機(jī)械制圖-第二章-點(diǎn)、直線及平面的投影

第二章點(diǎn)、直線及平面的投影

目的要求:

I）建立中心投影與平行投影的明確概念

2）掌握點(diǎn)、線、面在第一角中各種位置的投影特性和作圖方法

3）掌握直線上點(diǎn)的投影特性以及在平面上作點(diǎn)和直線的方法

4）掌握直線與直線的相對(duì)位置及其投影特性

5）了解直角定理的原理及其運(yùn)用

6）掌握直線與平面、平面與平面相交的作圖及可見性的判斷

1）熟練的運(yùn)用點(diǎn)、線、面在各種位置的投影規(guī)律進(jìn)行作圖

2）掌握和正確運(yùn)用直線上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)和直線的投影規(guī)律

3）熟練求出直線與平面、平面與平面相交的交點(diǎn)、交線并完成及可見性的判斷

毅錦博時(shí)：6學(xué)時(shí)

存章五要作囹佳行：

1）已知點(diǎn)的兩投影，完成其第三投影，或已知點(diǎn)的三坐標(biāo)，完成其三面投影和軸測(cè)

投影；

2）判斷兩點(diǎn)的相對(duì)位置和作重影點(diǎn)的投影，并判斷重影點(diǎn)的可見性。

3）完成直線的三面投影及找出直線上點(diǎn)的投影。

4）判斷兩直線的位置關(guān)系，利用直線的相對(duì)位置關(guān)系完成直線的投影作圖，并作出

交又直線的重影點(diǎn)的投影。

5）直角投影定理的應(yīng)用，兩直線是否垂直的判斷。

6）完成平面的三投影并判斷平面相對(duì)投影面的位置關(guān)系。

7）已知點(diǎn)或直線在平面上，而且已知其一個(gè)投影，完成其另外兩投影及判斷點(diǎn)或直

線是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。

8）求直線與平面、平面與平面的交點(diǎn)和交線并判斷可見性。

授薛南容；

§2-1投影法基本知識(shí)

一、投影法及其分類

I、投影法的建立

在一定投影條件卜，求得空間形體在投影面上的投影的方法，稱為投影法。

投影中心、投影面、投射線、投影

2、投影法的分類

中心投影法（投射線相交于一點(diǎn)，投影隨物體與投影中心和投影面的距離變化而改變大

小，故不反映空間形體表面的真實(shí)大小和形狀，但富有真實(shí)感）

平行投影法（投射線相互平行，當(dāng)物體平行移動(dòng)時(shí)，投影的形狀和大小不改變）一斜

投影和正投影。

本課程研究平行投影且主要是正投影，以后“投影”指正投影。

圖2-1中，投影法及平行投影法

二、正投影的基本性質(zhì)

1、實(shí)形性

當(dāng)線段或平面圖形平行于投影面時(shí)，其投影反映實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭巍?/p>

2、積聚性

當(dāng)直線或平面圖形垂直于投影面時(shí)，其投影積聚成點(diǎn)或直線。

3、類似性

當(dāng)直線或平面圖形既不平行也不垂直于投影面時(shí)，直線的投影仍然是直線，平面圖形的

投影是原圖形的類似形，但直線或平面圖形的投影小于實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭巍?/p>

此外，正投影還有平行性（即空間平行線段的投影仍然平行）；定比性（即空間平行線

段的長(zhǎng)度比在投影中保持不變）；從屬性（即幾何元素的從屬關(guān)系在投影中不會(huì)發(fā)生改變，

如屬于直線的點(diǎn)的投影必屬于直線的投影，屬于平面的點(diǎn)和線的投影必屬于平面的投影）等

性質(zhì)。

圖2-2正投影的基本性質(zhì)

三、工程中常用的兩種作圖方法

1、多面正投影圖：采用相互垂直的兩個(gè)或兩個(gè)以上的投影面，在每個(gè)投影面上分別用

止投影法獲得物體的投影，它有良好的度量性，作圖簡(jiǎn)便，但直觀性差。由這些投影能確定

幾何形體的空間位置貨物形狀。

2、軸測(cè)圖：將物體連同其參考直角坐標(biāo)系，沿不平行于任一坐標(biāo)面的方向，用平行投

影法將其投射在單一投影面上所得的具有立體感的圖形。它能反映長(zhǎng)、寬、高的形狀，但作

圖較繁且度量性差，作輔助圖樣。

§2-2三面投影體系與三視圖

只根據(jù)物體的一個(gè)投影，是不能確定物體形狀的。要反映物體的完整形狀，必須增加由

不同投影方向得到的幾個(gè)視圖，互相補(bǔ)充，才能把物體表達(dá)清楚。

一、三投影面體系

由正立投影面V,水平投影面H和側(cè)立投

影面卬三個(gè)相互垂直的投影面構(gòu)成的投影面體

系稱為三投影面體系。正立投影面簡(jiǎn)稱為正面或

V面、水平投影面簡(jiǎn)稱為水平面或H面、側(cè)立

投影面簡(jiǎn)稱為側(cè)面或卬面。一:投影面兩兩相交

產(chǎn)生的交線。X、OK0Z,稱為投影軸，簡(jiǎn)稱X

軸、丫軸、z軸。

圖2-3三面投影體系

二、三視圖的形成

將物體放在三投影面體系中，用正投影法，分別向三個(gè)投影面投影可得到物體的三視圖。

國標(biāo)規(guī)定的視圖名稱是：

主視圖一一由前向后投影，在正面上所得的視圖；

俯視圖一一由?卜.向下投影，在水平面上所得的視圖：

左視圖一一由左向右投影，在側(cè)面上所得的視圖.

三、三視圖的投影規(guī)律

1、三視圖的位置關(guān)系

三視圖的位置關(guān)系為：主視圖在上，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右

方.按照這種位置配置視圖時(shí)，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定一律不加任何標(biāo)注.

2、投影對(duì)應(yīng)關(guān)系及其投影規(guī)律

每個(gè)視圖只能反映物體長(zhǎng)、寬、高中的兩個(gè)方向的大?。?/p>

主視圖反映物體的長(zhǎng)（x）和高（z）；

俯視圖反映物體的長(zhǎng)（外和寬（y）；

左視圖反映物體的寬（y）和高（z）。

從物體的投影和投影面的展開過程中，還可看到：

主、左視圖反映了物體上、下方向的同樣高度（等高）；物體上各個(gè)面和各條線在主、

左視圖上的投影，應(yīng)在高度方向上分別平齊。簡(jiǎn)稱“高平齊”：

主、俯視圖反映了物體左、右方向的同樣長(zhǎng)度（等及）；物體上各個(gè)面和各條線在主、

俯視圖上的投影，應(yīng)在長(zhǎng)度方向分別對(duì)正。簡(jiǎn)稱“長(zhǎng)對(duì)正”；

俯、左視圖反映了物體前、后方向的同樣寬度（等寬）；物體上各個(gè)面和各條線在俯、

左視圖上的投影，應(yīng)在寬度方向上相等。簡(jiǎn)稱“寬相等”。

上述三條投影規(guī)律，尤其是最后一條，必須在初步理解的基礎(chǔ)匕經(jīng)過畫圖和看圖的反

復(fù)實(shí)踐，逐步達(dá)到熟練和融會(huì)貫通的程度。

3、物體的方位關(guān)系

主視圖反映了物體上下、左右的方位關(guān)系；

俯視圖反映了物體左右、前后的方位關(guān)系;

左視圖反映了物體上下、前后的方位關(guān)系。

初學(xué)者應(yīng)特別注意對(duì)照直觀圖和平面圖，熟悉展開和還原過程，以便在平面圖上準(zhǔn)確判

斷物體不同的方位關(guān)系，尤其是前后方位。

A

圖2-4三視圖的形成及其投影規(guī)律

§2-3點(diǎn)的投影

一、點(diǎn)的三面投影及投影規(guī)律

點(diǎn)的投影仍為一點(diǎn)，且空間點(diǎn)在一個(gè)投影面上有惟一的投影。但已知點(diǎn)的一個(gè)投影，

不能惟一確定點(diǎn)的空間位置。

將點(diǎn)A放在三投影面體系中分別向三個(gè)投影面V直、H面、W面作正投影，得到點(diǎn)A

的水平投影。、正面投影〃'、側(cè)面投影。〃。（關(guān)于空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記規(guī)定為：空間點(diǎn)

用大寫字母4、B、C…表示，水平投影相應(yīng)用a、b、c…表示,正面投影相應(yīng)用、

b’、…表示，側(cè)面投影相應(yīng)用?！?、b"、c〃…表示。）

z

圖2-5點(diǎn)的投影及其投影規(guī)律

將投影面體系展開，去掉投影面的邊框，保留投影地，便得到點(diǎn)八的三面投影圖,

由圖2-5可以得出點(diǎn)在三投影面體系的投影規(guī)律是：

（1）點(diǎn)A的丫面投影和〃面投影的連線垂直于0X軸，即a'aJ_OX；（長(zhǎng)對(duì)正）

（2）點(diǎn)A的V面投影和W面投影的連線垂直于0Z軸，即。'a〃_L0Z；（高平齊）

（3）點(diǎn)A的〃面投影到0X軸的距離等于點(diǎn)A的W面投影到0Z軸的距離，即4以=a〃

?z（寬相等），可以用圓弧或45°線來反映該關(guān)系。

二、點(diǎn)的三面投影與其直角坐標(biāo)的關(guān)系

水平投影由X與Y坐標(biāo)確定；正面投影由X與Z坐標(biāo)確定；側(cè)面投影由Y與Z坐標(biāo)確

定。點(diǎn)的任何兩個(gè)投影可反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，即確定該點(diǎn)的空間位置。空間點(diǎn)在三面投影體

系中有唯一確定的一組投影。

三、點(diǎn)的軸測(cè)投影

點(diǎn)的軸測(cè)投影圖即根據(jù)點(diǎn)的投影圖繪制的直觀圖?？梢园淹队懊娈?dāng)作坐標(biāo)面，把投影軸

當(dāng)作坐標(biāo)軸，這時(shí)0點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)。

規(guī)定X軸從O點(diǎn)向左為正，Y軸從0點(diǎn)向前為正，Z軸從O點(diǎn)向上為正。

X（Y,Z）坐標(biāo)用A點(diǎn)到W（V,H）面的距離表示。

四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

在投影圖上判斷空間兩個(gè)點(diǎn)的相勸位置，就是分析兩點(diǎn)之間上下、左右和前后的關(guān)系。

由正面投影或側(cè)面投影判斷上下關(guān)系（Z坐標(biāo)差）；

由正面投影或水平投影判斷左右關(guān)系（X坐標(biāo)差）；

由水平投影或側(cè)面投影判斷前后關(guān)系（Y坐標(biāo)差）。

五、重影點(diǎn)及其投影的可見性

當(dāng)空間兩點(diǎn)位于某一投影面的同上條投射線（即其有兩對(duì)坐標(biāo)值分別相等），則此兩點(diǎn)

在該投影面上的投影重合為一點(diǎn)，此兩點(diǎn)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。為區(qū)分重影點(diǎn)的可見性,

規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致，即對(duì)V面由前句后，對(duì)H面由上向下，對(duì)W面由

左向右。因此，距觀察者近之點(diǎn)的投影為可見，反之為不可見。

當(dāng)空間兩點(diǎn)有兩對(duì)坐標(biāo)值分別相等時(shí)，則該兩點(diǎn)必有重合投影，其可見性由重影點(diǎn)的一

時(shí)不等的坐標(biāo)值來確定，坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。

圖2-7重影點(diǎn)

§2-4直線的投影

一、直線的投影圖

作直線投影圖，只需作出直線上任意兩點(diǎn)的投影，并連接該兩點(diǎn)在同一投影面上的投影

即可。

三面投影面體系中，空間形體距投影面的遠(yuǎn)近不影響投影的形狀大小，所以不畫投影圖。

空間直線在某一投影面上的投影長(zhǎng)度，與直線對(duì)該投影面的傾角大小有關(guān)。

二、各種位置直線的投影特性

按照直線對(duì)三投影面的相對(duì)位置，可以將直線分為三種：

一般位置直線一一與三投影面都傾斜的直線；

投影面平行線一一平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩投影面的直線；

投影面垂直線一一垂直于一個(gè)投影面，平行于另兩投影面的直線。

投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。

I、一般位置直線

一般位置直線的投影特性如下（圖2-15）：

（1）三面投影都傾斜于投影軸；

（2）投影長(zhǎng)度均比實(shí)長(zhǎng)短，且不能反映與投影面傾角的真實(shí)大小。

2、投影面平行線

投影面平行線又可分為三種：

（1）平行于V面的直線稱為正平線；

（2）平行于月面的直線稱為水平線；

（3）平行于W面的直線稱為側(cè)平線。

投影特性：在它所不平行的兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，不反映實(shí)長(zhǎng)；

在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，其與投影軸的夾角，分別反映該直線對(duì)另兩投影面

的真實(shí)傾角。

3、投影面垂直線

投影面垂直線同樣可以分為三種：

（1）垂直于正面的直線稱為正垂線：

（2）垂直于水平面的直線稱為鉛垂線；

（3）垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；在另兩個(gè)投影面上的投影垂直于相

應(yīng)的投影軸，反映實(shí)長(zhǎng)。

三、直線上的點(diǎn)

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上，且點(diǎn)分直線的兩線段長(zhǎng)度之比

等于其投影長(zhǎng)度之比：反之亦然C

四、兩直線的相對(duì)位置

空間兩直線的相對(duì)位置有平行、相交和交叉三種。

1）兩直線平行：其同面投影必平行，旦兩平行線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比。注

意：當(dāng)直線為某投影面平行線時(shí)，應(yīng)檢查在該投影面上的投影是否平行。

2）兩直線相交：其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

3）兩直線交叉：異面兩直線。

注意：當(dāng)交叉直線的投影的交點(diǎn)為重影點(diǎn)時(shí)，應(yīng)判別其可見性。

I11

YH

圖2-7直線位置關(guān)系的判斷

舉例：見圖2-7,判斷所示兩直線位置關(guān)系，可以有三種方法：1）定比性；2）補(bǔ)投影;

3）將AD與BC相連，判斷其是否相交，進(jìn)而判斷AB與CD是否平行。

五、直角的投影

直角投影定理

空間垂直的兩直線（相交或交叉），若其中的一直線平行于某投影面時(shí)，則二直線在該

投影面上的投影仍為直角，反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平

行于該投影面時(shí)，則該兩直線在空間必互相垂直。

圖2-8?角投影定理

應(yīng)用直角投影定理可以解決空間成直角的情況在投影圖上的作圖，例如求距離、直角

三角形、等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形、菱形等的投影作圖問題。圖2-9就是一個(gè)求距離的

例子。

圖2-9求兩交叉直線間的距離

§2-5平面的投影

一、平面的表示法

由幾何學(xué)可知，平面可由下列幾何元素確定：不在同一條直線上的三點(diǎn)；一直線及直線

外一點(diǎn)；兩相交直線：兩平行直線；任意的平面圖形。

二、各種位置平面的投影特性

平面對(duì)投影面的位置有三種：

一般位置平面一一與三個(gè)投影面都傾斜的平面；

投影面垂直面一一垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面；

投影面平行面一一平行于一個(gè)投影面，垂直于另兩個(gè)投影面的平面。

1、般位置平面

傾斜于匕H、W面，是一般位置平面。

一般位置的平面的投影特性：它的三個(gè)投影仍是平面圖形，而且面積縮小，平面與三個(gè)

投影面的傾角也不能在投影上反映出來。

圖2T0一般位置平面的投影

2、投影面垂直面

投影面垂直面可分為三種:

（1）垂直于V面的平面稱為正垂面；

（2）垂直于H面的平面稱為鉛垂面；

（3）垂直于W面的平面稱為側(cè)垂面。

投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，此投影與相應(yīng)投影軸的夾角分

別反映該平面與另兩個(gè)投影面的傾角；該平面在另兩個(gè)投影面上的投影均為類似性。

判定：若平面的三個(gè)投影中有一個(gè)投影是斜直線，則它一定是該投影面的垂直面。

3、投影面平行面

投影面平行面又可分為三種：

（1）平行于U面的平面稱為正平面；

（2）平行于〃面的平面稱為水平面；

（3）平行于W面的平面稱為側(cè)平面。

投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形，其它兩個(gè)投影都積聚成直線且平行于

相應(yīng)的投影軸。

判定：若平面的三個(gè)投影中有一個(gè)投影積聚成直線，并與該投影面的投影軸平行或垂直,

則它一定是某個(gè)投影面的平行面。

小結(jié)：

平面垂直于投影面時(shí)，它的投影積聚成一條直線一積聚性。

平面平行于投影面時(shí)，它的投影反映實(shí)形——實(shí)形性（真實(shí)性）

平面傾斜于投影面時(shí)，它的投影為類似圖形——類似性

平面圖形的三個(gè)投影中，至少有一個(gè)投影是封閉線框。反之，投影圖上的一個(gè)封閉線框

一般表示空間的一個(gè)面的投影。

三、平面內(nèi)的點(diǎn)和直線

1）平面內(nèi)的直線

直線在平面內(nèi)的幾何條件：若一直線通過平面上的兩點(diǎn)或通過平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且平

行于平面上的另一直線，則此直線必在該平面內(nèi)。

2）平面內(nèi)的點(diǎn)

點(diǎn)在平面內(nèi)的幾何條件；若點(diǎn)位于平面內(nèi)任一直線上，則此點(diǎn)在該平面內(nèi)。即平面內(nèi)取

點(diǎn)，必先在平面內(nèi)作輔助線，然后在該直線上取點(diǎn)。

圖2T1平面上的點(diǎn)和直線

四、直線與平面、平面與平面平行

直線與平面平行的幾何條件是：直線平行于平面內(nèi)的任一直線。

平面與平面平行的幾何條件是：一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直

線。

圖2T2宣線與平面平面與平面平行

五、直線與平面、平面與平面相交

直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。在此只

討論平面處于與投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有積聚性的情況。

I、直線與平面相交

直線與平面相交的交點(diǎn)是走線與平面的共有點(diǎn)，當(dāng)需判斷直線投影的可見性時(shí)，交點(diǎn)

又是直線各投影可見與不可見的分界點(diǎn)。

A

圖2-13一般位置直線與特殊位置平面相交

（2）平面與平面相交

兩平面相交的交線是兩平面的共有線，當(dāng)需要判斷立面投影的可見性時(shí)，交線又是平面

圖2-14投影面垂■面與一般位置平面相交

各投影可見