第31練 基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第31講基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（精練）

刷真題明導(dǎo)向

一、單選題

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題堆三棱錐產(chǎn)-A8C中，是邊長為2的等邊二:角形，PA=PB=2.PC=水,

則該棱錐的體積為（）

A.1B./C.2D.3

【答案】A

【分析】證明平面PEC,分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為45得解.

【詳解】取AB中點(diǎn)E,連接PECE,如圖，

-A8C是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,

:.PE±AB,CE±AB,又PE,CE<=平面尸EC,PEC\CE=E,

「.AB上平面PEC,

又產(chǎn)￡=CE=2x正=5PC=76,

2

故PC'PE'CE。,即PE1.CE,

所以v=V*PEC+%￡C=；SNECA8=；X：XGXGX2=1,

JJ4

故選：A

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為G，。為底面圓心，以，P8為圓錐的母線,

403=120%若二小區(qū)的面積等于蛀，則該圓錐的體積為（）

4

A.不B.底兀C.3冗D.3瓜冗

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓饞的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在工03中，NAO8=120'，而04=08=6,取A8中點(diǎn)C,連接。CPC,有0c_LAB,PCJ_A〃,

如圖，

ZABO=30,0C=皂,AB=2BC=3,由PA4的面積為地，得』x3xPC=也，

2424

解得孚，于是止[PC?一心=J（苧）2一g）2=瓜,

所以圓錐的體積^=：兀乂042乂00=:兀*（6）2*指=^兀.

故選：B

3.：2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐尸-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=；PC,線段/生上的點(diǎn)N

2

滿足PN=§P8,則三棱錐尸-AMN和三棱錐Q-/WC的體積之比為（）

A.-B.IC.-D.-

9939

【答案】B

【分析】分別過M，C作MW'_L尸ACCEA,垂足分別為“C.過8作協(xié)」平面尸4C，垂足為3，連接

/＞笈,過"作可"_1。6',垂足為可：先證？/乂_1平面21（7,貝！1可得至!）88'〃NM，再證MM'〃CC'.由三角形相

似得到然=!，2=￡,再由2^=§3即可求出體積比.

CC3BB3VP-ABCVB-PAC

I詳解】如圖，分別過M,C作MM'±PA,CC1PA，垂足分別為",L.過8作BBI平面PACf垂足為B,

連接PB',過N作NN'工PB'，垂足為N’.

p

因?yàn)?8'JL平面PAC,BB，u平面PBB，，所以平面PB8'_L平面"C.

又因?yàn)槠矫?B*平面PAC=PB'，NN'lPB'，MV'u平面PB8'，所以MV」平面PAC,aBB'”NN’.

PMMM'I

在中，因?yàn)镸M'J_尸ACd_LB4，所以MM'〃CC'，所以H=-7=T?

PCcC3

在△*仍'中，因?yàn)锽B'〃NN'，所以竺=冬上=2

PRB￡3

1,1

1S.NN—?-PAMM'.NN，2

VVO°PAMEY2

CCblP-AMN_yN-PAM_5_0

加以v-1/-1-1

.BB，9

“BCVB-PAC一Sp\~BB'--^PACC^

3詠3

故選：B

4.12022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三楂柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形,

直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

【答案】D

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱/X7JAM組成，作"MJLC8于M,如圖,

因?yàn)镃H=BH=3,/CHB=120,所以CM=8M=M=之,

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以48=8。=36,

在直棱柱A/D-中，平面BHC,則

由A3c8C=8可得MWJ_平面ADC8,

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為人

貝I」匕亞物=gx3Gx3Gx|=§,匕F〉W￡=；X3GX|X3后二§

Q127

則該幾何體的體積為V=2VAi-JA=2x--y=27.

故選：D.

5.(2022?全國,統(tǒng)考高考真題)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別

為％和S乙，體積分別為咻和%.若率=2,貝|」摯=()

A.75B.2拒C.回D.更叵

4

【答案】C

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得4=2&,

再結(jié)合圓心角之和可將4科分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即

可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為、乙圓錐底面圓半徑為大

哈=*=2,

S乙兀rj4

所以4=24，

又牛+竿=24，

則。=1,

2|

所以4=]/，弓=§/，

所以甲圓錐的高4=

乙圓錐的高生=

2

1/-7rr^h]—/x-/

所以—=H,

乙亦也門手/

故選：c.

6.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐尸-A8C的六條棱長均為6,S是_A8C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集

合.設(shè)集合7={QwS|PQW5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

3?

A.—B.%C.2萬D.3汽

4

【答案】B

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面A8c的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為。，連接8。，則。為三角形A8C的中心,

J@LBO=-x6x—=2>/3,故尸。=：36-12=2#?

32

因?yàn)镻Q=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形人8C內(nèi)切圓的圓心為O,半徑為2xjx36,

3x6

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為乃

故選：B

7.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為第

兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3nB.4〃C.94D.12萬

【答案】B

【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑,

再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。,

設(shè)圓錐AO和圓錐8。的高之比為3:1,即AD=33D,

設(shè)球的半徑為R,則警磬，可得X,所以‘AB=3BD=4BD=4,

所以，BD=1,AO=3,

CD1AB,貝1)/040+48=/88+4。。=90,所以，4CAD=/BCD,

又因?yàn)镹AQC=N8DC,所以，AACD^CBD,

HIIADCD[「

所以，——=--,/.CD=\lADBD=V3,

CDBD

因此，這兩個圓錐的體積之和為?乃xCO、(A￡)+3O)=g;rx3x4=4;r.

故選：B.

8.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+126B.28&C.警D.竺也

33

【答案】D

【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

所以該棱臺的高h(yuǎn)=Q2T2五一可=V2,

下底面面積￥=16,上底面面積$2=4,

所以該棱臺的體積V=gM\+S2+V^）=gx&x（l6+4+>/^）=g&.

故選：D.

9.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，

地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的

距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑，?為6400km的球，其上點(diǎn)人的緯度是指04與赤道平面所成角的

度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表

面的表面積為S=2"（1-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D,50%

【答案】C

【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理干算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

I6400

2+（1-cosa）二l-cosa=-64（）。+36000,04~42%,

44/-2~2一

故選：C.

10.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在

水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級劃分如下：

200mm->|

在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程

中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），貝!這24h降雨量的等級是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個半徑為竽=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為竽x蕓=50（mm）,高

2230（）

為150（mm）的圓錐,

所以積水厚度心片曰2g），屬于中商

故選：B.

11.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為正,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長

為（）

A.2B.20C.4D.4X/2

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則乃/=2;rx正，解得/=2拉.

故選：B.

二、多選題

12.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，四邊形"C。為正方形，M_L平面ABC。，F(xiàn)B〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-ACD,F-ABC,/一ACE的體積分別為匕,匕,匕，則()

A.匕=2%B.匕=乂

C.匕川+匕D.2K=3匕

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計算%匕，連接80交4C于點(diǎn)M,連接由匕=匕…仙+Z-EFM計算出

匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D_L平面4BCQ,尸BED,則乂=g.￡7>S4⑺/

匕=:用5..《?a]。/]/,連接30交4c于點(diǎn)M,連接EM,尸M,易得8O_LAC,

JJJJ

又￡D_L平面A3C￡>,ACu平面A3CZ),貝(l￡Z)_LAC,又瓦>iBD=D,ED,BDu平面"DEF,則ACJ_平

面BDEF,

又==低，過尸作FGJ_OE于G,易得四邊形BOG產(chǎn)為矩形，則尸G=3。=2扃,EG=。,

則EM=J(2ay+(VL『=娓a,FM=Qa2+(6=島，EF=.+(2。)?=3a，

222

EM+FM=EFf則￡M_L/^，S?c?<??=-EMFM=-a'fAC=2缶，

則匕=VA-EFM+VC-EFM=gACS.EFM=2a'，則2V3=3VI?匕=3%，%=匕+%,故A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

三、填空題

13.（2021?全國?高考真題）已知?個圓錐的底面半徑為6,其體積為3（）乃則該圓錐的側(cè)面積為,

【答案】39乃

【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】VV=1^62/2=3O^

14.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺ABC。-A4CQ中，A8=2,入5=1,A4,=友，則該棱臺的體

積為______

【答案】巫

6

【分析】結(jié)合圖像，依次求得AQ，4O，AM，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作AMJLAC,垂足為M,易知AM為四棱臺AB8-A8CA的高,

因?yàn)?8=2,44=1,裕=夜，

則44=』x&A罔=顯、AO=、AC=Lx丘AB=近,

22222

故AM=；(AC—AG)=￥，則4陷=〃解―加_x/6

一2

所以所求體積為展3(4+""萬》當(dāng)=乎.

故答案為：巫.

6

15.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所裁，截去一個底面邊長

為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于(=：，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為gx(4x4)>:6=32,

截去的正四棱錐的體積為gx(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x(16+4+V^)=28.

故答案為：28.

E

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.（2023.全國.高三專題練習(xí)）已知某圓錐的高為2缶m，體積為也cm，則該圓錐的側(cè)面積為（）

3

3幾

A.—cnrB.371cm?C.67tcm2D.1271cm?

【答案】B

【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長，由圓錐的側(cè)面積公式計算結(jié)果.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為「，/,由貯x2&=逅，得r=1,

33

所以/=/+（2揚(yáng)2=3,從而該圓錐的側(cè)面積S="/=3兀.

故選：B

2.（2023?寧夏銀川?銀川一中?？既＃粽值母?lián)Q代比較快，而且燈具大部分都是設(shè)計師精心設(shè)計，對

于燈來說，不用將燈整個都換掉，只需要把燈具的外部燈罩進(jìn)行替換就可以改變燈的風(fēng)格.杰斯決定更換臥

室內(nèi)的兩個燈罩來換換氛圍，已知該燈罩呈圓臺結(jié)構(gòu),上下底皆挖空，上底半徑為l（）cm,下底半徑為18cm,

母線長為17cm,側(cè)面計劃選用絲綢材質(zhì)布料制作，若不計做工布料的浪費(fèi)，則更換兩個燈罩需要的絲綢材

質(zhì)布料面積為（）

T

1

A.969兀cn/B.9527rcm2C.864兀cm?D.476兀cnf

【答案】B

【分析】運(yùn)用圓臺的側(cè)面積公式計算即可.

【詳解】由題意可得更換兩個燈罩需要的絲綢材質(zhì)布料面積5=2兀（10+18卜17=952兀5?.

故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，將一個圓柱2〃（〃eN’）等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底

等高的幾何體，〃越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面

積增加了10,則圓柱的側(cè)面積為（）

A.10兀B.20兀C.10/nrD.18兀

【答案】A

【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.

【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，

設(shè)圓柱的底面半徑為〃，高為3貝U2出-10,

所以圓柱的側(cè)面積為2/力=10兀.

故選：A.

4.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實(shí)

物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成.碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，

以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達(dá)到碾軋加工糧食作物的目的.若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2

周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直

徑之比約為（）

A.3：2B.5：4C.5：3D.4：3

【答案】B

【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.

【詳解】由題意知，2x2兀〃=5x2”；

?_h=一5,?—h=—5

"r2"2r4’

故選：B.

5.（2023?江西鷹潭?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動來控制壓縮和排放.如

圖，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，

正三角形的邊長為半徑畫圓構(gòu)成的曲面三角形，正三角形的頂點(diǎn)稱為曲面三角形的頂點(diǎn)，側(cè)棱長為曲面棱

柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S,高為h,己知曲面棱柱的為積V=S/z,若AB=R,力=1,則曲面

棱柱的體積為（）

A.3n-3V3B.2n-2x/2

C.3兀-2&D.2兀一36

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成的，其面積等于三塊扇形的面積相加，

再減去兩個等邊三角形的面積，進(jìn)而求解.

【詳解】扇形ACB的面積S"8=gx半x6=7r,

S/=；x屁"xsing=乎,

則底面積S=3S?B+2s△八改.=3R-瑋,

所以曲面棱柱的體積V=S/?=3元-3百，

故選：A.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)?商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，

一為鱉瞞，不易之率也.“我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹

堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四楂錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉嚅.現(xiàn)

已知某個鱉膈的體積是1,則原長方體的體積是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.

【詳解】如圖所示，原長方體ABCO-ABGA，

設(shè)矩形BCC蜴的面積為s,CR=h,

鱉腐A-BCG的體積為1,

即？、（^s）乂〃=1，所以S/?=6,

即原長方體的體積是6?

故選：B

7.（2023春?寧夏銀川?高三寧夏育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知側(cè)棱長為2g的正四棱錐各頂￡工都在同一球面

上.若該球的表面積為36?，則該正四棱錐的體積為（）

A16口8及「8n32

3333

【答案】D

【分析】作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運(yùn)用勾股定理分別計算.

【詳解】設(shè)四棱錐為P-A8CQ,底面A8CO的中心為O,

設(shè)外接球的半徑為R,底面正方形的邊長為2a,四棱錐的高為PO=h,則4/雙=364、R=3>BO—\/2a，

當(dāng)外接球的球心在錐內(nèi)時為。1，在RtP8O中，BO2+PO2=PB2,

即2a2+"=]2..XD,在RtBO?！恐校?0；+BO?=BO；,即（力一3『+2/=3?…②，

聯(lián)立①②，解得〃=2,/?=2<R｛舍）；

當(dāng)外接球的球心在錐外時為。2，在RJPBO中，BO2+PO2=PB\

即2/+〃2=]2…③，在RiBOQ中，BO2+OO；=BO~,即2/+?！ǎ?=3?…④，

聯(lián)立③④解得〃=2,人=2,四棱錐的體積小.皿=3（2、2）12=,；

故選：D.

8.（2023春?湖南長沙?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建

了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六楂柱兩條相對側(cè)棱

所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3.則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為

7

【答案】B

【分析】設(shè)出相關(guān)棱長，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積，然后可得答案.

【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為。，由題意正六棱柱的高為2”,

因?yàn)檎忮F的高與底面邊長的比為2:3,所以正六棱錐的高為：明正六棱錐的母線長為巫

33

正六棱錐的側(cè)面積幻6j腎子二手〃

正六棱柱的側(cè)面積S2=6a-2a=12/,

所以.「坐

故選：B.

9.（2023?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）擬柱體（所有頂點(diǎn)均在兩個平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（S加pso〃）

公式V=!〃（$+4So+S2）求體積，其中人是高，，是上底面面積，$是下底面面積，S。是中截面（到上、

6

下底面距離相等的截面）面積，如圖所示，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為4的正方形，EF=2,

且直線打到底面A8CO的距離為3,則該五面體的體積為（）

A.18B.20C.24D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用辛普森（Simpson）公式V=5?（&+45。+邑）求解.

6

【詳解】解：如圖所示：

分別取邊AE,BF,CF,DE的中點(diǎn)G,H,J,K,

2+4

由題意知人一3,號一0,邑-4x4—16,GH=KJ=^-=3,HJ=GK=2t

則=3x2=6,

所以y='/?（S]+4So+S2）=Lx3x（O+4x6+l6）=2O,

故選：B

10.（2023?全國?校聯(lián)考三模）如圖為一個火箭的整流罩的簡單模型的軸截面，整流罩是空心的，無下底面,

由兩個部分組成，上部分近似為圓銖，下部分為圓柱，則該整流罩的外表面的面積約為（）

3200mm

A.2.018xl()77imin2B.1.824xl()77nnm2

C.1.468x10’71mm2D.1.28xlO7

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分上部分為圓錐，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積；下部分為圓柱，利用其側(cè)面積公式

求出其側(cè)面積，最后得到正面外表面面積.

【詳解】根據(jù)題意，上部分圓錐的母線長為止50002十160G2=3400(mm)，

所以圓錐的側(cè)面積為gx3400x2兀xl600=5.44xl067u(mn?),

下部分圓柱的側(cè)面積為2兀xl600x4000=1.28xl()7Mmm2),

所以該整流罩的外表面的面積約為5.44x106兀+1.28X10?九=1.824x1()7兀mnf.

故選：B.

11.(2023?北京通州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱牲，人4=1,

AP=y/3,A8=2,則該幾何體的體積為()

【答案】B

【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐P-"CO的高，再根據(jù)棱柱與棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】在正四棱錐P-A5co中，連接AC8。交于點(diǎn)。，連接.，

則。P即為正四棱錐P-ABCD的高，

°A=；AC=&，3?=〃尸-04,=1，

I4

所以^P-ABCD=-x2x2xl=—,匕8<7)-4區(qū)&。=2x2x1=4,

所以該幾何體的體積為944=1拳6

JJ

D

C

O

故選：B

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋

盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋

盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則

黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：圓臺的側(cè)面積S=MA+r）/,R,，?為兩底面半徑，/為母線長，

其中冗的值取3,725.4025^5.04）

A.300.88cm2B.313.52cm2C.327.24cm2D.344.52cm2

【答案】B

【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為/,兩底面圓半徑分別為R,「（其中R＞廠），

貝！］2R=22.5,2r=14.4,/?=3.8-（）.8=3,

所以/==J32+4.05?=325.4025*5.04,

故圓臺部分的側(cè)面積為、=7r(/?+r)/?3x(l1.25+7.2)x5.04=278.964cm2,

圓柱部分的側(cè)面積為S2=2nr-0.8=6x7.2x0.8=34.56cm2,

故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為$+S2a278.964+34.56=313.524cm2.

故選：B.

13.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上、卜底面的半徑分

別為3和4,球的表面積為10（k，則該圓臺的體積為（）

c238兀?259n

75Kc—D.------

33

【答案】D

【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進(jìn)一步求出圓臺的體積.

【詳解】因?yàn)閳A臺外接球的表面積S=4“2=1（）（）兀，所以球的半徑r=5,

設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為Q,O1,在上、下底面圓周上分別取點(diǎn)A3,

連接002,00—04,08,。/，。出，如圖,

因?yàn)閳A臺上、下底面的半徑分別為3和4,

所以|0可=|。4|=4,依同=|0例=3,

所以|O0=J|O葉—|。固2=3,|OQ|二J|O4(TQA|2=4,

所以四O4=7,

所以圓臺體積丫=；'（9兀+16兀+12TT）X7=259兀

3

故選：D.

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即

正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體.若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面

體，已知該正八面體的體積為36,則生成它的正方體的棱長為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】設(shè)正方體的棱長為2a,由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.

【詳解】設(shè)正方體棱長為2a,可得正八面體是由兩個四棱錐構(gòu)成，

四棱錐的底面為邊長為缶的正方形，高為

貝I」正八面體體積為2、;、（2/卜4=36,解得〃=3,??.2〃=6?

故選：B.

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖①，"球缺''是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺

的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體枳公式為丫=］（3/?-4）力2,其中R是球

的半徑，人是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機(jī)械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個

相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機(jī)械插件中間部分的體積約為（兀。3）

()

圖①

A.62326cm3B.62328cm3

C.62352cm③D.62356cm3

【答案】C

【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結(jié)合球的體積公式和“球缺”的

體積公式可得結(jié)論.

【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下：

由已知可得AB=14,設(shè)。為4B的中點(diǎn)，

貝"￡>=7,

由已知可得2X(8+AE)=58,又AE=5,

所以00=24,

由求得截面性質(zhì)可得VODA為以04為斜邊的直角三角形，

所以0A=,0/)2+4)2=25,即球的半徑R=25，

所以以。為球心，04為半徑的球的體積等%,

又兀。3,所以乂*62500,

因?yàn)榍虻陌霃絉=25,0力=24,

所以“球缺”的高為1,

所以一個“球缺”的體積匕=5(3/?-〃)力2ss74,

所以該機(jī)械插件中間部分的體積約為62500-74x2=62352(cm3).

故選：C.

二、多選題

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下

兩部分的面之比為1:2,則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是()

A.側(cè)面積之比為1:4B.側(cè)面積之比為1:8

C.體枳之比為1:27D.體積之比為1:26

【答案】BD

【分析】計算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為相似比

的立方可求得結(jié)果.

【詳解】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，

所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為1:3,高之比為1:3,

所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為1：9,體積之比為1:27,

即小棱錐與棱臺的側(cè)面積之比為1:8,體積之比為1:26.

故選：BD.

17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid）t是由邊數(shù)不全相

同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條楂的中

點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，

已知=則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）

A.該半正多面體的體積為了

B.該半正多面體過4B,C三點(diǎn)的截面面積為36

C.該半正多面體外接球的表面積為12%

D.該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)K面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式丫+尸-七=2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A,由截面為正六邊形可求面積判斷B,根據(jù)外接球?yàn)檎ダ庵耐饨?/p>

球即可判斷C,根據(jù)頂點(diǎn)，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.

【詳解】如圖，

該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個三棱錐所得到的.

對于A,因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為:

V=2x2x2-8xlxlxlxl=—,故正確；

323

對于B,過A,B,C三點(diǎn)的截面為正六邊形ABCFED,所以S=6、乎、（&丫=36,故正確.

對于C,根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為五，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外

接球，所以該半正多面體外接球的表面積5=4乃/?2=4乃*（應(yīng)丫=阮，故錯誤；

對于D,幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12,有14個面，24條棱，滿足12+14-24=2,故正確.

故選：ABD

18.（2023?重慶?二模）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假F1之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便

是端午節(jié)食俗之一.全國各地的粽子包法各有不同.如圖，粽了?可包成棱長為6cm的正四面體狀的三角粽，

也可做成底血半徑為5cm,高為6cm（小含外殼）的圓柱狀竹筒粽.現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等;

半徑為6cm的半球的體積，則（）（參考數(shù)據(jù)：?4.44）

A.這兩碗餡料最多可包三角粽35個

B.這兩碗餡料最多可包三角粽36個

C.這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個

D.這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個

【答案】AC

【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得

出答案.

I4

【詳解】解：兩碗餡料得體積為：2x-x-^-x63=288^cm\

23

如圖，在正四面體。-ABC中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的

高，

CM=6x—=3\/3cm,OC=|GW=2>/3cm,OD=V36-I2=2x/6cm,

23

所以正四面體的體積為^xlx6x3x/3x2V6=l80cm,

即一個正四面體狀的三角粽的體積為18缶m）

因?yàn)?88萬+18及h35.52，

所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤；

D

一個圓柱狀竹筒粽得體積為f-Lrx6=—萬cn?,

⑶2

27

因?yàn)?884+彳4=21.33,

所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知某圓錐的母線長為2,其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說

法中正確的有（）

A.圓錐的體枳為迪乃

3

B.圓錐的表面積為2歷

C.圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為6r的扇形

D.圓錐的內(nèi)切球表面積為（24-16夜,

【答案】ACD

【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據(jù)

球的表面積公式可判斷D.

由題意圓錐的底面半徑r=&,圓錐的高。=4方=&,

所以圓錐的體積丫='乃/.力=也；，故A正確；

33

圓錐的表面積S=萬”+力二=20%+2)，故B錯誤；

圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角a=亞=&不，故C正確；

2yli

作出圓錐內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為4,

四邊形A8CD為正方形，所以(2-a)x2=2夜，解得。=2-&，

圓錐的內(nèi)切球表面積5=4兀/=甸2-拉丫=僅4-16⑹乃，故D正確.故選：ACD

20.(2023?全國?高三專題練習(xí))《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十

書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為"羨除”，則()

A.“羨除”有且僅有兩個面為三角形；B.“羨除一定不是臺體：

C.不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”：D.“羨除”至多有兩個面為梯形.

【答案】ABC

【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A；通過AE//8F//C。，判斷“羨除”一定不是臺體，判斷B；利用反

證法判斷C；通過A￡8F,C。兩兩不相等，貝IJ“羨除”有三個面為梯形，判斷D.

【詳解】由題意知：AEIIBFIICD,四邊形AO布為梯形，如圖所示：

對于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個面為三角形，故A正確;

對于B：由于AEUBFHCD,所以：“羨除”一定不是臺體，故B正確；

對于C假設(shè)四邊形ABE尸和四邊形BCDF為平行四邊形，則AE//8fV/C0,AAE=BF=CD,則四邊形

4CDE為平行四邊形，與已知的四邊形4CDE為梯形矛盾，故不存在，故C正確；

對于D：若AE^BFrCD,貝卜羨除”三個面為梯形，故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是.（結(jié)果用

含兀的式子表示）

【答案】y

【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S=”/求得結(jié)果.

【詳解】解：「圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，

???圓錐的底面半徑一=；,母線E，

故圓錐的側(cè)面積5="/=^.

2

故答案為：p

22.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體枳為16兀，則球的表面

積為.

【答案】16K

【分析】設(shè)球的半徑為J根據(jù)圓柱的體積可求得〃，利用球的表面積公式即可求得答案.

【詳解】設(shè)球的半徑為J則圓柱的底面直徑和高皆為2八

故圓柱的體積為冗產(chǎn)x2r=16%.”=2,

故球的表面積為4兀/=16冗＞

故答案為：16兀

23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若長方體的對角線的長為9cm,其長、寬、高的和是15cm,則長方體的全

面積是.

【答案】144cm2

【分析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為利用（x+y+z）2可構(gòu)造方程求得為，+2忘+2》，即為所求的

全面積.

x+y+z=\5

【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為MJ。，則

y]x2+y2+z2=9*

/.(x+y+z)-=x2+y~+z2+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,

^xy+2xz+2yz=\44t即長方體的全面積為144cm?.

故答案為：144cm2.

24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今

有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高王尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆

為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”

已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,則堆放的米約有,斛（結(jié)果精確到個位）.

11?15=3203小

【詳解】依題意有體積為六.1一刀，故一共有3rL62。（斛）格

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個棱錐，則該棱

錐的體積與剩下的幾何體體積的匕為.

【答案】1:47

【分析】求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.

【詳解】設(shè)長方體長寬高分別為2a,2b,2c,

所以長方體體積M—2八2Ax2c-8皿c,

三棱錐體積V）=-x—xtzx/?xc=—abc,

~326

所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：

v,\abc_L

匕飛一（8」標(biāo)一47?

故答案為：1:47.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

26.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在百三棱柱A8C-A8G中，。是等腰直角三箱形.若

【分析】根據(jù)直三棱柱的體積公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)樵谥比庵?BC-AgG中，是等腰直角三角形，

AB=AC=4,AAf=