自動(dòng)控制原理 課件 第4章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析

第4章控制系統(tǒng)的根軌跡分析自動(dòng)控制原理第4章控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.1根軌跡法的基本概念4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3廣義根軌跡4.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能4.5習(xí)題⑴掌握根軌跡的基本概念，理解根軌跡方程，能運(yùn)用模值方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開環(huán)增益。⑵掌握繪制根軌跡的規(guī)則，能熟練運(yùn)用根軌跡規(guī)則繪制系統(tǒng)根軌跡。⑶理解繪制廣義根軌跡的思路、要點(diǎn)和方法。⑷理解閉環(huán)零、極點(diǎn)分布和階躍響應(yīng)的定性關(guān)系，掌握運(yùn)用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)：⑴根軌跡的基本概念和根軌跡方程。⑵繪制根軌跡的基本規(guī)則。⑶廣義根軌跡的繪制。⑷根據(jù)根軌跡分析系統(tǒng)的性能。本章重點(diǎn)：4.1根軌跡法的基本概念通過前面的分析可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性主要由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）決定。因此，研究閉環(huán)特征根在平面的分布可以間接分析控制系統(tǒng)的性能。對(duì)于高階系統(tǒng)而言，直接求解特征根非常困難。因此，有必要探索不解高次代數(shù)方程也能求出系統(tǒng)閉環(huán)特征根，進(jìn)而分析控制系統(tǒng)性能的有效方法。WalterRichardEvans（1920-1999）1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根軌跡法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。這是一種由開環(huán)傳遞函數(shù)間接判斷閉環(huán)特征根的概略圖解法，從而避免了直接求解系統(tǒng)閉環(huán)特征根的困難。4.1.1根軌跡的定義根軌跡簡(jiǎn)稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。7例子如圖4-1-1所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-1）開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)p1=0、p2=-2，沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征根

閉環(huán)傳遞函數(shù)（4-1-2）如果令開環(huán)增益K:0→∞，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)注在s平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，如圖4-1-2所示。圖上，粗實(shí)線就稱為系統(tǒng)的根軌跡，根軌跡上的箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)，而標(biāo)注的數(shù)值則代表與閉環(huán)極點(diǎn)位置相應(yīng)的開環(huán)增益K的數(shù)值。利用圖4-1-2所示的系統(tǒng)根軌跡圖能方便地分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)K變化的規(guī)律。穩(wěn)定性：當(dāng)K由0→∞變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)s1，s2均在s平面的左半平面，因此，系統(tǒng)對(duì)所有的K值均是穩(wěn)定的。動(dòng)態(tài)性能：當(dāng)0<K<0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)s1，s2為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)過阻尼；當(dāng)K=0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)臨界阻尼；當(dāng)K>0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)具有相同負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)欠阻尼。穩(wěn)態(tài)性能：系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。根軌跡與系統(tǒng)的特性有著密切的關(guān)系。有了系統(tǒng)的根軌跡，就可以了解系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的情況。4.1.2根軌跡方程系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)控制系統(tǒng)一般可用圖4-1-3所示的結(jié)構(gòu)圖來描述。圖4-1-3閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（4-1-2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-3）式中，K*是根軌跡增益，從零到無窮大變化；zi、pj分別是開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)。并假定n≥m。閉環(huán)特征方程即將式（4-1-3）帶入式（4-1-4），得

（4-1-5）滿足式（4-1-5）的點(diǎn)，必定是根軌跡上的點(diǎn)，稱式（4-1-5）為根軌跡方程。不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。（4-1-4）模值方程相角方程（4-1-6）（4-1-7）方程（4-1-6）和（4-1-7）是根軌跡上的點(diǎn)同時(shí)滿足的兩個(gè)條件。根據(jù)這兩個(gè)條件，可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上對(duì)應(yīng)的K*值。由式（4-1-7）可知，相角條件與根軌跡增益K*無關(guān)，因此，相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，而模值條件可以作為確定根軌跡上各點(diǎn)的K*值的依據(jù)。例4-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試判斷是否在根軌跡上。解：系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-2，p3=-5，無開環(huán)零點(diǎn)。將開環(huán)零、極點(diǎn)及K*同時(shí)標(biāo)注在復(fù)平面上，如圖4-1-4所示。點(diǎn)s1若在根軌跡上，必須滿足相角條件。將p1、p2、p3帶入式(4-1-7)，得顯然，點(diǎn)s1不滿足相角條件，所以點(diǎn)s1不在根軌跡上。例4-2已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，確定根軌跡上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K*值。解：系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-5，無開環(huán)零點(diǎn)。將根軌跡上點(diǎn)

代入式(4-1-6)，得得到根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。上面兩個(gè)例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K*值。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.2.1繪制根軌跡的基本規(guī)則通過根軌跡的繪制規(guī)則可用來求取根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性，實(shí)軸上的根軌跡，根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)，根軌跡的漸近線，根軌跡的出射角和入射角，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)等信息。特別指出是，用這些基本規(guī)則繪出的根軌跡，其相角遵循(2k+1)π條件，因此稱為180°根軌跡，以下的8條繪制規(guī)則稱為180°根軌跡的繪制規(guī)則。規(guī)則1根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。由根軌跡方程有：（4-2-1）→→

起點(diǎn)→→終點(diǎn)當(dāng)n≥m時(shí)，有m條根軌跡趨向于開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)），另外n-m條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處（無限零點(diǎn)）。證明：依據(jù)定義，根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在s平面上的變化軌跡，由閉環(huán)特征方程可知，其根的數(shù)目即為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，因而根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等。當(dāng)K*從零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)特征方程的某些系數(shù)也隨之連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然是連續(xù)的。因?yàn)樘卣鞣匠痰母鶠閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，所以根軌跡必對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等，根軌跡是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則3實(shí)軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)s0代入相角方程，則因?yàn)閜4、p5為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因而θ4=

θ5

，所以上式滿足相角條件，于是實(shí)軸上的點(diǎn)s0在根軌跡上。例4－3設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2。⑵系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-5，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點(diǎn)p1和p2，一條終止于有限零點(diǎn)z1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-5]。繪制根軌跡如圖4-2-2所示。圖4-2-2例4-3的根軌跡規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有(n-m)條根軌跡沿著一組直線趨于無窮遠(yuǎn)，這些直線稱為根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與正實(shí)軸方向的夾角（傾角）為例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-2，p3=-4，無開環(huán)零點(diǎn)，則有3條根軌跡沿漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

繪制根軌跡漸近線如圖4-2-3所示。圖4-2-3例4-4根軌跡漸近線

規(guī)則5根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）和分離角（或會(huì)合角）兩條或兩條以上根軌跡在s平面上相遇而又分開（或分開后又相遇）的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)d是下列方程的解。根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)切線方向與離開分離點(diǎn)切線方向之間的夾角，稱為分離角（或會(huì)合角）。分離角（或會(huì)合角）可由(2k+1)π/l決定，l為趨向或離開實(shí)軸的根軌跡的分支數(shù)。（4-2-6）設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式（4-2-7）中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根軌跡在s平面相遇，說明根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的重根，設(shè)重根為d，特征方程有重根的條件為另外，將式（4-2-8）和式（4-2-9）交叉相乘可得由式（4-2-10）也可以求出分離點(diǎn)。（4-2-7）（4-2-8）（4-2-9）（4-2-10）如何判斷在s平面上的根軌跡是否有分離點(diǎn)，及分離點(diǎn)可能產(chǎn)生的大概位置？根軌跡的分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面中。一般情況下，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上的兩條根軌跡的分離點(diǎn)。⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次m=2，有2條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-2。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點(diǎn)p1和p2，一條終止于有限零點(diǎn)z1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-2]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為例4-5已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制概略根軌跡。解：漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為⑸根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）d1=-0.586，d2=-3.414。d1即為所求的根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)），d2不在實(shí)軸根軌跡區(qū)間內(nèi)，則舍棄。⑹分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的分離角（會(huì)合角）均為±90°。繪制根軌跡如圖4-2-4所示。

規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為出射角，記為。根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為入射角，記為。根據(jù)根軌跡的相角條件可求出（4-2-11）（4-2-12）例4-6已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試?yán)L制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=3，分母的階次n=4，有4條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2,3=-0.5±j1.5，p4=-2.5，3個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-1.5，z2,3=-2±j。4條根軌跡分別始于4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點(diǎn)z1、z2、z3和無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2.5]和[-1.5,0]。⑷根軌跡的出射角和入射角根軌跡在p2處的出射角根據(jù)對(duì)稱性，則根軌跡在z2處的入射角根據(jù)對(duì)稱性，則根軌跡的出射角和入射角如圖4-2-5所示，繪制根軌跡如圖4-2-6所示。規(guī)則7根軌跡與虛軸的交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)處的K*和對(duì)應(yīng)的ω值可用勞斯判據(jù)求得，或者令閉環(huán)特征方程中的s=jω，然后分別使其實(shí)部和虛部為零求得。根軌跡和虛軸交點(diǎn)表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)K*稱為臨界根軌跡增益。例4-7已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試?yán)L制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2,3=-1±j，無開環(huán)零點(diǎn)。3條根軌跡分別始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2和p3，終止于無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,0]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑸根軌跡無分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對(duì)稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為方法一列勞斯表為根據(jù)勞斯表可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為0<K*<4，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)K*=4，將其帶入輔助方程F(s)=2s2+K*=0求得。因此，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的K*=4為臨界根軌跡增益。方法二令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)顯然，兩種方法的計(jì)算結(jié)果一致。繪制根軌跡如圖4-2-7所示。規(guī)則8根之和與根之積若系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以表示如下式（4-2-13）中，zi、pj分別為開環(huán)零、極點(diǎn)；sj為閉環(huán)極點(diǎn)，則有如下結(jié)論：⑴閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程式的第二項(xiàng)系數(shù)a1。若(n-m)≥2，根之和與開環(huán)根軌跡增益K*無關(guān)。⑵閉環(huán)特征根之積乘以(-1)n，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項(xiàng)an。（4-2-13）上述的結(jié)論可以表示為

式（4-2-14）表明，當(dāng)K*由0→∞變化時(shí)，若一部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面向左移動(dòng)，另外一部分必然向右移動(dòng)，使其根之和保持不變。另外，當(dāng)根軌跡增益K*為確定值時(shí)，若已知某些閉環(huán)極點(diǎn)，則應(yīng)用根之和與根之積的關(guān)系可以確定出其他閉環(huán)極點(diǎn)。（4-2-14）例4-8已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試?yán)L制概略根軌跡，并求臨界根軌跡增益及該增益對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1

，p3=-10

，無開環(huán)零點(diǎn)。三條根軌跡分別始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2和p3，終止于無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]，(-∞,-10]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）解得d1=-0.49,d2=-6.85（舍去）。由于滿足(n-m)≥2，閉環(huán)根之和為常數(shù)。當(dāng)K*增大時(shí)，若一只根軌跡向左移動(dòng)，則另外兩支根軌跡應(yīng)該向右移動(dòng)，因此分離點(diǎn)│d│<0.5是合理的。⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)可得，因此，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的K*=110。當(dāng)0<K*<110時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，K*=110為臨界根軌跡增益。求得。因此，根軌跡增益K*對(duì)應(yīng)的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為和。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，第3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由根之和規(guī)則求得，即繪制根軌跡如圖4-2-8所示。例4-9已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制概略根軌跡。解：

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=4。有4條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=1，，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-1。4條根軌跡分別始于4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點(diǎn)z1和無窮遠(yuǎn)處。⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1],[0,1]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）解得

（舍去）⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對(duì)稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，即

求得將其帶入輔助方程求得根軌跡與虛軸交點(diǎn)和繪制根軌跡如圖4-2-10所示。

4.2.2MATLAB實(shí)現(xiàn)根軌跡法是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一種圖解方法，依據(jù)根軌跡規(guī)則可以較為簡(jiǎn)便地手工繪制概略根軌跡，應(yīng)用MATLAB軟件可以繪制精確的根軌跡圖。常見的繪制根軌跡函數(shù)包括rlocus、rlocfind和sgrid等。rlocus:繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocfind:計(jì)算與根軌跡上極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的根軌跡增益函數(shù)sgrid:為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)1.函數(shù)rlocus()在MATLAB中，提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocus()，其調(diào)用格式如下。rlocus(sys)%繪制系統(tǒng)sys的根軌跡rlocus(sys,k)%增益向量k由用戶指定rlocus(sys1,sys2,…)%在同一個(gè)繪圖窗口中繪制模型sys1,sys2,…的根軌跡[r,k]=rlocus(sys)%計(jì)算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，返回值k為增益向量，r為閉環(huán)極點(diǎn)向量，但不繪制根軌跡r=rlocus(sys,k)%計(jì)算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，增益向量k由用戶指定2.函數(shù)rlocfind()在MATLAB中，提供了計(jì)算與根軌跡上極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的根軌跡增益函數(shù)rlocfind()，其調(diào)用格式如下。[k,poles]=rlocfind(sys)%求取根軌跡上指定點(diǎn)的增益k，并將顯示%該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)poles。[k,poles]=rlocfind(sys,p)%對(duì)給定p計(jì)算返回對(duì)應(yīng)的增益k和k所

%對(duì)應(yīng)的全部極點(diǎn)poles。3.函數(shù)sgrid()在MATLAB中，提供了為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)sgrid()，其調(diào)用格式如下。sgrid%為根軌跡添加網(wǎng)格線sgrid(z,wn)%為根軌跡添加網(wǎng)格線，等阻尼比范圍和等自然頻率%范圍分別由向量z和wn指定。說明：缺省情況下，等阻尼比步長(zhǎng)為0.1，范圍0-1。等自然頻率步長(zhǎng)為1，范圍為0-10，也可以由向量z和wn分別指定其范圍。例4-10已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。clc;clearnum=[124];den=conv(conv([140],[16]),[11.41]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡p=pole(G)%開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)z=zero(G)%開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)%計(jì)算漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))解：輸入以下MATLAB命令p=0-6.0000-4.0000-0.7000+0.7141i-0.7000-0.7141iz=-1.0000+1.7321i-1.0000-1.7321isigma=-3.1333Kc=15.615367.5209163.5431wc=1.21322.15103.7551%%計(jì)算臨界穩(wěn)定點(diǎn)的根軌跡增益與虛軸的交點(diǎn)AG=allmargin(G);%臨界根軌跡增益Kc=AG.GainMargin%根軌跡與虛軸的交點(diǎn)頻率wc=AG.GMFrequency程序運(yùn)行結(jié)果如圖4-2-10所示。由根軌跡圖可知，當(dāng)和范圍時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。4.3廣義根軌跡180°根軌跡繪制規(guī)則，通常也稱為常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，是基于負(fù)反饋條件下根軌跡增益K*變化時(shí)的根軌跡繪制方法。當(dāng)系統(tǒng)是基于正反饋條件下，或者其他參數(shù)作為變量（開環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)，反饋系數(shù)等）時(shí)的根軌跡（包括參數(shù)根軌跡和零度根軌跡），稱為廣義根軌跡。4.3.1參數(shù)根軌跡以非根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則完全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。假設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為討論以參數(shù)β變化的根軌跡，將式（4-3-1）進(jìn)行等效變換，即根據(jù)式（4-3-2）得等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由式（4-3-3）可以繪制系統(tǒng)可變參數(shù)β的根軌跡。特別指出，等效開環(huán)傳遞函數(shù)是根據(jù)式（4-3-1）得來的。等效的含義僅在于其閉環(huán)極點(diǎn)相同，而閉環(huán)零點(diǎn)通常是不同的。因此，根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的性能時(shí)，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但必須采用原來閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）例4-11已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求K=0.25時(shí)，參數(shù)α變化時(shí)的根軌跡。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為將上式整理后，得

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)K=0.25時(shí),

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2,3=-0.5，無開環(huán)零點(diǎn)。3條根軌跡分別始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2和p3，終止于無窮遠(yuǎn)處。解：⑶實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是（-∞,0]。⑷漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）解得分離點(diǎn)坐標(biāo)為

⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，得到系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)а=1，將其帶入輔助方程求得s1,2=±j0.5。繪制根軌跡如圖4-3-1所示。圖4-3-1例題4-11參量a的根軌跡4.3.2零度根軌跡開環(huán)零、極點(diǎn)有位于s右半平面的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)可能出現(xiàn)在有局部正反饋環(huán)節(jié)存在的情況。研究非最小相位系統(tǒng)有時(shí)不能采用180°根軌跡繪制規(guī)則來繪制系統(tǒng)的根軌跡，因?yàn)槠湎嘟亲裱瓧l件，而不是條件，故一般稱為零度根軌跡。設(shè)某正反饋控制系統(tǒng)如圖4-3-2所示。圖4-3-2正反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡方程（閉環(huán)系統(tǒng)特征方程）為

即式（4-3-5）可以寫為

把式（4-3-6）稱為零度根軌跡方程。式（4-3-6）還可寫成模值方程和相角方程。（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）模值方程相角方程（4-3-8）（4-3-7）將式（4-3-7）和式（4-3-8）與常規(guī)根軌跡的式（4-1-6）和式（4-1-7）相比，僅相角方程不同。因此，應(yīng)用常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則繪制零度根軌跡，對(duì)于與相角方程有關(guān)的一些規(guī)則需要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，應(yīng)修改的規(guī)則如下。規(guī)則3實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則(n-m)條漸近線與正實(shí)軸方向的夾角（傾角）為（4-3-9）規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角除上述3個(gè)規(guī)則，其他規(guī)則不變。（4-3-10）（4-3-11）根據(jù)零度根軌跡的相角條件可求出、分別為例4-12已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分別畫出正反饋和負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡圖，并指出它們的穩(wěn)定性有何不同。系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=-3，p2,3=-1±j，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-2。⑴正反饋系統(tǒng)

①實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為解：③根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）

解得，④根軌跡的出射角

根據(jù)對(duì)稱性，則。（舍去）⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為0<K*<3，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)s=0。繪制根軌跡如圖4-3-3(a)所示。⑵負(fù)反饋系統(tǒng)

①實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為③根軌跡無分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。④根軌跡的出射角

根據(jù)對(duì)稱性，則⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為K*>0，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。繪制根軌跡如圖4-3-3(b)所示。綜上，對(duì)于正反饋系統(tǒng)，當(dāng)0<K*<3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；對(duì)于負(fù)反饋系統(tǒng)，當(dāng)K*

>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)正反饋系統(tǒng)(b)負(fù)反饋系統(tǒng)圖4-3-3例4-12的根軌跡例4-13已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)⑴利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。⑵判斷是否在根軌跡上。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比時(shí)的a值。4.3.2MATLAB實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

解：輸入以下MATLAB命令：clc;clearnum=[10];den=[1016];G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%計(jì)算阻尼比為0.707對(duì)應(yīng)參數(shù)asgrid(0.707,[])a=rlocfind(G)程序運(yùn)行結(jié)果如圖4-3-4所示。⑴繪制系統(tǒng)的根軌跡根據(jù)圖4-3-4可知，系統(tǒng)根軌跡是以開環(huán)零點(diǎn)為圓心，半徑為4的一個(gè)半圓。根軌跡的分離點(diǎn)d=-4，對(duì)應(yīng)的參數(shù)a=8。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為±j4，對(duì)應(yīng)參數(shù)a=0。因此系統(tǒng)穩(wěn)定條件為a>0。由圖4-3-4可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，沒在半圓上，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比ζ=0.707時(shí)的a值。閉環(huán)特征方程為

對(duì)應(yīng)求出ωn=4rad/s，a=5.656。⑵判斷是否在根軌跡上。Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-2.8221+2.8236ia=5.6553由程序運(yùn)行結(jié)果可知，

ζ=0.707時(shí)，a=5.6553。例4-14已知單位正反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：輸入以下MATLAB命令clc;clearnum=[-1-1];den=conv(conv([100],[12]),[14]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)p=pole(G);%%開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)z=zero(G);%%計(jì)算漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))程序運(yùn)行結(jié)果如圖4-3-5所示。sigma=-1.6667綜上，系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為-1.667，漸近線傾角為0°、±120°。根軌跡的分離點(diǎn)d=-0.38，對(duì)應(yīng)根軌跡增益為K*=4.53。由于有1條根軌跡始終在s右半平面，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能應(yīng)用根軌跡法，可以確定系統(tǒng)在根軌跡增益或其他參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，定性地分析系統(tǒng)性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。1.用根軌跡分析系統(tǒng)階躍響應(yīng)利用根軌跡法可以確定系統(tǒng)中參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的分布規(guī)律，以及對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響。下面通過例4-15說明如何應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過程。4.4.1利用根軌跡分析系統(tǒng)性能例4-15已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)⑴繪制系統(tǒng)根軌跡;⑵試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍，并分析K*對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響。將開環(huán)傳遞函數(shù)化為時(shí)間常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，得將上式整理后，得

解：⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2，有兩條根軌跡，一條漸近線。②系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=3，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點(diǎn)p1和p2，一條終止于開環(huán)零點(diǎn)z1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。③實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1]和[0,3]。④根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）

解得分離點(diǎn)坐標(biāo)為⑤根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程D(s)根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的K*=3為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖1所示。⑵分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)過程由圖4-4-1可知，當(dāng)根軌跡增益K*>3，相應(yīng)開環(huán)增益K>1時(shí)，閉環(huán)特征根具有負(fù)實(shí)部，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。利用模值方程求得分離點(diǎn)d2=-3處對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益由圖4-4-1可見，當(dāng)K≥3時(shí)，閉環(huán)特征根有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根或者兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，此時(shí)，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)中無振蕩分量，但有超調(diào)；當(dāng)1<K<3時(shí)，特征根有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩；當(dāng)K=1時(shí)，特征根有一對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅振蕩；當(dāng)0<K<1時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。⑶K*=10時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng)當(dāng)K*=10時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為s1=-2，s2=-5。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉普拉斯變換為

進(jìn)行拉普拉斯反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為由此可見，當(dāng)K*=10時(shí)，系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的響應(yīng)無振蕩分量，但有超調(diào)。若令，得峰值時(shí)間此時(shí)超調(diào)量為可見，利用根軌跡可以很方便地分析根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

2.用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)滿足具有閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的分布規(guī)律，就可以忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)及偶極子的影響，將高階系統(tǒng)近似看作一、二階系統(tǒng)，可以較為簡(jiǎn)便地計(jì)算（或估算）出系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。例4-16已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為⑴試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。⑵試計(jì)算阻尼比ζ=0.5時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。⑶計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時(shí)間常數(shù)形式，得

⑴繪制根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。②系統(tǒng)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-2，無開環(huán)零點(diǎn)。3條根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)，趨于無窮遠(yuǎn)處。③實(shí)軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2]和[-1,0]。④漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為

⑤根軌跡分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）

解得（舍去）⑥根軌跡與虛軸的交點(diǎn)閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的K*=6為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖4-4-2所示。

⑵計(jì)算ζ=0.5時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為了滿足阻尼比ζ=0.5的條件，首先作出ζ=0.5的等阻尼線，它與負(fù)實(shí)軸的夾角，如圖4-4-2所示。等阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)為s1和s2。設(shè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)s1,2=σ±jω，從根軌跡上可得交點(diǎn)s1的坐標(biāo)滿足求得，則。設(shè)第3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為s3，由根之和條件可得即

閉環(huán)特征方程為

比較系數(shù)有因此，當(dāng)ζ=0.5時(shí)，解得閉環(huán)極點(diǎn)s1,2=-0.333±j0.577，s3=-2.334，對(duì)應(yīng)K*=1.037。當(dāng)K*=1.037時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由s1,2=-0.333±j0.577和s3=-2.334可見，s3至虛軸的距離是s1（或s2）至虛軸的距離的7倍，滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件。因此，s1,2可認(rèn)為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，可以根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為二階系統(tǒng)的形式，即由此可得二階系統(tǒng)阻尼比ζ=0.5，無阻尼振蕩頻率ωn=0.666rad/s。在單位階躍信號(hào)作用下二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為⑶計(jì)算ζ=0.5時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為

系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為3.用根軌跡計(jì)算系統(tǒng)的參數(shù)利用根軌跡法可以計(jì)算在一定性能指標(biāo)下的系統(tǒng)參數(shù)。這里通過例4-17來討論如何根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)來確定系統(tǒng)的參數(shù)。例4-17已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

⑴試確定系統(tǒng)響應(yīng)為等幅振蕩K的取值及振蕩頻率。⑵若要求閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)增益K的范圍。⑶能否通過選擇K滿足調(diào)節(jié)時(shí)間的要求？⑷能否通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求？解：將開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)形式，得

⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=4。有4條根軌跡，4條漸近線。②系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1,2,3,4=-2，無開環(huán)零點(diǎn)。4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。③實(shí)軸上無根軌跡。④漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

漸近線與正實(shí)軸方向的夾角為⑥根軌跡的出射角

得⑦根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)K*=64，將其帶入輔助方程

即得s1,2=±j2繪制根軌跡如圖4-4-3所示。系統(tǒng)響應(yīng)為等幅振蕩，即根軌跡與虛軸相交，臨界根軌跡增益K*=64，對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益K=4，振蕩頻率ω=2rad/s。

⑵由根軌跡可見，系統(tǒng)存在一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)的性能可以由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)公式近似估算。根據(jù)解得ζ=0.5，等阻尼角，如圖4-4-3所示。設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)s1,2=-α±jω，由根軌跡圖可知交點(diǎn)是s1的坐標(biāo)滿足求得α=0.732，ω=1.268,則s1,2=-0.732±j1.268?？稍O(shè)另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為s3,4=-γ±jω,由根之和條件可得γ=3.268，則s3,4=-3.268±j1.268

顯然s3,4至虛軸的距離約是s1,2至虛軸的距離的5倍，滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件。因此，s1,2可認(rèn)為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。當(dāng)ζ=0.5時(shí)對(duì)應(yīng)的K*值可由模值方程求出，即將s1代入模值方程可得

得到K*=10.34，相應(yīng)K=0.646。綜上所述，當(dāng)開環(huán)增益取K≤0.646時(shí)，最大超調(diào)量滿足σ%≤16.3%。⑶要求

，即。表明閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)必須位于s平面左半部分，且距離虛軸大于(0.75-1)，即可滿足要求。由圖4-4-3可知，在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值均小于2，所以能通過選擇K滿足ts≤4s的要求。⑷由于臨界穩(wěn)定根軌跡增益為K*=64，所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的位置誤差系數(shù)應(yīng)滿足故不能通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求。

4.4.2開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性與根軌跡的形狀密切相關(guān)，而開環(huán)零、極點(diǎn)的分布決定著根軌跡的形狀。因此，在系統(tǒng)中適當(dāng)?shù)卦黾娱_環(huán)零、極點(diǎn)或者改變開環(huán)零、極點(diǎn)在s平面的位置，可以改變根軌跡的形狀，從而改善系統(tǒng)的性能。1.開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響通過例4-18來說明增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。例4-18某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)零點(diǎn)z為，試分析增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：4個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及根軌跡如圖4-4-4所示。從圖4-4-4可以看出，增加開環(huán)零點(diǎn)可以減少漸近線的條數(shù)，改變漸近線傾角及與實(shí)軸的交點(diǎn)；一般使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，且開環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用越顯著。因此，適當(dāng)?shù)匾腴_環(huán)零點(diǎn)，可以對(duì)系統(tǒng)的性能有所改善。因此，適當(dāng)?shù)匾敫郊恿泓c(diǎn)，可以對(duì)系統(tǒng)的性能有所改善。2.開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響通過例4-19來說明增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。例4-19某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)極點(diǎn)p為，試分析增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：4個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及根軌跡如圖4-4-5所示。從圖4-4-5可以看出，增加開環(huán)極點(diǎn)改變了漸近線的條數(shù)、傾角及與實(shí)軸的交點(diǎn)；一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能，且附加極點(diǎn)離虛軸越近，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，響應(yīng)速度越慢。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)一般不單獨(dú)增加開環(huán)極點(diǎn)。3.偶極子對(duì)系統(tǒng)性能的影響在控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計(jì)中，偶極子的概念是十分有用的?？梢栽谙到y(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對(duì)動(dòng)態(tài)過程影響較大的不利極點(diǎn)，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得以改善。附加偶極子對(duì)系統(tǒng)性能的影響通過例4-20來說明。例4-20已知某比例積分控制系統(tǒng)如圖4-4-6所示，利用根軌跡分析控制系統(tǒng)性能。解：當(dāng)控制器為比例控制時(shí)，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)控制器為比例積分控制時(shí)，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中，z為開環(huán)零點(diǎn)。下面比較開環(huán)零點(diǎn)z分別為-4,-0.5,-1.2，阻尼比ζ=0.5時(shí)的系統(tǒng)性能。不加比例積分控制器（相當(dāng)于）的原系統(tǒng)，加入比例積分控制器（相當(dāng)于系統(tǒng)加入開環(huán)零點(diǎn)z分別為-4,-0.5,-1.2）的系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4-7所示。設(shè)等阻尼線ζ=0.5(此時(shí))與根軌跡的交點(diǎn)為s1則代入閉環(huán)特征方程

令其實(shí)部和虛部分