浙江省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準(zhǔn)考證號并核對條形碼信息；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4.參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個(gè)人成績分析.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.24.從兩位數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則它平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，，且，則函數(shù)可能是（）A. B.C. D.6.已知雙曲線：，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.7.設(shè)空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，則（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A.2 B..3 C.4 D.5二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線：與直線：平行，則實(shí)數(shù)可能（）A.1 B.2 C.3 D.410.下列從總體中抽得樣本是簡單隨機(jī)抽樣的是（）A.總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取B.總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75C.總體編號為6001～6879，在1～879之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)，把作為抽中的編號D.總體編號為1～712，用軟件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的編號11.已知橢圓：，直線：，（）A.若直線與橢圓有公共點(diǎn)，則B.若，則橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為C.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的長度可能為6D.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)在直線上三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線：，則雙曲線的離心率是______.13.已知圓：，直線，若直線與圓相切，則______.14.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，（1）求；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接.若，求的長度.16.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線：對稱，圓：（），圓的半徑為，且圓與圓交于，兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.17如圖，四棱錐中，底面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn)是圓A上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，與圓A交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓A上運(yùn)動時(shí)，（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）證明：直線是點(diǎn)軌跡切線；（3）求面積的最大值.19.如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點(diǎn)，點(diǎn)分別是直線，上的動點(diǎn)，且，設(shè)線段的中點(diǎn)為.（1）求異面直線與所成的角；（2）求的取值范圍；（3）求四面體的體積的最大值.數(shù)學(xué)考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準(zhǔn)考證號并核對條形碼信息；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4.參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個(gè)人成績分析.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別解指數(shù)不等式和二次不等式得到集合，再由集合交集的定義得到結(jié)果.【詳解】解，∴，則，解，∴，則，∴.故選：B2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.【詳解】由，則，可得.故選：C.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由向量垂直得到向量數(shù)量積為0，建立方程，解得的值.【詳解】∵，∴，∴.故選：A.4.從兩位數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則它的平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意找出個(gè)位數(shù)字為1或9的總個(gè)數(shù)除以兩位數(shù)的總個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】兩位數(shù)的平方個(gè)位數(shù)字為1的數(shù)字需滿足個(gè)位數(shù)字為1或9，這樣的兩位數(shù)字共個(gè)；兩位數(shù)共有個(gè)，所以它的平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是.故選：D.5.已知函數(shù)，，且，則函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可先得到和，再代入得到，由選項(xiàng)解析式代入化簡，得到結(jié)論.【詳解】由題意得：，∵，∴，∴，若，則，舍去；若，則，舍去；若，則，成立；若，則，舍去.故選：C.6.已知雙曲線：，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，設(shè)，代入雙曲線方程，作差變形，由是線段AB的中點(diǎn)，求得直線的斜率，再用點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】設(shè)，代入雙曲線方程，可得，作差，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以所以，即，所以直線的方程是，即，經(jīng)檢驗(yàn)，直線滿足題意.故選：A.7.設(shè)空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】我們先根據(jù)已知條件求出的值，再利用向量夾角公式求出.【詳解】已知向量是單位向量，則，即，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，根據(jù)向量夾角公式可得：，即，聯(lián)立方程，將代入可得：，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄?，則，即，又因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，根據(jù)向量夾角公式可得：，即，聯(lián)立方程，將代入可得：，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)向量夾角公式，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A.2 B..3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，分析兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得方程實(shí)根的個(gè)數(shù).【詳解】如圖：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，.在上，因?yàn)?，，，所以方程在上?解；又，所以是方程的1解；又，，所以方程在上有1解；當(dāng)時(shí)，由圖可知，恒成立，所以1,+∞上，方程無解.所以方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為：3.故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線：與直線：平行，則實(shí)數(shù)可能為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】兩直線平行的條件：對于直線和直線，若兩直線平行，則，且或者.我們先根據(jù)求出可能的值，再檢驗(yàn)是否滿足后面的條件.【詳解】對于直線和直線.由可得：,解得或者.當(dāng)時(shí)：直線，直線.此時(shí)，兩直線平行.當(dāng)時(shí)：直線，直線.此時(shí)，兩直線平行.故選：BC.10.下列從總體中抽得的樣本是簡單隨機(jī)抽樣的是（）A.總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取B.總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75C.總體編號為6001～6879，在1～879之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)，把作為抽中的編號D.總體編號為1～712，用軟件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的編號【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)抽中的可能性是否相等依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對于A：總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取，則編號為1~75可能被抽中，被抽中的可能性相同，故A正確；對于B：總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75.因?yàn)?~24，75號與25~74號抽中的可能性不同，所以不是簡單隨機(jī)抽樣，故B錯(cuò)誤；總體編號為6001~6879，在1~879范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，把作為抽中的編號.每個(gè)編號抽中的可能性相同，所以是簡單隨機(jī)抽樣，故C正確；由R軟件的簡單統(tǒng)計(jì)功能，“sample（1:712，50，replace＝F”）表示在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生50個(gè)不重復(fù)隨機(jī)整數(shù)，故每個(gè)編號抽中的可能性相同，故D正確故選：ACD11.已知橢圓：，直線：，（）A.若直線與橢圓有公共點(diǎn)，則B.若，則橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為C.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的長度可能為6D.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)在直線上【答案】ABD【解析】【分析】可設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)有界性分析判斷AB；對于C：結(jié)合橢圓性質(zhì)分析判斷；對于D：利用點(diǎn)差法分析判斷.【詳解】由橢圓方程可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為.對于選項(xiàng)A：若直線與橢圓有公共點(diǎn)，則存在點(diǎn)在直線上，則，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：若，則直線：，可得點(diǎn)到直線距離為，所以橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故B正確；對于選項(xiàng)C：橢圓的最長弦長為長軸長，但直線不可能與y軸重合，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)Ax1,y1則，，因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減可得，整理可得，即，可得，則，可知點(diǎn)Mx,y在直線上，即線段的中點(diǎn)在直線上，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線：，則雙曲線的離心率是______.【答案】##【解析】【分析】利用雙曲線方程求出實(shí)半軸長、半焦距，進(jìn)而求出離心率.【詳解】雙曲線：的實(shí)半軸長，虛半軸長，則半焦距，所以雙曲線的離心率.故答案為：13.已知圓：，直線，若直線與圓相切，則______.【答案】9或【解析】【分析】由圓心到直線的距離等于半徑可得．【詳解】由得圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，由點(diǎn)到直線的距離得，解得，故或.故答案為：9或14.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，，，到球心距離等于半徑，求出半徑，得到四面體的外接球的表面積【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)四面體的外接球的球心為，半徑為.因?yàn)?，，，，所以解得，，故四面體的外接球的表面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，（1）求；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接.若，求的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可；（2）解直角三角形得出，再由中線的向量形式平方即可得解.【小問1詳解】由題意可知，，由，故，故，又，所以，.【小問2詳解】如圖，，由（1）可知，，則，，故，因?yàn)?，所以，所以，即的長度為.16.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線：對稱，圓：（），圓的半徑為，且圓與圓交于，兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，得到圓方程，再利用兩圓位置關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解；（2）先求出當(dāng)時(shí)圓的圓心與半徑，從而分析得是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，故圓為，因?yàn)閳A與圓交于，兩點(diǎn)，所以，解得.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，圓：，：，故是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，由（1）可知，，所以邊上的高為，所以的面積為.17.如圖，四棱錐中，底面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）先證明四邊形為矩形.再得到，運(yùn)用線面平行判定可解.（2）求出兩個(gè)面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面ABCD?，所以，，由，，得；在中，，所以為正三角形，過作的垂線，垂足為，，有，，所以四邊形為矩形.故，平面.平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，.設(shè)平面，的法向量分別為m=x,y,z，n=，，，，得，解得；，得，解得；設(shè)平面與平面的夾角大小為，則.故平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn)是圓A上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，與圓A交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓A上運(yùn)動時(shí)，（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）證明：直線是點(diǎn)軌跡的切線；（3）求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)得到，結(jié)合橢圓定義寫出軌跡方程即可.（2）設(shè)求出直線l的方程，然后與橢圓聯(lián)立消元，通過判別式等于零得方程有兩個(gè)相等的根即可，（3）根據(jù)面積公式列出關(guān)于的表達(dá)式，然后根據(jù)的有界性求出最值即可【小問1詳解】由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，，故，所以點(diǎn)在以點(diǎn)A，為焦點(diǎn)的橢圓上，其中橢圓的長軸長為8，焦距為AB=4，短軸長，故點(diǎn)的軌跡方程為：.【小問2詳解】設(shè)，則有：，將代入橢圓：消去整理得，故，即所以，直線是點(diǎn)軌跡的切線；.【小問3詳解】由（2）可知，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)A到直線距離為，故線段，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為.19.如