浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2024屆高三下學期期中考試數學試題 含解析

2024屆浙江省鎮(zhèn)海中學高三下學期期中數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷客觀題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對的圓心角的大小，.若角密位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由密位制與弧度的換算公式可得，，從而可得解．【詳解】因為1密位等于圓周角的，所以角密位時，，故選：C．2.直線與拋物線交于、兩點，若，其中為坐標原點，則的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點、坐標，根據求出的值，即可得出拋物線的準線方程.【詳解】不妨設點在第一象限，則點在第四象限，聯立可得，則點、，所以，，解得，因此，準線方程為.故選：B.3.2024年中國足球乙級聯賽陜西聯合的主場火爆，一票難求，主辦方設定了三種不同的票價分別對應球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解析】【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個人選出并選定區(qū)域，再對余下的兩人分別在其它兩個區(qū)域進行選擇，由分步乘法計數原理即得.【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：第一步，先從五人中任選三人，有種方法；第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；第三步，將另外兩人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.由分步乘法計數原理，共有種方法.故選:C.4.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線的性質，再根據條件，即可求出結果.【詳解】由題知，曲線關于直線對稱，又，所以，由曲線的對稱性可知，，故選：D.5.“”是“函數為增函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據函數單調遞增，得到導函數大于等于0，從而求出，由，但得到答案.【詳解】若函數單調遞增，有恒成立，可得，解得：，因為，但，所以“”是“函數為增函數”的必要不充分條件.故選：B.6.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】設出復數的代數形式，利用復數模的意義列出方程即可判斷得解.【詳解】令，由，得，點在以為圓心，1為半徑的圓上，位于第四象限，故選：D7.若平面α，β截球O所得截面圓的面積分別為，，且球心O到平面α的距離為3，則球心O到平面β的距離為（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】設平面，截球所得截面圓的半徑分別為，，再根據圓的面積公式，結合球內的垂徑定理列式求解即可.【詳解】設平面，截球所得截面圓的半徑分別為，，則，，則，.設球的半徑為，球心到平面的距離為，則，所以.故選：A8.設數列滿足，，，若表示大于的最小整數，如，，記，則數列的前2022項之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047【答案】B【解析】【分析】根據題意，由遞推關系結合等差數列通項公式與累加法可得數列通項公式，從而得到數列的通項公式，然后結合[x)的定義，即可得到結果．【詳解】因為，所以，又，所以數列是以3為首項，2為公差的等差數列，所以所以，當時也符合上式，故，則數列的通項公式，則數列的前2022項之和為．故答案為：4045．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知集合，則下列表示方法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據集合與集合直接關系的符號表示，以及元素與集合之間的符號表示，即可判定出結果.【詳解】因為集合，則，即A選項正確；集合中元素都是正整數，則，即C正確；“”只能表示元素與集合之間關系，故B錯；“”只能表示集合之間的關系，故D錯.故選：AC.10.下列命題正確的是（）A.若與都是單位向量，則B.方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量C.若與是平行向量，則D.若用有向線段表示的向量與不相等，則點與不重合【答案】BD【解析】【分析】利用向量相等的條件，可判斷出選項A和C的正誤，利用共線向量的定義可判斷出選項B的正誤，根據向量的幾何表示，可判斷出選項D的正誤，從而得出結果.【詳解】對于選項A，若與都是單位向量，則，但與可以方向不同，故選項A錯誤，對于選項B，因為方向為南偏西的向量與北偏東的向量方向相反，所以選項B正確，對于選項C，若與是平行向量，但當或與方向相反，不滿足，所以選項C錯誤，對于選項D，由向量的幾何表示知，選項D正確，故選：BD.11.已知函數，且，則（）A.有兩個極值點B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合函數的單調性、極值及零點得存在性定理可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題意可得，解得，所以，令得或，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因為，，所以函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，因為，則是奇函數，所以是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，，（，且）．則函數是____________函數（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）．【答案】奇【解析】【分析】應用奇偶性定義判斷的奇偶性即可.【詳解】由題設，其定義域為，由，所以是奇函數.故答案為：奇13.歐拉函數的函數值等于所有不超過且與互質的正整數的個數（公約數只有1的兩個整數稱為互質整數），例如：，．記，數列的前項和為，若恒成立，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據題目設定的歐拉函數的概念，結合數列前n項和的概念以及不等式恒成立的轉化方法即可求得參數的范圍.【詳解】在的整數中與不互質的數有，共有個，所以與互質的數有個，因此．在的整數中，2的倍數共有個，5的倍數共有個，10的倍數共有個，所以．所以，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以，則恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以，令，則，所以，且，所以，所以，即實數的取值范圍是【點睛】關鍵點點睛：本題按照題目設定的歐拉函數的概念，關鍵分析出：（1）在的整數中與不互質的數的個數，從而得到互質的個數；（2）在的整數中，與互質的數的個數分別是：2的倍數共有個，5的倍數共有個，10的倍數共有個，所以與（注意：2的倍數和5的倍數中包含了10的倍數）.14.若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】易得雙曲線漸近線，再利用兩直線垂直斜率之積為求出，結合離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線（）的漸近線方程為，直線斜率為，由一條漸近線與直線垂直得，解得，所以離心率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極值-14.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在上的最值.【答案】（1）（2）最小值為-14，最大值18【解析】【分析】（1）由極值和極值點，利用導數求出未知系數，再利用導數的幾何意義求切點處切線的方程.（2）利用導數求函數單調區(qū)間，根據單調性求函數在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】因，故由于在處取得極值-14，故有，化簡得，解得，經檢驗，時，符合題意，所以.則，，故.所以曲線在點處的切線方程為：，即【小問2詳解】，，解得或；解得，即函數在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，，因此在的最小值為.最大值為16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E、F、G分別為A1B1，B1C1，BB1的中點，點P是正方形CC1D1D的中心．（1）證明：AP∥平面EFG；（2）若平面AD1E和平面EFG的交線為l，求二面角A﹣l﹣G．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據面面平行的判定定理，即可證明平面平面，由此即可證明結果；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量在求二面角中應用，即可求出結果.【詳解】（1）連接，，點、、分別為的中點，，平面，平面；同理，平面，又，且平面，平面，所以，平面平面，點是正方形的中心，平面，平面；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間指標系，則，故，設平面的法向量為，由，可得，令，則，取平面的法向量為，則，所以二面角的大小為.【點睛】本題主要考查了面面平行的判定定理和應用，同時考查空間向量在求二面角中的應用，屬于基礎題.17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為的中點，若．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理化簡得到求解；（2）根據D為的中點，得到，然后平方結合基本不等式求解.【小問1詳解】解：由，利用正弦定理可得：，，∵，∴，∴；【小問2詳解】由D為的中點，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，當且僅當時，取最小值．18.在橢圓中，A、B是左右頂點，P是橢圓E上位于x軸上方的一點．直線PA、PB分別交直線于M、N兩點，PA、PB的斜率分別記為．（1）求的值；（2）若線段PB的中點Q恰好在以MN為直徑的圓上，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先設點Px0,（2）首先利用直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理求點的坐標，并求的中點，利用和，求得，并代入點的坐標，即可求的取值范圍.【小問1詳解】設Px0,y0；【小問2詳解】由題意知直線的方程為，則，由，得，則，則，，則，又所以的中點的坐標為，當直線的斜率存在時，由題意知，，又，所以，即，得，，，當直線的斜率不存在時，，綜上：的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由圓的幾何性質可知，，則可得到，才能代入坐標運算，化簡得到與的關系.19.北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進入天和核心艙．為激發(fā)廣大學生努力學習科學文化知識的熱情，某校團委舉行了一場名為”學習航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據頻率分布直方圖，求這100名同學得分的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）用分層抽樣的方法從得分在[60，70），[70，80），[80，90]這三組中選6名學生，再從這6名學生中隨機選取2名作為代表參加團委座談會，求這2名學生的得分不在同一組的概率．【答案】（1