘊，是全國同時擁有

聯(lián)合國三大類非遺項目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精

心策劃文旅活動，使得來泉旅游人數(shù)突破了305.85萬人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來泉游客的

旅游體驗滿意度，用問卷的方式隨機調(diào)查了500名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游

體驗給出滿意度分值T(滿分100分)，該興趣小組將收集到的數(shù)據(jù)分成五段：[45,55),

[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],處理后繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中。的值并估計500名游客滿意度分值T的中位數(shù)(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)；

(2)已知7在[45,65)的平均數(shù)為57,方差為104,C在[65,95]的平均數(shù)為77,方差為564,

試求被調(diào)查的500名游客的滿意度分值7的平均數(shù)及方差.

變式2：拔尖創(chuàng)新人才是21世紀(jì)社會經(jīng)濟發(fā)展的巨大動力，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才也成為世界

各國教育的主要任務(wù).某市為了解市民對拔尖人才培養(yǎng)理念的關(guān)注程度，舉辦了“拔尖人才

素養(yǎng)必備”知識普及競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100

分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示

高中15

高中

(1)求頻率分布直方圖中。的值，并估計該市這次競賽成績的眾數(shù)；

⑵已知落在[50,60)的平均成績3=56,方差s：=9,落在[70,80)的平均成績巳=76,方差

s；=5,求這兩組成績的總平均數(shù)三和總方差52.

變式3：為了研究網(wǎng)民的上網(wǎng)習(xí)慣，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在10歲到60歲的網(wǎng)民進(jìn)行問卷

調(diào)查，按年齡分為5組，gp[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并繪制出頻率

(1)若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取〃人做采訪，其中年齡在[30,40)中被抽取的人

數(shù)為7,求〃;

(2)若各區(qū)間的值以該區(qū)間的中點值作代表，求上述網(wǎng)民年齡的方差的估計值.

1.已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示:

高中16

高中

令品，2分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；s)S；分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則

()

A.XT<x乙，s'>s：B.x甲>》乙，

C.xtp=x乙，s,>s，D.x甲=xz,,S||i<s,

2.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，某班成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若不低于80分的人數(shù)是35人，且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值代表，則下列說法中正確的是()

B.成績在[80,90)的學(xué)生人數(shù)是12

C.估計該班成績的眾數(shù)是95分

D.估計該班成績的方差為100

3.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果

得頻率分布直方圖，則這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差$2是(同一組中的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

高中17

高中

上頻率/組距

0.035--------------

0.030--------------

0.020

0.010

0.005

°95105115125135145質(zhì)量指標(biāo)值

4.在一次區(qū)域統(tǒng)考中，為了了解各學(xué)科的成績情況，從所有考生成績中隨機抽出20位考生

的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，其中數(shù)學(xué)學(xué)科的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計，在本次考試中

數(shù)學(xué)成績的方差為,（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

頻率

5.為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每

月日常消費額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、

乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為邑利,$3,則它們的大小關(guān)系為

O您您總電得多消費額/元

6.某工廠從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽出一部分，對這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行了檢測,

整理檢測結(jié)果得到如下頻率分布表:

高中18

高中

質(zhì)量指標(biāo)分組[10,30)[30,50)[50,70]

頻率0.10.60.3

據(jù)此可估計這批產(chǎn)品的此項質(zhì)量指標(biāo)的方差為.

7.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的

服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面

試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組:第一組［45,55),第二組［55,65),

第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知

第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者.

①現(xiàn)計劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機抽取2名作為組長.求選出的兩人來自不同

組的概率.

②若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者

的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70,據(jù)此估計這次第二組和第四組面試者所有人的

方差.

8.古人云“民以食為天”，某校為了了解學(xué)生食堂服務(wù)的整體情況，進(jìn)一步提高食堂的服務(wù)

質(zhì)量，營造和諧的就餐環(huán)境，使同學(xué)們能夠獲得更好的飲食服務(wù)為此做了一次全校的問卷調(diào)

查，問卷所涉及的問題均量化成對應(yīng)的分?jǐn)?shù)(滿分100分)，從所有答卷中隨機抽取100份

分?jǐn)?shù)作為樣本，將樣本的分?jǐn)?shù)(成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：

［40,50)［50,60),［90,100］,得到如圖所示的頻數(shù)分布表.

樣本分?jǐn)?shù)段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

高中19

高中

頻數(shù)51020a2510

頻率0.050.10.2b0.250.1

(1)求頻數(shù)分布表中。和6的值，并求樣本成績的中位數(shù)和平均數(shù)；

(2)己知落在［50,60)的分?jǐn)?shù)的平均值為56,方差是7；落在［60,70)的分?jǐn)?shù)的平均值為65,

方差是4,求兩組成績的總平均數(shù)I和總方差$2.

9.某電信運營公司為響應(yīng)國家5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)政策，擬實行5G網(wǎng)絡(luò)流量階梯定價，每人月用

流量中不超過左GB(一種流量計算單位)的部分按0.8元/GB收費，超過kGB的部分按2元

/G8收費，從用戶群中隨機調(diào)查了10000位用戶，獲得了他們某月的流量使用數(shù)據(jù)，整理得

到如下的頻率分布直方圖.已知用戶月使用流量的中位數(shù)為31.

⑴求表中的％

(2)若人為整數(shù)，依據(jù)本次調(diào)查為使85%以上用戶在該月的流量價格為0.8元/GB,則無至少

定為多少？

(3)為了進(jìn)一步了解用戶使用5G流量與年齡的相關(guān)關(guān)系，由頻率分布直方圖中流量在［20,30)

和［30,40)兩組用戶中，按人數(shù)比例分配的分層抽樣方法中抽取了100名用戶，已知［20,30)

組用戶平均年齡為30,方差為36,流量在［30,40)組用戶的平均年齡為20,方差為16,求

抽取的100名用戶年齡的方差.

10.為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機制，激勵學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)

《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工

作.為做好全省的迎檢工作，成都市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試，并從中隨機

高中20

高中

(1)估計這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)畫和樣本方差$2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表)；

(2)從健康指數(shù)在[45,55),[55,65)的兩組中利用分層抽樣抽出7人進(jìn)行電話回訪，并再隨機抽

出2人贈送獎品，求從7人中抽出的2人來自不同組的概率.

11.2022年入冬以來，為進(jìn)一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，A地區(qū)規(guī)定居

民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將A地區(qū)20000個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計

如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在6以上(含6)的有14000人.

。24681012x/口罩使用個數(shù)

(1)求加，〃的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；(只畫圖，不要過程)

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的75%分位數(shù)和中位數(shù)；(四舍五

入，精確到0.1)

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差.(每組數(shù)據(jù)用

每組中點值代替)

12.某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年

高中21

高中

100戶居民每人的月均用水量(單位：噸).將數(shù)據(jù)按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9

組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率

Msg

0.50------------------.

0.42------……-1—

S6

2

O.r8

O.tul4

0.O

(1)求直萬圖中。的值；

(2)用每組區(qū)間的中點作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方

差都為0.3,后5組的方差都為0.4,求這100戶居民月均用水量的方差.

13.亞洲運動會簡稱亞運會，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運動會，由亞洲奧林匹克理事會的成

員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運會在印度首都新德里舉行，七十多年來

亞洲運動員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體

育霸主.第19屆杭州2022年亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知

識，增強群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運知識競賽活動.活動分為男子組和女子組進(jìn)行,

最終決賽男女各有40名選手參加，右圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖(成績介于85

到145之間)，

(1)求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)；

(2)若計劃從男子組中105分以下的選手中隨機抽樣調(diào)查2個同學(xué)的答題狀況，則抽到的選

手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？

(3)若女子組40位選手的平均分為117,標(biāo)準(zhǔn)差為12,試求所有選手的平均分和方差.

高中22

高中

14.某中學(xué)組織了數(shù)學(xué)知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生，將其成績(均為整

數(shù))分成六組[40,50),[50,60),…,[90,100],其部分頻率分布直方圖如圖所示.觀察圖形，回

答下列問題.

(1)求成績在[70,80)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

(2)估計這次考試成績的眾數(shù)，平均分和方差.

15.某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.

已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)無,。=1,2,…,300)全部介于45分到95分之間，該校將所有

分?jǐn)?shù)分成5組：[45,55),[55,65),…,[85,95|,整理得到如下頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這

組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).

(1)求相的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值下；

(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計這30名學(xué)生的最低分

數(shù)；

⑶試估計這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)%(i=l,2,…,300)的方差$2,并判斷此次得分為52分和94分

的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了瓦-2s,亍+2s]范圍內(nèi)？

1n

(參考公式：/=—2/(尤,-可一，其中工為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：7129^11.4)

〃i=\

易錯點四：忽略百分位數(shù)兩種情況的選取(百分位數(shù)的考查)

高中23

高中

百分位數(shù)

①百分位數(shù)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少

有0%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100—P)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

②常用的百分位數(shù)

1.四分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù).

2.其它常用的百分位數(shù)：第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù).

③計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟如下：

第一步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

第二步：計算，=RXp%;

第三步：若，不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為/,則第〃百分位數(shù)為第，項數(shù)據(jù)；若，是整

數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項與第0+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

易錯提醒：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為7,則第P百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若，.是

整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為第，?項與第a+i)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

例.某高校承辦了杭州亞運會志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成

績，并分成五組:第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五

組［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一

⑴求。，6的值；

(2)估計這100名候選者面試成績的第65百分位數(shù)(分位數(shù)精確到0.1)；

(3)在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選

高中24

高中

出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.

變式1.某市政府為了倡議市民節(jié)約用電，計劃對居民生活用電費用實施階梯式電價制度,

即確定一戶居民月均用電量標(biāo)準(zhǔn)。，用電量不超過。的部分按照平價收費，超出部分按議

價收費.為了確定一個合理的標(biāo)準(zhǔn)，從某小區(qū)抽取了100戶居民進(jìn)行用電量調(diào)查(單位

kW-h),并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

個頻率/組距

0.0060

0.0036

0.0024

0.0012

°50100150200250300350月用電量/(KW-h)

(1)求X的值：

(2)求被調(diào)查用戶的月用電量平均值：(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)

⑶若使85%居民用戶的水費支出不受影響，應(yīng)確定。值為多少？

變式2.長沙市某中學(xué)近幾年加大了對學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對象，2023年5

月該中學(xué)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競賽，從參加競賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(百分制，均

為整數(shù))分成六組：第1組［40,50),第2組［50,60),第3組［60,70),第4組［70,80),第

5組［80,90),第6組［90,100］,得到頻率分布直方圖(如圖)，觀察圖中信息，回答下列問

題：

頻率

組距

0.030

0.026

O405060708090100成績(分)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等

級，若從成績在第5組和第6組的學(xué)生中，隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成

績優(yōu)秀的概率.

高中25

高中

變式3.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,6,

7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為

第86百分位數(shù)為一.

三9

1.以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的10人的成績：（單位：分）72,78,79,

80,81,83,84,86,88,90.這10人成績的第P百分位數(shù)是85,則。=（）

A.65B.70C.75D.80

2.某校排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動作組織了墊排球比賽，以下為根據(jù)排球社50位同學(xué)的墊球個

數(shù)畫的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在5~40之間.估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第75百

分位數(shù)是（）

3.“幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評價自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0』0]

內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機抽取10位某小區(qū)居民，他們

的幸福感指數(shù)分別為3,4,5,5,6,6,7,8,9,10,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

4.為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營造

良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對科學(xué)、法律、健康等知識的了解，某學(xué)校組織全校班級開展

“紅色百年路.科普萬里行，，知識競賽.現(xiàn)抽取io個班級的平均成績：

70、71、73、76、78、78、81、85、89、90,據(jù)此估計該校各個班級平均成績的第40百分位數(shù)為（）

A.77B.78C.76D.80

5.某地一年之內(nèi)12個月的月降水量分別為：46,51,48,53,56,53,56,64,58,56,

66,71,則下列說法正確的是（）

A.該地區(qū)的月降水量20%分位數(shù)為51

B.該地區(qū)的月降水量50%分位數(shù)為53

高中26

高中

C.該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為61

D.該地區(qū)的月降水量80%分位數(shù)為64

6.習(xí)近平總書記強調(diào)，要堅持健康第一的教育理念，加強學(xué)校體育工作，推動青少年文化

學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展.某學(xué)校對高一年級學(xué)生每周在校體育鍛煉時長（單位：小時）進(jìn)行

了統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：

分組[2,3)艮4）[4,5)[5,6]

頻率0.250.300.200.25

則下列關(guān)于高一年級學(xué)生每周體育鍛煉時長的說法中正確的是（）

A.眾數(shù)約為2.5

B.中位數(shù)約為3.83

C.平均數(shù)為3.95

D.第80百分位數(shù)約為5.2

7.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機調(diào)查了10個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度

評分如表所示，評分用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，則

下列說法正確的（）

78975410947

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為0

B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7

C.這組數(shù)據(jù)的極差為6

D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9

8.人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，

即“人均GDP”，常作為發(fā)展經(jīng)濟