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文檔簡介
瀘縣五中高2022級高三上期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至2頁,第II卷3至4頁.共150分.考試時間120分鐘.第I卷(選擇題共58分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知全集,集合,或,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集、補集的定義進行計算得出結(jié)果.【詳解】由或得,又,所以.故選:B.2.命題“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,準(zhǔn)確改寫,即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可得:命題“,”的否定是“,”.故選:D.3.已知,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦展開式和三角函數(shù)化簡求值得出.【詳解】,所以,所以,解得.故選:D4.已知,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用二倍角公式,結(jié)合正余弦齊次式法計算即得.【詳解】由,得.故選:C5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的一條對稱軸方程是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判定.【詳解】由題意得顯然由,當(dāng)時,是其一條對稱軸,而B、C、D三項,均不存在整數(shù)滿足題意.故選:A6.為等差數(shù)列,若,,那么取得最小正值時,的值()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,從而得,由,結(jié)合條件得到,即可求解.【詳解】因為,,所以,故等差數(shù)列的公差,又,又,,得到,,所以取得最小正值時,的值為,故選:C.7.如圖,在正方形中,為的中點,是以為直徑的半圓弧上任意一點,設(shè),則的最小值為()A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),利用坐標(biāo)法將用點坐標(biāo)表示,即可求出的最小值.【詳解】以點為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,則,,,半圓的方程為,所以,,,因為,即,所以,即,所以,又是半圓上的任意一點,所以,,,所以,所以當(dāng)時,取得最小值.故選:B【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題主要考查二元變量的最值求法,關(guān)鍵是根據(jù)已知把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,把有關(guān)點與向量用坐標(biāo)表示,這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決.8.已知函數(shù),若有兩個極值點,記過點,的直線的斜率為,若,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時,求導(dǎo),根據(jù)有兩個極值點可得,由奇函數(shù)的定義可得為奇函數(shù),不妨設(shè),則有,所以,.由直線的斜率公式的表達式,可得,令,利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增,又由,根據(jù)單調(diào)性可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由函數(shù)由兩個極值點得.當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.故當(dāng)時,函數(shù)的極小值點為.當(dāng)時,則,則,同理當(dāng)時,也有,故為奇函數(shù).不妨設(shè),則有,所以,可得,由直線的斜率公式可得,又,所以設(shè),得,所以在上單調(diào)遞增,又由,由,得,所以.故選:A.【點睛】對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求解曲線在某點處的切線方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù);(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決函數(shù)的恒成立與有解問題,同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知關(guān)于的不等式的解集為,則()A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】由題意可知a>0且和2是方程ax2+bx+c=0的兩個根,根據(jù)韋達定理可得,由此易判斷A,將替換成,由此可求B、D,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可以判斷C.【詳解】關(guān)于的的不等式的解集為,且和2是方程ax2+bx+c=0的兩個根,對,故A正確.對可化為,解的,不等式的解集為,故B錯誤.對,1和2是方程ax2+bx+c=0且二次函數(shù)y=ax2當(dāng)x=-1時,,即,故C正確.對D,不等式可化為,,即,解得不等式的的集為,故D正確.故選:ACD10.已知函數(shù),若,,則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象,根據(jù),,結(jié)合函數(shù)圖象逐項判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象,如圖所示:因為,,由圖象可知:,故A正確;B錯誤;由,得,即,所以,即,所以,故C正確;因為,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因,所以,所以取不到等號,故D正確.故選:ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為而得解.11.已知數(shù)列滿足,,則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先證明是遞增數(shù)列,且各項均為正,由遞推公式求得發(fā)現(xiàn)A錯誤,然后由遞推關(guān)系利用基本不等式變成不等式,讓依次減1進行歸納得出B正確,由遞推式適當(dāng)放縮得,這樣對進行歸納得出,此不等式兩邊取以2為底的對數(shù)可證明選項D,對由指數(shù)冪運算法則變形為,然后證明,再結(jié)合是正整數(shù)可得證C.【詳解】,∴,是遞增數(shù)列,又,所以,,,,,A顯然錯誤;,∴,B正確;對選項C,,∴,依此類推:,,下證,時,,時,,時,,假設(shè)時,成立,,則時,,所以對任意不小于3的正整數(shù),,所以,又是正整數(shù),所以,C正確;對選項D,由選項C得,所以,D正確.故選:BCD.第II卷(非選擇題共92分)注意事項:(1)非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上,作圖題可先用鉛筆繪出,確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚,答在試題卷和草稿紙上無效.(2)本部分共8個小題,共92分.三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共計15分.12.已知函數(shù)則______.【答案】1【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式,由內(nèi)向外計算即可.【詳解】由題意得,.所以,故答案為:1.13.計算:____________【答案】【解析】【分析】切化弦,通分后結(jié)合二倍角和兩角和差正弦公式可化簡求得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.14.已知函數(shù),函數(shù)有兩個極值點.若,則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后可知是方程在上的兩根,結(jié)合韋達定理可得,;將化為,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得,從而得到結(jié)果.【詳解】因為,令,因為,有兩個極值點,所以是方程在上的兩根,所以,,所以,,所以,設(shè),則,所以當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,所以,即的最小值為.故答案為:.【點睛】思路點睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的問題;本題求解最值的基本思路是將多個變量統(tǒng)一為關(guān)于一個變量的函數(shù)的形式,通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)(其中,)的最小正周期為,且___________.①點在函數(shù)的圖象上;②函數(shù)的一個零點為;③的一個增區(qū)間為.請你從以上三個條件選擇一個(如果選擇多個,則按選擇的第一個給分),補充完整題目,并求解下列問題:(1)求的解析式;(2)用“五點作圖法”畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象.【答案】(1)無論選哪個條件,函數(shù)的解析式均為.(2)答案見解析【解析】【分析】(1)若選①,則,若選②,則,若選③,則,由此求出分別求出即可得解.(2)直接用“等距法”按照五點畫圖的步驟作圖即可.【小問1詳解】由題意最小正周期為,解得,所以,若選①,則,所以,又,所以,所以函數(shù)的解析式為;若選②,則,所以,又,所以,所以函數(shù)的解析式為;若選③,即的一個增區(qū)間為,當(dāng)時,,又,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,只能,,所以函數(shù)解析式為;綜上所述,無論選哪個條件,函數(shù)的解析式均為.【小問2詳解】列表如下:00100描點、連線(光滑曲線)畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象如圖所示:16.已知定義在上的函數(shù)(且).(1)判斷函數(shù)奇偶性,并說明理由;(2)若,試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明;并求在上有解時,實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)為奇函數(shù),理由見解析(2)為減函數(shù),證明見解析;【解析】【分析】(1)先判斷函數(shù)的奇偶性,再利用定義證明即可.(2)求出參數(shù)值得到原函數(shù),再轉(zhuǎn)化為交點問題求解參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】為奇函數(shù)對任意,都有,且該函數(shù)的定義域為,顯然關(guān)于原點對稱,可得.為奇函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時,可得,解得,此時在上為嚴格減函數(shù),證明如下:任取,且,則,,,,在上為嚴格減函數(shù),而,在上的值域為,要使在上有零點,此時等價于與在上有交點,而當(dāng)時,可得故.17.在中,已知.(1)求;(2)記為的重心,過的直線分別交邊于兩點,設(shè).(i)求的值;(ii)若,求和周長之比的最小值.【答案】(1)(2)(i)(ii)【解析】【分析】(1)借助三角形內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正切公式化簡并計算即可得;(2)(i)設(shè)為的中點,結(jié)合重心的性質(zhì)及向量運算可得,再利用三點共線定理即可得解;(ii)由題意可得為等邊三角形,可設(shè)其邊長為1,則可用表示兩三角形周長之比,結(jié)合(i)中所得與基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題可知,又,所以;【小問2詳解】(i)設(shè)為的中點,則,又因為,所以,因三點共線,所以,所以;(ii)由,,可得為等邊三角形,設(shè)的邊長為1,與周長分別為,則,,所以,所以,由可得,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),解得,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,所以和的周長之比的最小值為.18.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),成等差數(shù)列,且滿足,等差數(shù)列數(shù)列bn的前項和.(1)求數(shù)列和bn的通項公式;(2)設(shè)的前項和,求證:.(3)設(shè),求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,等差數(shù)列bn的公差為,根據(jù)題意,列出方程組,分別求得的值,即可求得數(shù)列和bn的通項公式;(2)由(1)求得,結(jié)合裂項法求和,求得數(shù)列的前項和,即可得證;(3)根據(jù)題意,求得數(shù)列的通項公式,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯位法求和,即可求解.【小問1詳解】解:由等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設(shè)公比為,因為成等差數(shù)列,且滿足,可得,即,即,解得,所以,設(shè)等差數(shù)列bn的公差為,因為,可得,解得,所以,即數(shù)列bn的通項公式為.【小問2詳解】證明:由(1)知,,可得,則,因為,所以,故.【小問3詳解】解:因為,可得,則數(shù)列的前項和,令,令,則,兩式相減得,所以,所以數(shù)列的前項和.19.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若在定義域內(nèi)恒成立,求的取值范圍;(3)求證:.【答案】(1)(2)1(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)兩函數(shù)關(guān)于對稱求解析式即可;(2)先探求時成立,再證明當(dāng)時恒成立,證明過程利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極大值即可;(3)根據(jù)(2)可得,轉(zhuǎn)化為,再由,累加相消即可得證.【小問1詳解】設(shè)圖象上任意一點,則其關(guān)于直線的對稱點為,由題
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