浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再求交集即得.【詳解】由可得，即，則.故選：D.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合選項依次判斷即可.【詳解】A：令，定義域為R，，則，所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，故A不符合題意；B：令，定義域為R，，則，所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，故B不符合題意；C：令，定義域為R，，所以為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故C符合題意；D：令，定義域為R，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：C3.命題“，使得”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可判斷.【詳解】命題“，使得”的否定為“，”故選：D.4.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則；由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由，則.故選：A.5.為實現(xiàn)碳達(dá)峰、碳中和，中共中央國務(wù)院提出，到2025年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放比2020年下降18%，則2020年至2025年要求單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放的年均減排率最低是（）A.0.036 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，列出等式，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】設(shè)2020年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放量為，2020年至2025年要求單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放的年均減排率最低為，則2020年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放量為，故，解得．故選：C．6.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分類討論、計算即可.【詳解】當(dāng)時，則，由，得，整理得，解得或0（舍去）；當(dāng)時，則，由，得，無解.綜上，.故選：B7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)猜測校運會長跑比賽中最終獲得冠軍的運動員甲說：“冠軍是李亮或張正”乙說：“冠軍是林帥或張正”丙說：“林帥和李亮都不是冠軍”丁說：“陳奇是冠軍”．結(jié)果出來后，只有兩個人的推斷是正確的，則冠軍是（）A.林帥 B.李亮 C.陳奇 D.張正【答案】C【解析】【分析】根據(jù)選項依次判斷四人的推斷結(jié)果即可.【詳解】對A，若林帥獲得冠軍，則乙正確，甲、丙、丁都錯誤，故A錯誤；對B，若李亮獲得冠軍，則甲正確，乙、丙、丁錯誤，故B錯誤；對C，若陳奇獲得冠軍，則丙、丁正確，甲、乙錯誤，故C正確；對D，若張正獲得冠軍，則甲、乙、丙正確，丁錯誤，故D錯誤.故選：C8.我們知道，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)對稱中心為，令，化簡得，利用，計算化簡得對于定義域內(nèi)的任意恒成立，聯(lián)立方程組，計算即得.【詳解】設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則函數(shù)是奇函數(shù)，則，即：，化簡得：對于定義域內(nèi)任意恒成立，則，解得，即對稱中心為.故選：B.【點睛】思路點睛：本題主要考查函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件的應(yīng)用，屬于難題.對于求解函數(shù)圖象的對稱中心時，一般先設(shè)對稱中心，構(gòu)造函數(shù)，利用求得的值即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則．B.若，則．C.“，”是“”成立的充分不必要條件．D.“”是“”的必要不充分條件．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的概念依次判斷即可.【詳解】A：由，得，故A正確；B：由，令，則不滿足，故B錯誤；C：若，則，所以充分性成立；若，令，不滿足，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故C正確；D：若，若，則不成立，所以充分性不成立；若，則，所以必要性成立，所以“”是“”是必要不充分條件，故D正確.故選：ACD10.已知正實數(shù)x，y滿足，下列說法正確的是（）A.xy最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值為 D.的最大值為1【答案】BC【解析】【分析】對于A、B，利用基本不等式，結(jié)合題目中的等式與一元二次不等式，可得答案；對于C、D，整理等式，可得所求代數(shù)式的函數(shù)解析式，利用基本不等式與不等式性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，由，則，由，則，解得，，可得，，解得或，綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，所以的最大值為，故A錯誤；對于B，由，則，由，則，解得，，可得，，解得或，綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，故B正確；對于C，由，則，由，則，解得，由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，由A可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，且，，由，則，所以的最小值為，故D錯誤.故選：BC.11.設(shè)，，，，記為平行四邊形內(nèi)部（不包含邊界）的“格點”的個數(shù)（格點是指橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），則函數(shù)可能的值為（）A. B.C.10 D.【答案】ABD【解析】【分析】對的取值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】對，設(shè)平行四邊形內(nèi)部位于直線上的格點數(shù)目為，則.而就是開區(qū)間上的整數(shù)個數(shù)，所以當(dāng)是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，.這就得到，所以由可得.由于，故如果中有兩個是整數(shù)，則剩余的第三個一定是整數(shù)，所以.這就得到.由，，可知，的全部可能值為.故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，，則________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算法則可計算得出所求代數(shù)式的值.【詳解】，，則.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)冪的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，則矩形廣告的總面積最小值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)陰影部分矩形的底邊長為，則其高為，根據(jù)題意可得出矩形廣告的總面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)陰影部分矩形的底邊長為，則其高為，所以，矩形廣告的總面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，取最小值.故答案為：.14.若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先由題意可知關(guān)于的不等式在上有解，作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，然后考慮直線與函數(shù)的圖像相切，以及直線過點0,3，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于的不等式在上有解，即關(guān)于的不等式在上有解，作出兩函數(shù)與的圖像，如下圖：當(dāng)與相切時，則，即，由，解得：；當(dāng)過點0,3時，得.由圖可知，，因此實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．15.已知集合，．（1）若，，求；（2）若，，求正數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由題意可得，結(jié)合補集的概念與運算即可求解；（2）根據(jù)指數(shù)不等式和一元一次不等式的運算可得，，結(jié)合集合之間的包含關(guān)系即可求解.【小問1詳解】由題意得，而，故，得，；【小問2詳解】由，得，即，即，而，由得，即，而，故，且，得，即a的取值范圍為．16.已知二次函數(shù)．（1）若，解集為，求；（2），方程的兩根為，求的最小值．【答案】（1），．（2）3【解析】【分析】（1）利用“三個二次”的關(guān)系和韋達(dá)定理即可求得的值；（2）由韋達(dá)定理推得，將條件變形后代入，利用基本不等式即可求得的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，依題可知的解是或，由韋達(dá)定理可知，，解得，；【小問2詳解】由和韋達(dá)定理可得，，且，則（*），由，可知，且，由（*）式可得：．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時，的最小值為3．17.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求b的值；（2）判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若，使成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）函數(shù)是減函數(shù)，證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義列出方程，根據(jù)等式恒成立即可求得b的值；（2）先將函數(shù)拆成，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再運用定義法證明即可；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將題設(shè)不等式化成在上的能成立問題，即求函數(shù)在上的最大值即得.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以恒成立，即，整理得恒成立，所以；【小問2詳解】由（1）可知，函數(shù)，因為為增函數(shù)，且，所以在上為減函數(shù).證明如下：，，，，因為，則，，所以，故函數(shù)是減函數(shù)．【小問3詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，由（2）知函數(shù)是上的減函數(shù)，則有，即，因為，因為，有最大值9，所以，即的取值范圍為．18.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，用其名字命名的"高斯函數(shù)"為，其中表示不超過x的最大整數(shù)．例如：，，高斯函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如停車收費，出租車收費等都是按"高斯函數(shù)"進(jìn)行計費的；“11.11”期間，某購物網(wǎng)站進(jìn)行下面二項優(yōu)惠促銷活動：第一項：一次性購買商品，每滿120元立減10元；第二項：在享受了第一項優(yōu)惠以后，購買的商品總價每滿800元再減80元．例如，一次購買商品1620元，則實際支付額元；（1）小麗計劃在網(wǎng)站購買兩件價格分別是500元和1300元的商品，她是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；（2）某商品是小麗常用必需品，其價格為60元/件，小麗預(yù)算不超過1000元，試求她應(yīng)購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由見解析（2）購買15件或16件時，該生活日用品平均價格最低，最低平均價格為50元/件．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別求一次支付與兩次支付的實際支付金額，比較可得答案；（2）由題意建立函數(shù)解析式，將自變量的所有取值代入，可得答案.【小問1詳解】分兩次支付：支付額為元；一次支付：支付額為元；所以一次支付好．【小問2詳解】設(shè)購買件，平均價格為元/件．由于預(yù)算不超過1000元，若買20件，需要付額，若買19件，需要付額，所以最多買19件；當(dāng)，時，；若、3、5，7、9、11、13時，，若、4、6、8、10、12、14時，；所以當(dāng)時，購買偶數(shù)件時，平均價格最低，為55元/件．當(dāng)時，能享受每滿800元減80元的優(yōu)惠，，代入，可知時，有最小值50元；、19代入，可知時，有最小值50元．綜上，購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為50元/件．19.對于給定的非空集合M，定義集合，，當(dāng)時，則稱具有“對稱性”，而，稱為的對稱集合．（1）試判斷集合，是否具有“對稱性”，如果有，求出其對稱集合；如果沒有，請說明理由（2）若集合，且集合具有"對稱性"，求的最小值．（3）已知，且，記，若集合B具有“對稱性”，求m的最小值．【答案】（1）有，，；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用集合的“對稱性”定義判斷集合的對稱性，有對稱性的，可求得對稱集合；（2）先根據(jù)集合的“對稱性”