數(shù)列經(jīng)典例題

類(lèi)型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1,在數(shù)列《%＞中，司=一1，％+1=4+筋，求4解析：,.?%+k4+如，當(dāng)是22時(shí)，-￡i1=2x14 5=3一厘2=2x25%一%=2父35厘”一厘#“=2M(霓—1)將上面同一1個(gè)式子相加得到:%-%=2"1+2+3+一..+但-1)廣2工■-i ?,小二叼+內(nèi)一抬-1(a2),當(dāng)以=1時(shí)，的=T=(TyTT符合上式故V伽Eg總結(jié)升華：1,在數(shù)列&)中，％1,在數(shù)列&)中，％+i_/=/缶)，若/⑸為常數(shù),則數(shù)列g(shù)j是等差數(shù)列；若」儂)不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于M的式子，則數(shù)列SJ不是等差數(shù)列.2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如％2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如％+1=4+,(⑷的解析式,而,(1)+/(2)+--JW的和是可求的，則可用多式累(迭)加法得怎.舉一反三:【變式1】已知數(shù)列(%),的=2,%+1=%+為+2,求怎321【答案】 2 25￡獷)【變式2】數(shù)列(/)中為=1, 求通項(xiàng)公式次?【答案】4"-1加方+).類(lèi)型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式?^2.設(shè)區(qū)》是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且6+1)$L*+七+凸=。6=L23…),求它的通項(xiàng)公式％解析：由題意伊十°%網(wǎng)-%+*4=0〉=L2旦…)■（:%?1+4〉[5+1）/+1-甩％]=03+1）/網(wǎng)-，&二0_裾用+M+1-叫=0陽(yáng)+1二彷/

5% 雞1 %%-——X X---X—???當(dāng)科2時(shí)，％」/〃一1艘一2斯部一111=11制5當(dāng)用二1時(shí)，的=1符合上式_1*n+、)■■■總結(jié)升華：1,在數(shù)列口)中，%=/(0明,若/⑻為常數(shù)且4H°,則數(shù)列&＞是等比數(shù)列；若/㈤不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于總的式子，則數(shù)列不是等比數(shù)列.2.若數(shù)列有形如%=/(用一4T的解析關(guān)系，而『⑴J(⑷的積是可求的，則可用多式累(迭)乘法求得怎.舉一反三:「、 *1=一4【變式1】在數(shù)列I盤(pán),中， 2,相_1 t七個(gè)、一7%T(內(nèi)三芍線十15求龍.【答案】【變式2】已知數(shù)列SC中，的=2,%+「%5值匕N+),求通項(xiàng)公式即.建4+1—4【答案］由《+1—4 2得口2=2+1=???當(dāng)理之2時(shí),叫”i 的町不-2+2期—1+2

題一2n—1=21|月一2月一1當(dāng).二］時(shí)，口1=用（〃+D（用三M）類(lèi)型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3.數(shù)列中，可二3.數(shù)列中，可二3心一&般風(fēng)..心獷］—=5—=5%即可.思路點(diǎn)撥：對(duì)％―/■］=5%/+1兩邊同除以/一,+1得4+1__q ———一.解析：；%—%+L曠%+1,...兩邊同除以4R+1得&41題成等差數(shù)列，公差為*5,首項(xiàng)的3151435總結(jié)升華:.兩邊同時(shí)除以％.%+】可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于4和4+1的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列SC{1} {1} {1},.的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列明，而%恰是等差數(shù)列其通項(xiàng)易求，先求%的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng)..若數(shù)列有形如,（%，％」%%-】）二°的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以先求出右，再求得4舉一反三:【變式1】數(shù)列14）中，_2［答案］跖甩十］（網(wǎng)￡兇.）【變式2】數(shù)列SC中，為二1J_1【答案】％2題—］伊匕如）.類(lèi)型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4,已知數(shù)列&＞中，/二2（冊(cè)十］+4）=萬(wàn)（4+/）法一：設(shè) 3 ,2——丁即原式化為 3設(shè)4=4.3,則數(shù)列《機(jī)1=^-3=（-2）x（12 1/十「三4二1法二：： 3 ①2%一三％=15之2）5 （2%+L-4=力由①一②得： 3設(shè)4=%+「%,則數(shù)列（年二陽(yáng)十「％二|尺（|'）'.|%十1-%二勺跖+I二,S七獷）%+2 ，求4.獷），求乩2 ?? =—av+11 花七\(yùn) ?X -心, j ，求?,解得達(dá)二一3樂(lè)一可,為等比數(shù)列，且月二值「3=-22）1:（%一4-1）1大）為等比數(shù)列口二守法三:A=3-3x(-叼=|厘1+1 %=|%+1= +1 厘4=|%+1=-LH 1--+13=3-3x(—B3總結(jié)升華:1.一般地，對(duì)已知數(shù)列（怎）的項(xiàng)滿(mǎn)足到=R,%」=j+d（51為常數(shù)，0J）,則可設(shè)%+1+￡=以/+￡）得%+1=14+值一\利用已知得值—二d即口一1,從而將數(shù)列a:轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列出一°的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2.若數(shù)列有形如%+i=無(wú)（3b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得4舉一反三:【變式1】已知數(shù)列中可=$1 、怎期+￡=3（4十0【答案】令 32-t3管"即=6{%-6）為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為厘「8二-11公比3【變式2】已知數(shù)列【變式2】已知數(shù)列SG滿(mǎn)足加在+3,而且的=1,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式/

a【答案】V設(shè)血％■,則%1=3%+\即句+i+1=3鳳+1)^^1=—+1=2，數(shù)列（紇十0是以 ％ 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,1.224-12x?-1.224-12x?-1類(lèi)型五：凡和4的遞推關(guān)系的應(yīng)用—缶&曰 THHr-口￡川=44+2（程=?1=1▼5.已知數(shù)列' 中，/是它的刖n項(xiàng)和，并且M+1翌I(lǐng) ,1⑴設(shè)4=4+1—2%5=1,2,3,一），求證：數(shù)列（為）是等比數(shù)列；⑵設(shè)“2aH23,…）,求證：數(shù)列（《）是等差數(shù)列;⑶求數(shù)列（&）的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.解析：(1)因?yàn)榉?。=4%+2,所以況+2=44+]+2以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得M+3一況+1=（4%+]+2）-?4+2）=4/7-4%（不=12,3,…）即%+L4%+i-4%,變形得%+廠2%+i=2區(qū)?】一羽）因?yàn)?二%= 所以4+i=24由此可知，數(shù)列儂）是公比為2的等比數(shù)列.出號(hào)二的十町=4%+21]=1田 ， ，所以均一所以瓦二町一物二乙(2)p-H一呼(LT__3將與二32i代入得Gi.相=123--)由此可知，數(shù)列（a）是公差為3的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)52萬(wàn),TOC\o"1-5"\h\z13 35=—十—(超一1)=-?故24 4_3 1_1⑶J二廠一廠j如7,所以％="=當(dāng)n22時(shí)，區(qū)+1二例+2二1交-力2*+2Y二匹7-W+2二亥-4"一】+2由于號(hào)二由二1也適合此公式,玷匚匚卡（瑪）1vl4 TKHn八T曰&二（炎一4）爸一1+2故所求'的刖n項(xiàng)和公式是H' '總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問(wèn)題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問(wèn)題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)策略.舉一反三:【變式［］設(shè)數(shù)列（4）首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和用滿(mǎn)足登&一⑵+3）兄.1二至?>0涉-2》已出）（。求證：數(shù)列是等比數(shù)列;_ =/（—）（?=2,3,4,-0（2）設(shè)數(shù)列1火）的公比為,門(mén)，作數(shù)列使自二、 州-1 ,求值金的通項(xiàng)公式.【答案】號(hào)二司+a2=1+盯%+3弘與一⑵+3?］=31=>寵口+町）一（21+多%=支n%二 電_2￡+3■ai電TOC\o"1-5"\h\z,, 5式呢⑵十河一片裁②=> -(2￡+ 1=0①一② "

至二三5二23,4,5…)%.1兔TOC\o"1-5"\h\z,, 5■+3，SJ是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為龕的等比數(shù)列;2Z+3 2 1(2) =—+-(2)龕 3 t)=-+^]--1!)!-1M-12⑴是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為3的等差比數(shù)列入?2,/2 1d=1+—C?2-D=—?+-八-3【變式2】若由二2,之屋二初凡一41之2）,求工.［答案］當(dāng)n22時(shí)，將/=用一恿_1代入21=2a^K-aOS—iG整理得應(yīng)■「凡=之凡一.t兩邊同除以兄一工.得凡凡兩邊同除以兄一工.得凡凡T=2（常數(shù)）是以團(tuán)為首項(xiàng)，公差*2的等差數(shù)列,5=,+5_1是以團(tuán)為首項(xiàng)，公差*2的等差數(shù)列,5=,+5_1川=￡+(劇—1)23MM 14甩一34片一3r、 r、 Sa=【變式3】等差數(shù)列I%'中，前n項(xiàng)和若以二2一%求數(shù)列也）的前n項(xiàng)和％..<4）為等差數(shù)列，公差設(shè)為次,金二s-母二. 二.+%+2%―@」.LKI-"M，'2'" 2T~,，4%=Q%-d+21d■,，絳一0/二省2-d)■,，4=0凡』"y」、TOC\o"1-5"\h\z若之，則2 2 ,.f.LJ1+11的二顯二(F-),■ 乙■ 5口1=1a=l+(?a-1)-2=2?-1w?? J,Tn二型+4+與+…+與二3/2+$><21+7艾/+…+3+1)"因』2F在+九2"+伽+1).泮 ②①一②得Y二3父2+2啰+2F42)-Q+1).2川=2+2口+2三+24+...2H41-(2^+l)?2加,q=2B+1(2^+1)-2B+-2+2=2a+1(2^-1)+2類(lèi)型六：數(shù)列的應(yīng)用題-6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m,在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路點(diǎn)撥：本題求走的總路程最短，是一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題，而如何求和是關(guān)鍵，應(yīng)先畫(huà)一草圖，研究他從第一面旗到另一面旗處走的路程，然后求和.解析：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面旗處，共走路程為了1°卜一°,回到第二面處再到第K面處是20卜一°）,回到第三面處再到第X面處是2。卜一七5從第K面處到第G+1）面處取旗再回到第式面處的路程為2°,從第K面處到第+2）面處取旗再回到第工面處,路程為20X2,

總的路程為:S= —1)十2。(e—2)十 —3)十—H20x2+20xl+20十2。芯2十—H20x(13—芯“(x-l)(x-2)m+20x- -+20x- =10[Cx-l)+(x-2)(x-l)+a3-xX14-x)]=1。(2汽2—29^+183)31154二？時(shí)，S有最小值*血陽(yáng)）答：將旗集中到第7面小旗處，所走路程最短.總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用等差數(shù)列前黑項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的9倍，則該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率【答案】D；解析：從2月份到12月份共有11個(gè)月份比基數(shù)（1月份）有產(chǎn)值增長(zhǎng)，設(shè)為K,則（1+婿寸”.T【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬(wàn)元人民幣，年利率為4「%,到2007年1月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為卯%）共計(jì)1突3元，則該人存款的本金為（A.萬(wàn)元B.2萬(wàn)元C.3萬(wàn)元D.萬(wàn)元【答案】B；解析：本金二利息/利率，利息二利息稅/稅率■利息二W.8-2。%二日34（元）,=本金二詼二2。。。。（元）【變式3】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的盟個(gè)月內(nèi)累積的需求量應(yīng)（萬(wàn)件）近似地滿(mǎn)足.按比例預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)L5萬(wàn)件的月份是（）5月、65月、6月6月、7月C.7月、8月D.9月、10月【答案】C；解析：第抬個(gè)月份的需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件，則恙_*t崎C2加-儲(chǔ)-5)-3，1(4-1)-(那-1『-5/15解不等式，得加T—+34>口,即6<"9.【變式4】某種汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車(chē)的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年后報(bào)廢最合算？(即年平均費(fèi)用最少)【答案】設(shè)汽車(chē)使用年限為內(nèi)年，/,)為使用該汽車(chē)平均費(fèi)用./(w)=1［10+0.9?2+(0.2+0.4+---+0.2w)10+1>1+2=31010+1>1+2=31010當(dāng)且僅當(dāng)10驀,即加二10(年)時(shí)等到號(hào)成立.因此該汽車(chē)使用10年報(bào)廢最合算.【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2007年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.(1)分別求2007年底和2008年底的住房面積；(2)求2026年底的住房面積.(計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到)【答案】2007年底的住房面積為1200(1+5%)—20=1240(萬(wàn)平方米),2008年底的住房面積為1200(1+5%)2—20(1+5%)—20=1282(萬(wàn)平方米)，.,.2007年底的住房面積為1240萬(wàn)平方米；2008年底的住房面積為1282萬(wàn)平方米.2007年底的住房面積為［1200(1+5