2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練21 計(jì)數(shù)原理與概率（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練21計(jì)數(shù)原理與概率[考情分析]1.高考中主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對二項(xiàng)式定理的考查以求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下.2.高考中對此概率內(nèi)容多以實(shí)際材料為背景，主要考查隨機(jī)事件的概率及古典概型、條件概率的計(jì)算，也考查概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出現(xiàn)，難度中等偏下．【練前疑難講解】一、排列與組合問題1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．2．解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．二、二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論(1)(a－b)n＝Ceq\o\al(0,n)an－Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)bn.(2)(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn.2．求解二項(xiàng)式有關(guān)問題時(shí)，一定要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系．三、概率1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的樣本點(diǎn),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)).2．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)．4．若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．5．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)·P(B|Ai)．一、單選題1．（22-23高三下·湖北·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）第19屆亞運(yùn)會在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館時(shí)，場館僅有2名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．24 B．25 C．48 D．494．（2024·北京·三模）已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．240 C．60 D．二、多選題5．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．C． D．三、填空題7．（21-22高三上·山東·開學(xué)考試）設(shè)，則除以9所得的余數(shù)為．8．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.參考答案：題號123456答案BBDBABDACD1．B【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.2．B【分析】首先得甲去場館或的總數(shù)為，進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概率.【詳解】不考慮甲是否去場館，所有志愿者分配方案總數(shù)為，甲去場館的概率相等，所以甲去場館或的總數(shù)為，甲不去場館，分兩種情況討論，情形一，甲去場館，場館有兩名志愿者共有種；情形二，甲去場館，場館場館均有兩人共有種，場館場館均有兩人共有種，所以甲不去場館時(shí)，場館僅有2名志愿者的概率為.故選：B．3．D【分析】利用二項(xiàng)式定理連續(xù)展開兩次，然后令，從而滿足題意的數(shù)組可以是：，將這些數(shù)組回代入通項(xiàng)公式即可運(yùn)算求解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，規(guī)定，故所求為.故選：D.4．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，其展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.5．ABD【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，，，所以，故A正確、B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD6．ACD【分析】對A根據(jù)對立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對B，直接計(jì)算即可；對C，利用全概率公式即可；對D，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】對A，因?yàn)閷α⑹录腔コ馐录訟正確；對B，，所以B錯(cuò)；對C，由全概率公式可知，所以C正確；對D，由C可知，因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以是關(guān)于n的遞減數(shù)列，所以，D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡得到，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)性即可.7．8【分析】根據(jù)已知條件將a寫為，即，展開后觀察式子即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以除?所得的余數(shù)為8．故答案為：88．/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（

）個(gè)．A．24 B．30 C．36 D．603．（2024·山東日照·一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（

）A．9種 B．36種 C．38種 D．45種4．（2024·遼寧大連·一模）將六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．36種 D．54種5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若，則（）A．6 B．16 C．26 D．366．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年7．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（

）A． B． C． D．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．10．（2024·遼寧·二模）某公司的員工中，有是行政人員，有是技術(shù)人員，有是研發(fā)人員，其中的行政人員具有博士學(xué)歷，的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，的研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若m，n為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．12．（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C．若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法13．（2024·江西·二模）在的展開式中（

）A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為 B．第項(xiàng)的系數(shù)最大C．所有項(xiàng)系數(shù)之和為 D．不含常數(shù)項(xiàng)14．（2024·山東青島·三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示年份201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量（萬臺)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0銷量（萬臺)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6記“產(chǎn)銷率”年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為，則（

）A．B．2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)C．從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為D．從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于的條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于的概率為三、填空題15．（2024·浙江·二模）某中學(xué)的A?B兩個(gè)班級有相同的語文?數(shù)學(xué)?英語教師，現(xiàn)對此2個(gè)班級某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個(gè)班級的2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式.（用數(shù)字作答）16．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人且甲、乙不站同一個(gè)臺階，同一臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是種.(用數(shù)字作答)17．（23-24高三上·湖南張家界·階段練習(xí)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲?乙?丙?丁4個(gè)小區(qū)開展工作，若每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有種分配方法（用數(shù)字作答）；18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則．參考答案：題號12345678910答案DBBBDBBCDC題號11121314答案ADABCABDACD1．D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.故選：D.2．B【分析】考慮選出的3個(gè)數(shù)中有沒有0的情況，有0時(shí)再考慮0的排法，根據(jù)分類加法原理，即可求得答案.【詳解】若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中沒有0，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中有0，且0排在個(gè)位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；若從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)中有0，且0不在個(gè)位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有個(gè)；故從0，1，2，3，4中選出3個(gè)數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有個(gè)，故選：B3．B【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，故共有種情況.故選：B4．B【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有種分法，故不同的分配方法共有種，故選：B.5．D【分析】由，由二項(xiàng)式定理，利用展開式的通項(xiàng)求的值.【詳解】因?yàn)椋归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以.故選：D.6．B【分析】借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得.【詳解】由，故除以的余數(shù)為，故除以的余數(shù)為，故年后是馬年.故選：B.7．B【分析】分別求出“甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和“每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法”的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可.【詳解】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：種；每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.8．C【分析】由條件概率公式求解即可.【詳解】.故選：C.9．D【分析】根據(jù)題意，由全概率公式、條件概率公式和貝葉斯公式，結(jié)合已知條件，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：；；由全概率公式可得：；故.故選：D.10．C【分析】設(shè)事件“選出的員工是行政人員”，“選出的員工是技術(shù)人員”，“選出的員工是研發(fā)人員”，“選出的員工具有博士學(xué)歷”，由全概率公式及條件概率公式分別求出和，即可求解．【詳解】設(shè)事件“選出的員工是行政人員”，“選出的員工是技術(shù)人員”，“選出的員工是研發(fā)人員”，“選出的員工具有博士學(xué)歷”，由題可知，，，，，，，所以，，，所以，故選：C．11．AD【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.【詳解】對A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；對B：，故B錯(cuò)誤；對C：，，左右兩邊不相等，故C錯(cuò)誤；對D：，故D正確.故選：AD12．ABC【分析】選項(xiàng)A將數(shù)學(xué)排在后三節(jié)，再將其余3個(gè)科目全排列即可；選項(xiàng)B采用捆綁法進(jìn)行求解；選項(xiàng)C采用插空法進(jìn)行求解；選項(xiàng)D根據(jù)除序法進(jìn)行求解.【詳解】對于A，有種排法，故A正確；對于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；對于C，采用插空法，有種排法，故C正確；對于D，有種排法，故D錯(cuò)誤．故選：ABC13．ABD【分析】由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，通過給變量賦值，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】由于二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確．設(shè)展開式第項(xiàng)為，易知的系數(shù)均小于0，且，故第項(xiàng)的系數(shù)最大，為80，故B正確,令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為，故C錯(cuò)誤，當(dāng)，則，但，故展開式不含常數(shù)項(xiàng)，D正確．故選：ABD．14．ACD【分析】由中位數(shù)定義可判斷A；求得每年的產(chǎn)銷率，可判斷B；由B可得產(chǎn)銷率大于的有2個(gè)年份，可得概率判斷C；利用條件概率公式求解可判斷D.【詳解】對于A：由中位數(shù)的定義可知，，故A正確；對于B：2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率依次為：所以2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率隨年份的增加，有時(shí)增加，有時(shí)減少，故B錯(cuò)誤；對于C：由B可知，從2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率大于的有2個(gè)年份，所以從2015–2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為，對于D：設(shè)事件A表示“從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于m”，事件B表示“從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率大于”，所以所以故D正確.故選：ACD.15．8【分析】由表示數(shù)學(xué)課，表示語文課，表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課順序，列出所有可能情況可得答案.【詳解】由表示數(shù)學(xué)課，表示語文課，表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課排列，可得若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，則共有8種不同的排課方式.故答案為：8.16．180【分析】采用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】易知甲有6種站法，則乙有5種站法，丙有6種站法，總共有種.故答案為：18017．【分析】利用分組分配求解【詳解】先把名志愿者分成共組，然后再進(jìn)行排列，有種不同的分配方法，故答案為：18．3【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及給定的常數(shù)項(xiàng)求出值.【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令得，令，無解，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故答案為：3【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（

）A．2025種 B．4050種 C．8100種 D．16200種2．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球．則恰有2個(gè)小球與所在盒子編號相同的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個(gè)人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（

）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．10564．（2023·廣東茂名·二模）從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江嘉興·二模）6位學(xué)生在游樂場游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種6．（2024·遼寧大連·一模）（

）A． B． C． D．7．（2024·重慶·三模）中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)，，為整數(shù)，若和被除得余數(shù)相同，則稱和對模同余.記為.若，，則的值可以是（

）A．14 B．15 C．16 D．178．（2024·遼寧撫順·一模）若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為10，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（22-23高二下·江蘇南通·期中）已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（

）A． B． C． D．10．（2024·湖南常德·三模）設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%，乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．.B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：.C．第20行中，第11個(gè)數(shù)最大.D．第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)之比為7∶9.12．（2024·廣東佛山·一模）有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（

）A．第25百分位數(shù)不變的概率是B．極差不變的概率是C．平均值變大的概率是D．方差變大的概率是13．（2024·云南·模擬預(yù)測）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)黃色球和1個(gè)藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)裝有3個(gè)紅色球，2個(gè)黃色球．若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同色的箱子中，第二次再從剛才放入與球同色的這個(gè)箱子中任取一個(gè)球，則下列說法正確的是（

）A．若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為B．第二次抽到藍(lán)色球的概率為C．如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來自紅色箱子D．如果還需將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)箱子內(nèi)，每個(gè)箱子至少放1個(gè)，則不同的放法共有150種14．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)a，b，m（m>0）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b（modm）.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為9≡21（mod6）.若，a≡b（mod10），則b的值可以是（

）.A．2019 B．2023 C．2029 D．203315．（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．三、填空題16．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體.現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿的六個(gè)頂點(diǎn)，要求E，F(xiàn)處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的裝飾方案共有種.17．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）近年來，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市”．遠(yuǎn)道而來的小明計(jì)劃用2天的時(shí)間游覽以下五個(gè)景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、“輕軌穿樓”打卡點(diǎn)、磁器口，另外還要安排一次自由購物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容．現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)段完成1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，“輕軌穿樓”必須安排在白天，其余項(xiàng)目沒有限制，那么共有種方案.18．（2024·江西·模擬預(yù)測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有種.（用數(shù)字作答）19．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）若一個(gè)位數(shù)，各位從高到低分別為，且滿足，我們便將其稱之為“遞減數(shù)”.那么正整數(shù)之中任取”遞減數(shù)”，則在其中取到一個(gè)偶數(shù)概率是.參考答案：題號12345678910答案BBDDCBCBAA題號1112131415答案BCDBCDACDACBCD1．B【分析】首先考慮兩對混雙的組合，再考慮余下名男選手和名女選手組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，余下名男選手和名女選手各有種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有．故選：B2．B【分析】求出任意放球共有種方法，再求出恰有一個(gè)小球與所在盒子編號相同的方法總數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解．【詳解】由題得任意放球共有種方法，如果有2個(gè)小球與所在的盒子的編號相同，第一步：先從5個(gè)小球里選2個(gè)編號與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設(shè)選的是1、2號球，則再對后面的3，4，5進(jìn)行排列，且3個(gè)小球的編號與盒子的編號都不相同，則有兩種，所以有2個(gè)小球與所在的盒子的編號相同，共有種方法．由古典概型的概率公式得恰有2個(gè)小球與所在盒子編號相同的概率為，故選:B3．D【分析】分甲站在每一排的兩端和甲不站在每一排的兩端這兩種情況解答即可.【詳解】當(dāng)甲站在每一排的兩端時(shí)，有4種站法，此時(shí)乙的位置確定，剩下的人隨便排，有種站排方式；

當(dāng)甲不站在每一排的兩端時(shí)，有3種站法，此時(shí)乙和甲相鄰有兩個(gè)位置可選，丙和甲不相鄰有四個(gè)位置可選，剩下的人隨便站，有種站排方式；

故總共有種站排方式.故選：D．4．D【分析】利用排列組合知識求出對應(yīng)的方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時(shí)，有種；數(shù)字為1，3，5時(shí)，有種；數(shù)字為2，3，4時(shí)，有種；數(shù)字為3，4，5時(shí)，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D5．C【分析】分A有2人和4人，結(jié)合排列組合求解即可.【詳解】若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.6．B【分析】根據(jù)表達(dá)式特征可知利用二項(xiàng)式定理的逆運(yùn)用可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：B7．C【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，利用二項(xiàng)式定理求被除得余數(shù)，結(jié)合同余定義可得被17除的余數(shù)是16，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗?，所以，所以?7除的余數(shù)是16，又，所以被17除的余數(shù)是16，故選：C.8．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得或（舍），故選：B.9．A【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出，進(jìn)而推得.即可根據(jù)條件概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)椋裕?又,所以，.又，所以，.故選：A.10．A【分析】設(shè)事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，進(jìn)而可得，，進(jìn)而可得放回原箱后再取該件產(chǎn)品合格的概率.【詳解】設(shè)事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，又，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為.故選：A.11．BCD【分析】利用性質(zhì)計(jì)算即可判斷A；利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算即可判斷B；利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算最大項(xiàng)即可判斷C；利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算即可判斷D【詳解】對于A，，故A錯(cuò)；對于B，第n行中的數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，令，得，故B對；對于C，第20行中的數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，最大項(xiàng)是是第11個(gè)數(shù)，故C對；對于D，第15行中的數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)分別是，且，故D對；故選：BCD12．BCD【分析】根據(jù)題意得到取各個(gè)值的概率，結(jié)合極差、百分位數(shù)、平均數(shù)以及方差的概念與計(jì)算公式逐一判斷即可.【詳解】由題意得，，，，，，，對于B，若極差不變，則，概率為，故B正確；對于A，由于，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個(gè)數(shù)，所以，第25百分位數(shù)不變的概率是，故A錯(cuò)誤；對于C，原樣本平均值為，平均值變大，則，概率為，故C正確；對于D，原樣本的方差為，顯然，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變小，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變大，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，同理，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的方差為，所以方差變大的概率為，故D正確.故選：BCD13．ACD【分析】由古典概率公式可判斷A；由條件概率和全概率公式可判斷B，C；由不同元素的分組和分配問題可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，在第一次抽到黃色球的條件下，將抽到的黃色球放入黃色箱子內(nèi)，此時(shí)黃色箱子內(nèi)有2個(gè)紅色球，1個(gè)黃色球，1個(gè)藍(lán)色球，因此第二次抽到藍(lán)色球的概率為，故A選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B、C，記“第一次抽到紅色球”，“第一次抽到黃色球”，“第一次抽到藍(lán)色球”，“第二次在紅色箱子中抽到藍(lán)色球”,“第二次在黃色箱子中抽到藍(lán)色球”，“第二次在藍(lán)色箱子中抽到藍(lán)球”，“第二次抽到藍(lán)球”，易知，，兩兩互斥，和為，，，，，，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；第二次的球取自箱子的顏色與第一次取的球的顏色相同，所以，，，所以如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它來自紅色箱子的概率最大，故C選項(xiàng)正確；對于D，將5個(gè)不同的小球分成3組（每組至少一個(gè)）（按分或按分）再分配給3個(gè)箱子，由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理知，共有種，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD．14．AC【分析】先利用二項(xiàng)式定理化簡得；再利用二項(xiàng)式定理將展開可得到a除以10所得的余數(shù)是9，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)樗詀除以10所