2024-2025學年湖南省長沙市長沙鐵路一中高一（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省長沙鐵路一中高一（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知實數(shù)x，y，則“x>y”是“(x?y)(x+y)2>0”的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若p是q的充分不必要條件，則下列判斷正確的是(

)A.￢p是q的必要不充分條件 B.￢q是p的必要不充分條件

C.￢p是￢q的必要不充分條件 D.￢q是￢p的必要不充分條件3.已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰與4枝康乃馨的價格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的價格的比較結果是(

)A.2枝玫瑰的價格高 B.3枝康乃馨的價格高

C.價格相同 D.不確定4.已知集合A={x|3x2?2x<5}，B={y|y>0}，則A∩B=A.(?1,0) B.(0?,?53) C.(?5.下列命題中：

①?x∈R，x2?x+14≥0；

②?x∈R，x2+2x+2<0；

③函數(shù)A.0 B.1 C.2 D.36.已知集合A={?1,1,2,3,5}，B={x∈N|1<x<log220}，則A∩B=A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{?1,1,5}7.函數(shù)f(x)=11?x(1?x)的最大值是(

)A.45 B.54 C.348.下列集合中，結果是空集的是(

)A.{x∈R|x2?1=0} B.{x|x>6或x<1}

C.{(x,y)|x2二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>1，b>0，且1a?1+4bA.a>2 B.ab?b的最小值為16

C.a+b的最小值為9 D.1a?2+10.已知條件p：x2+x?6=0；條件q：ax+1=0(a≠0).若p是q的必要條件，則實數(shù)a的值可以是(

)A.12 B.13 C.?111.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)，且f(1)=?1，則(

)A.f(0)=1 B.f(x)為奇函數(shù)

C.f(1)+f(2)+…+f(2024)=0 D.[f(x)12.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間[1,6]上單調，若f(?3)<f(?5)，則有(

)A.f(1)<f(3) B.f(?2)>f(4) C.f(?4)<f(3) D.f(?1)<f(2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(?∞,0)時，f(x)=2x3?3x+1，則f(3)=14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)f(x)=______．

①f(?x)=f(x)；

②當x∈(0,+∞)時，f(x)>0；

③f(x115.已知集合A={1,3,5}，B=(2,+∞)，則A∩B=______．四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

設f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，用分點T：a=x0<x1<…<xi?1<xi<…xn=b將區(qū)間[a,b]任意劃分成n個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)M>0，使得和i=1n|f(xi)?f(xi?1)|≤M(i=1,2,…,n)恒成立，則稱f(x)為[a,b]上的有界變差函數(shù)．

(1)函數(shù)f(x)=x2在[0,1]上是否為有界變差函數(shù)？請說明理由；

(2)設函數(shù)f(x)是[a,b]17.(本小題12分)

已知f(x)=x2?(a+1)x+a，a∈R，x∈R．

(1)當a=?2時，解關于x的不等式f(x)<0；

(2)若存在x∈[3,+∞)，使得f(x)=?1成立，求實數(shù)a18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=|x?1|+|x+2|．

(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2?ax+1的解集包含[?1,1]，求實數(shù)a19.(本小題12分)

設函數(shù)f(x)=2x2?xa1．

(1)當a=?4時，解不等式f(x)<5；

(2)若函數(shù)f(x)20.(本小題12分)

對于函數(shù)f(x)(x∈D)，若存在正常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有f(x+T)≥f(x)成立，我們稱函數(shù)f(x)為“T同比不減函數(shù)”．

(1)求證：對任意正常數(shù)T，f(x)=x2都不是“T同比不減函數(shù)”；

(2)若函數(shù)f(x)=kx+sinx是“π2同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；

(3)是否存在正常數(shù)T，使得函數(shù)f(x)=x+|x?1|?|x+1|為“T同比不減函數(shù)”；若存在，求21.(本小題12分)

已知a>0，b>0，a+b=1．

(1)若4a+1b≥|x+1|?|x?10|恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)參考答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.D

8.D

9.AB

10.BC

11.ACD

12.AD

13.44

14.x2(答案不唯一15.{3,5}

16.解：(1)∵f(x)=x2在[0,1]上單調遞增，

∴對任意劃分T：0=x0<x1<…<xi?1<xi<…xn=1，f(xn)>f(xn?1)

i=1n|f(xi)?f(xi?1)|=f(x1)?f(x0)+…+f(xn)?f(xn?1)=f(xn)?f(x0)=f(1)?f(0)=1

取常數(shù)M≥1，則和式i=1n|f(xi)?f(xi?1)|≤M(i=1,2,3…n)恒成立

所以函數(shù)f(x)在[0,1]17.解：(1)當a=?2時，由f(x)=(x+2)(x?1)<0，解得?2<x<1，

所以不等式的解集為(?2,1)；

(2)f(x)=x2?(a+1)x+a=(x?a)(x?1)，

當a=1時，f(x)=(x?1)2≥0，不存在實數(shù)x∈[3,+∞)，使得f(x)=?1成立；

當a<1時，函數(shù)f(x)在x∈[1,+∞)上單調遞增，顯然在x∈[3,+∞)上也單調遞增，而f(1)=0，

所以當x∈[3,+∞)時，f(x)>0，故不存在x∈[3,+∞)，使得f(x)=?1成立；

當1<a≤3時，因為函數(shù)在x∈[a,+∞)上單調遞增，所以在x∈[3,+∞)時也單調遞增，

f(a)=0，所以此時f(x)=?1不成立；

當3≤a+12時，即a≥5時，要想f(x)=?1在x∈[3,+∞)有解，

只需f(a+12)≤?1，即(a+12)2?(a+1)22+a≤?1，解得a≥3或a≤?1，而a≥5，

因此a≥5，

當a+12<3<a時，即18.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=|x?1|+|x+2|=?2x?1,x≤?24,?2<x<12x+1,x≥1；

當x≤?2時，不等式f(x)≤5為?2x?1≤5，解得x≥?3，即?3≤x≤?2；

當?2<x<1時，不等式f(x)≤5為4≤5恒成立，即?2<x<1；

當x>1時，不等式f(x)≤5為2x+1≤5，解得x≤2，即1≤x≤2；

綜上知，不等式f(x)≤5的解集為{x|?3≤x≤2}；

(Ⅱ)不等式f(x)≥x2?ax+1的解集包含[?1,1]，

即x∈[?1,1]時，不等式4≥x2?ax+1恒成立；

即x∈[?1,1]時，不等式x2?ax?3≤0恒成立；

設g(x)=x2?ax?3，x∈[?1,1]，

則g(?1)≤019.解：(1)依題意得：f(x)=2x?a?2?x，當a=?4時，不等式化簡為2x+42x<5，令2x=t，

整理得t2?5t+4<0，解得1<t<4，故0<x<2．

所以x∈(0,2)．

(2)由于函數(shù)f(x)=2x?a2x在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)，令2x=t∈[4,+∞)，由y=t知函數(shù)為單調遞增函數(shù)，

所以y=t?20.解：(1)∵f(x)=x2，

∴f(x+T)?f(x)=(x+T)2?x2=2xT+T2=T(2x+T)，

由于2x+T與0的小無法比較，

∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，

∴對任意正常數(shù)T，f(x)=x2都不是“T同比不減函數(shù)，

(2)∵函數(shù)f(x)=kx+sinx是“π2同比不減函數(shù)，

∴f(x+π2)?f(x)=k(x+π2)+sin(x+π221.(1)解：因為a>0，b>0，a+b=1．

所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=4+1+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，

當且僅當4ba=ab時取等號，由a+b=14ba=aba>0,b>0，解得a=23，b=13．

因為4a+1b≥|x+1