2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 概率與統(tǒng)計 第4講　概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新題型原卷版

第4講概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新題型（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】概率和數(shù)列的綜合問題 2【考點(diǎn)二】概率和函數(shù)的綜合問題 4【專題精練】 6考情分析：概率與統(tǒng)計問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】概率和數(shù)列的綜合問題一、單選題1．（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（

）A．512 B．1024 C．5120 D．102402．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列共有9項，，，且滿足：（，），則符合條件的數(shù)列共有（

）個．A．16 B．40 C．70 D．80二、多選題3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，下列說法正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．的數(shù)學(xué)期望4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：123…n…若數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．若n為奇數(shù)，則 B．C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D．三、填空題5．（2024·江西·一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．四、解答題6．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知有窮數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列中各項重新排列構(gòu)成新數(shù)列，則稱數(shù)列是的“重排數(shù)列”；若數(shù)列各項均滿足，則稱數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”，記項數(shù)為的數(shù)列的“完全重排數(shù)列”的個數(shù)為．(1)計算，，；(2)寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)若從數(shù)列及其所有“重排數(shù)列”中隨機(jī)選取一個數(shù)列，記數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”的概率為，證明：當(dāng)無窮大時，趨近于．（參考公式：）規(guī)律方法：概率問題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：(1)求通項公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．【考點(diǎn)二】概率和函數(shù)的綜合問題一、單選題1．（2024·浙江·三模）定義函數(shù)集．已知函數(shù)，，，．若函數(shù)，則在為奇函數(shù)的條件下，存在單調(diào)遞減區(qū)間的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對立事件分別為，則（

）A．B．C．D．二、填空題3．（23-24高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.4．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.三、解答題5．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進(jìn)行檢驗(yàn)，篩查出該種疾病攜帶者.(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；②求檢測顯示患有該疾病的居民確實(shí)患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗(yàn)一次（每一小組都要按要求獨(dú)立完成），取何值時，總化驗(yàn)次數(shù)最少？說明：函數(shù)先減后增.0.88580.86810.85080.83376．（2024·廣東·一模）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏檢率時，求臨界值和錯檢率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．規(guī)律方法：構(gòu)造函數(shù)求最值時，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對變量范圍的限制．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·福建三明·三模）隨機(jī)變量，函數(shù)沒有零點(diǎn)的概率是，則μ的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖南常德·一模）將三個分別標(biāo)注有，x，的三個質(zhì)地均勻的小球放入一個不透明的小盒中.無放回的隨機(jī)取出2個小球（每次取一球），分別記錄下小球的標(biāo)注為.若，則在上單調(diào)遞減的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進(jìn)數(shù)字的計算方法、提高計算速度和準(zhǔn)確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則k的值為（

）A．11 B．15 C．19 D．215．（2024·河南·二模）單調(diào)遞增數(shù)列滿足：.在的條件下，的概率為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當(dāng)今社會的一種流行文化，也是青少年學(xué)習(xí)、娛樂和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對其過度依賴，甚至對心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實(shí)問題.”某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關(guān)的概率為50%，若該局通關(guān)，參與者可以贏得兩個游戲幣.遇到兩種情況會自動結(jié)束游戲：一種是手中沒有游戲幣；一種是手中游戲幣到預(yù)期的個.設(shè)當(dāng)參與者手中有個（）游戲幣時，最終手中沒有游戲幣的概率為，下列說法錯誤的是（

）A．，B．記參與者通關(guān)的局?jǐn)?shù)，在前13局中，，C．D．若參與者最初手中有20個游戲幣，他希望贏到100個，則他輸光的概率為7．（24-25高三上·福建·開學(xué)考試）某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月?lián)u號，每個月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（

）個月.A．7 B．8 C．9 D．108．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知A細(xì)胞有0.4的概率會變異成細(xì)胞，0.6的概率死亡；細(xì)胞有0.5的概率變異成A細(xì)胞，0.5的概率死亡，細(xì)胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結(jié)論成立的是（

）A．一個細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.75B．一個細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞的概率為0.2C．一個細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.35D．一個細(xì)胞為細(xì)胞，其死亡前是細(xì)胞的概率為0.7二、多選題9．（2024·廣西來賓·一模）甲，乙，丙，丁等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人，經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中的概率為Pnn=1,2,?，則下列結(jié)論正確的是（A．經(jīng)過一次傳球后，球在丙中概率為B．經(jīng)過兩次傳球后，球在乙手中概率為C．經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中概率為D．經(jīng)過n次傳球后，10．（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人做足球傳球訓(xùn)練，規(guī)定：每次傳球時，傳球人將球傳給另兩人中的任何一人是等可能的．假設(shè)第1次由甲將球傳出，第k次傳球后，球回到甲處的概率為（），則（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·貴州貴陽·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種三、填空題12．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成個不重復(fù)的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.13．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨(dú)立，則當(dāng)取最大值時，．14．（22-23高二下·北京豐臺·期末）投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次投擲結(jié)果是正面的概率為p（）.現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為，則；函數(shù)取最大值時，.四、解答題15．（2024·浙江·三模）為提高學(xué)生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強(qiáng)國防觀念和國家安全意識，某校進(jìn)行軍訓(xùn)打靶競賽．規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當(dāng)?shù)趎次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)有如下定義：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點(diǎn)與圓心的距離．試求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)．16．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.17．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進(jìn)行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規(guī)則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機(jī)取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過