《材料力學(xué)》課件第3章

第3章

扭

轉(zhuǎn)3.1引言

3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖

3.3薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與剪切胡克定律

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件與剛度條件

3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形

3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn) 3.1引

言

扭轉(zhuǎn)是桿件的基本變形形式之一。例如，汽車(chē)的轉(zhuǎn)向軸（見(jiàn)圖3-1(a)）上端受到經(jīng)由方向盤(pán)傳來(lái)的力偶Me作用，下端承受來(lái)自轉(zhuǎn)向器的阻抗力偶Me′作用，轉(zhuǎn)向軸各橫截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)（見(jiàn)圖3-1(b)）。再如變速機(jī)構(gòu)中的傳動(dòng)軸（見(jiàn)圖3-2(a)），軸上每個(gè)齒輪都承受圓周力Fi和徑向力Fri作用，將每個(gè)齒輪上的力向圓心簡(jiǎn)化，附加力偶Me使各橫截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而橫向力F1、Fr1、F2和Fr2使軸產(chǎn)生彎曲，如果兩個(gè)齒輪離軸承很近，則軸的彎曲可以忽略。圖3-1圖3-2由此可見(jiàn)，在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶時(shí)，桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶，稱(chēng)為扭力偶，其矩稱(chēng)為扭力偶矩。凡是以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿，稱(chēng)為軸。

工程實(shí)際中有很多構(gòu)件，如攻絲的絲錐、車(chē)床的光杠、攪拌機(jī)軸、汽車(chē)的傳動(dòng)軸等等，都是受扭構(gòu)件。還有一些軸類(lèi)零件，如電動(dòng)機(jī)主軸、水輪機(jī)主軸、機(jī)床傳動(dòng)軸等，除扭轉(zhuǎn)變形之外還有彎曲變形，屬于組合變形。圖3-3 3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.扭力偶矩的計(jì)算

在工程實(shí)際中，可以根據(jù)力偶與力矩的理論，計(jì)算軸承受的扭力偶矩。對(duì)于傳動(dòng)軸等構(gòu)件，往往只給出軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速，可利用動(dòng)力學(xué)知識(shí)，根據(jù)功率、轉(zhuǎn)速和扭力偶矩之間的關(guān)系P=Meω求出作用在軸上的扭力偶矩為（3-1）2.扭矩與扭矩圖

為了計(jì)算圓軸的應(yīng)力和變形，首先要分析其橫截面上的內(nèi)力。如圖3-4(a)所示圓軸，承受外力偶矩Me作用，現(xiàn)用截面法分析任意橫截面n-n上的內(nèi)力。在n-n截面處假想地將圓軸截開(kāi)，取其左段為研究對(duì)象，作用在軸左段上的外力偶矩為Me，由平衡理論可知，作用在n-n截面上分布內(nèi)力系的合成結(jié)果必為一力偶，而且該力偶的作用面在橫截面內(nèi)。將作用于橫截面的內(nèi)力偶矩稱(chēng)為該截面的扭矩，用T來(lái)表示（見(jiàn)圖3-4(b)）。由軸左段平衡條件得n-n截面的扭矩為T(mén)=Me

如果研究右段（見(jiàn)圖3-4(c)），由平衡條件也可求得n-n截面上的扭矩，其數(shù)值與研究左段所得的相同，但轉(zhuǎn)向相反。為了所求得的同一截面上的扭矩保持相同的正負(fù)號(hào)，對(duì)扭矩T的正負(fù)號(hào)作如下規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，矢量方向與橫截面外法線方向一致時(shí)，扭矩為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖3-4(b)、(c)所示扭矩均為正值。

對(duì)于承受幾個(gè)外力偶矩作用的軸，其不同橫截面上的扭矩不盡相同。為了表示扭矩的大小和正負(fù)隨截面位置的變化，可用扭矩圖來(lái)形象描述之。圖3-4

例3-1已知傳動(dòng)軸（見(jiàn)圖3-5(a)）的轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪為A，輸入功率PA=50kW，兩個(gè)從動(dòng)輪為B、C，其中B輪輸出功率PB=30kW。試作軸的扭矩圖。

解(1）扭力偶矩計(jì)算。A輪為主動(dòng)輪，故MA的方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；而作用在從動(dòng)輪B、C上的扭力偶矩MB、MC的方向與軸的轉(zhuǎn)向相反。MA、MB的大小分別為由靜平衡條件，求得

（2）扭矩計(jì)算。用截面法求各段扭矩。在AB段內(nèi)，任選1-1截面為代表，從該截面截開(kāi)，研究左段（見(jiàn)圖3-5(b)），假定1-1截面上的扭矩T1取正值，由平衡條件∑Mx=0,得同理，在AC段內(nèi)，任選2-2截面為代表，從該截面截開(kāi)，研究右段，假定2-2截面上的扭矩T2取正值（見(jiàn)圖3-5(c)），由平衡條件亦可求得(3）畫(huà)扭矩圖。以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置（與軸的受力圖上下對(duì)應(yīng)），以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的扭矩，按選定比例作出BA、AC兩段軸的扭矩圖。因?yàn)樵诿慷蝺?nèi)扭矩是不變的，故扭矩圖由兩段水平線組成，如圖3-5(d)。由圖知，該傳動(dòng)軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內(nèi)，值為圖3-53.3薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與剪切胡克定律

1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形

圖3-6(a)所示為一壁厚為δ、平均半徑為R0的薄壁圓筒（δ≤R0/10）。受扭前，在圓筒表面上畫(huà)出一組圓周線和縱向線組成的矩形方格。在兩端扭力偶矩Me的作用下，圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形（見(jiàn)圖3-6(b)）?？梢杂^察到，各縱向線都傾斜了同一個(gè)微小角度γ；各圓周線的形狀、大小及間距都沒(méi)有改變，只是各自繞軸線x軸轉(zhuǎn)過(guò)了不同的角度。所畫(huà)矩形方格變成近似平行四邊形。

圖3-6由于圓筒兩橫截面間的距離不變，故橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力；圓筒的半徑不變，故在通過(guò)軸線的縱向截面上亦無(wú)正應(yīng)力。在變形過(guò)程中，相鄰橫截面p-p與q-q發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，矩形變成了平行四邊形，這種變形稱(chēng)為剪切變形?？v向線傾斜的角度γ是矩形方格變形前后直角的改變量，即為切應(yīng)變（見(jiàn)圖3-6(e)），故橫截面上只有切應(yīng)力，它組成與扭力偶矩平衡的內(nèi)力系。由于筒壁很薄，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布（見(jiàn)圖3-6(c)），q-q

截面上切應(yīng)力組成的內(nèi)力是橫截面的扭矩T，由q-q截面以左部分圓筒的平衡方程∑Mx=0,得（a）即（b）所以（3-2）從圖3-6(b)可見(jiàn)，切應(yīng)變?chǔ)脼椋╟）式中:φ為右側(cè)端面相對(duì)左側(cè)端面的扭轉(zhuǎn)角，l為圓筒的長(zhǎng)度。2.純剪切與切應(yīng)力互等定理

用兩個(gè)相鄰的橫截面和兩個(gè)縱截面，從圓筒中取出邊長(zhǎng)分別為dx、dy和δ的微小單元體，放大為圖3-6(d)。微體的前、后兩面是圓筒的自由表面，無(wú)任何應(yīng)力作用。微體的左、右兩側(cè)面是圓筒橫截面的一部分，所以只有切應(yīng)力。微體左、右側(cè)面上的切應(yīng)力可由式（3-2）計(jì)算，其數(shù)值相等、方向相反，左右兩側(cè)面上的合力組成一個(gè)矩為τ·δdy·dx的力偶。為了保持平衡，微體上、下面上必有方向相反的切應(yīng)力τ′。從一個(gè)變形體中取出的微小六面體上，如果只有四個(gè)側(cè)面上有切應(yīng)力，而該微體的所有截面上再無(wú)其他應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。從薄壁圓筒中取出的上述微體就處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于該微體，由平衡方程∑Mx=0，得（3-3）

式(3-3)表明，在微體互相垂直的截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，而切應(yīng)力的方向則同時(shí)指向或同時(shí)背離該交線。此關(guān)系稱(chēng)為切應(yīng)力互等定理。切應(yīng)力互等定理不僅對(duì)純剪切應(yīng)力狀態(tài)適用，對(duì)于一般情形，即使微體截面上還存在正應(yīng)力，切應(yīng)力互等定理仍然成立。3.剪切胡克定律

利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)可做純剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于大多數(shù)工程材料，如果切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限τp，則切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比（見(jiàn)圖3-7），即（3-4）上述關(guān)系稱(chēng)為剪切胡克定律，比例常數(shù)G稱(chēng)為切變模量，其單位是Pa，常用單位是GPa。

理論和試驗(yàn)均表明，對(duì)于各向同性材料，彈性模量E、泊松比μ與切變模量G三個(gè)彈性常數(shù)之間存在如下關(guān)系:（3-5）圖3-7

4.剪切應(yīng)變能

圖3-8所示微體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在切應(yīng)力τ的作用下，微體發(fā)生切應(yīng)變?chǔ)?，頂面與底面間的相對(duì)位移為γdy，因此，作用在微體上的剪力所做之功或微體的應(yīng)變能為由此得剪切應(yīng)變能密度為（3-6）圖3-8 3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形3.4.1試驗(yàn)與假設(shè)首先通過(guò)試驗(yàn)觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，并對(duì)其內(nèi)部變形規(guī)律作出假設(shè)。

取一等截面圓軸，在其表面畫(huà)上圓周線和縱向線（見(jiàn)圖3-9(a)），然后在軸兩端加上一對(duì)大小相等、方向相反的扭力偶。在小變形情況下，其變形特點(diǎn)與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)相同（見(jiàn)圖3-9(b)）：

(1)各圓周線大小、形狀和間距都不變，只是繞軸線各自轉(zhuǎn)過(guò)了不同角度。(2)各縱向線傾斜了同一角度γmax，變形前的小矩形變成了平行四邊形。圖3-93.4.2圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式

基于上述平面假設(shè)，進(jìn)一步從幾何、物理和靜力學(xué)三方面綜合分析，可建立起圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計(jì)算公式。

1.幾何方面

為了確定橫截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力，需要了解軸內(nèi)各點(diǎn)處的變形。為此，用相距dx的兩個(gè)橫截面以及夾角無(wú)限小的兩個(gè)徑向縱截面，從軸內(nèi)切取一楔形體O1ABCDO2進(jìn)行分析（見(jiàn)圖3-10(a)）。圖3-10根據(jù)平面假設(shè)可知，楔形體變形后的形狀如圖中虛線所示，圓軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC′D′，距軸線任意位置ρ處的矩形abcd變?yōu)槠叫兴倪呅蝍bc′d′，即均在垂直于半徑的平面內(nèi)發(fā)生剪切變形。設(shè)楔形體左、右兩側(cè)面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dφ，矩形abcd的切應(yīng)變?yōu)棣忙?，則由圖可知（a）2.物理方面

由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，因此，橫截面ρ處的切應(yīng)力為（b）由此可得圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律：只存在與半徑垂直的切應(yīng)力，其大小沿半徑呈線性變化（見(jiàn)圖3-10(b)）。實(shí)心與空心圓截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布分別如圖3-11(a)、(b)所示。圖3-113.靜力學(xué)方面

如圖3-12所示，在橫截面上半徑為ρ處取一微面積dA，其上微內(nèi)力為τρdA，對(duì)圓心O的力矩為τρdA·ρ。在整個(gè)截面上，所有微內(nèi)力矩之和等于該截面上的扭矩T，即將式（b）代入式(c)，并將常數(shù)提到積分號(hào)外，則得（c）（d）圖3-12式（d）中的稱(chēng)為截面對(duì)軸心的極慣性矩，記為IP（見(jiàn)附錄A）。于是，式（d）可改寫(xiě)為（3-7）此式即為圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。

將式（3-7）代入式（b），得（3-8）此式即為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力的一般公式。試驗(yàn)研究與理論分析均表明，通過(guò)從幾何、物理、靜力三方面綜合分析所得到的圓軸扭轉(zhuǎn)變形與應(yīng)力公式是正確的，與實(shí)際情況相吻合。這些公式可用于等截面細(xì)長(zhǎng)圓軸扭轉(zhuǎn)的線彈性小變形情形，也可用于截面緩慢變化的小錐度圓軸的計(jì)算。對(duì)于扭矩沿軸線變化的情形顯然也適用。3.4.3最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

由式（3-8）知，在處，即圓截面周邊各點(diǎn)處，切應(yīng)力最大，其值為（3-9）式中（3-10）WP稱(chēng)為截面的抗扭截面系數(shù)。對(duì)于實(shí)心圓截面，其極慣性矩和抗扭截面系數(shù)（見(jiàn)附錄A）分別為（3-11）而對(duì)于內(nèi)徑為d、外徑為D的空心圓截面，其極慣性矩和抗扭截面系數(shù)分別為（3-12）式中，α=d/D，代表內(nèi)外徑的比值。3.4.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形

如前所述，圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，用橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ來(lái)表示。由式（3-7）可得微段dx的扭轉(zhuǎn)角為相距為l的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角則為（3-13）對(duì)于長(zhǎng)為l、扭矩T為常數(shù)的等截面圓軸，兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角為（3-14）

例3-2已知在例3-1中的階梯形圓軸中，AB段直徑d1=50mm，長(zhǎng)度l1=700mm，AC段直徑d2=35mm，長(zhǎng)度l

2=300mm，軸材料切變模量G=80GPa。試計(jì)算該軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及截面B、C間的扭轉(zhuǎn)角φ

BC。

解(1）計(jì)算軸內(nèi)最大切應(yīng)力。由例3-1知，圓軸AB、AC段內(nèi)的扭矩分別為T(mén)1=－955N·m，T2=637N·m。而各段內(nèi)的最大切應(yīng)力均在橫截面周邊處，由式（3-9）和式（3-11）求得AB段內(nèi)最大切應(yīng)力這里在計(jì)算切應(yīng)力數(shù)值時(shí)，沒(méi)有考慮扭矩的正負(fù)號(hào)；同理可求得AC段內(nèi)最大切應(yīng)力比較知，軸內(nèi)最大切應(yīng)力產(chǎn)生在AC段內(nèi)任一橫截面上周邊各點(diǎn)處。(2）計(jì)算扭轉(zhuǎn)角φBC。由于AB、AC兩段的扭矩、截面直徑不同，故需要分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角。同時(shí)要注意扭轉(zhuǎn)角為代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)由該段內(nèi)扭矩的正負(fù)號(hào)來(lái)決定，而軸兩端的扭轉(zhuǎn)角為各段扭轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。因此，由式（3-14）可計(jì)算AB與AC段的扭轉(zhuǎn)角分別為C截面相對(duì)于B截面的扭轉(zhuǎn)角為3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件與剛度條件

1.扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)是用圓截面試樣在扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的。試驗(yàn)表明：塑性材料試樣在受扭過(guò)程中，先是發(fā)生屈服（見(jiàn)圖3-13(a)），如果繼續(xù)增大扭轉(zhuǎn)力矩，試樣最后沿橫截面被剪斷（見(jiàn)圖3-13(b)）。脆性材料試樣受扭時(shí)，變形始終很小，最后在與軸線約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂（見(jiàn)圖3-13(c)）。圖3-13由此可見(jiàn)，對(duì)于受扭圓軸，塑性材料失效的標(biāo)志是屈服，試件屈服時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，用τs表示。屈服時(shí)試件表面會(huì)出現(xiàn)滑移線（見(jiàn)圖3-13(a)）；脆性材料失效的標(biāo)志是斷裂，試件斷裂時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力即為材料的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，用τb來(lái)表示。扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力τs和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限τb又統(tǒng)稱(chēng)為材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力，用τu來(lái)表示。2.圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

用材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力τu除以安全系數(shù)n，得材料的扭轉(zhuǎn)許用應(yīng)力為因此，為了保證圓軸工作時(shí)不發(fā)生失效，必須使軸內(nèi)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不得超過(guò)材料的扭轉(zhuǎn)許用應(yīng)力。對(duì)于等截面圓軸，則要求（3-15）此時(shí)|T|max作用截面即為軸的危險(xiǎn)截面；而對(duì)于變截面圓軸，則要求（3-16）此時(shí)，由于圓軸各段的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作用截面不一定是危險(xiǎn)截面。需要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)的大小，確定可能產(chǎn)生最大切應(yīng)力的各橫截面。式（3-15）、式（3-16）稱(chēng)為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。

理論分析和試驗(yàn)研究表明，材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力［τ］與許用拉應(yīng)力［σ］之間存在下列關(guān)系：對(duì)于塑性材料，對(duì)于脆性材料，(3-17)(3-18)

3.圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件

工程中的有些軸，為了能正常工作，除要求滿(mǎn)足強(qiáng)度條件外，還要對(duì)軸的扭轉(zhuǎn)變形作一定的限制。例如機(jī)床主軸的扭轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響加工精度，高速運(yùn)轉(zhuǎn)的軸扭轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)引起強(qiáng)烈振動(dòng)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于有精度要求和限制振動(dòng)的機(jī)械，都需要考慮軸的扭轉(zhuǎn)變形。在扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中，通常是限制單位長(zhǎng)度的最大扭轉(zhuǎn)角θmax不得超過(guò)單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］。因此，由式（3-7），對(duì)于等截面圓軸，其扭轉(zhuǎn)剛度條件為（3-19）對(duì)于變截面圓軸（3-20）以上兩式中，計(jì)算所得的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的單位為rad/m，工程中單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角的單位一般用°/m給出，因此，應(yīng)用時(shí)要注意單位的統(tǒng)一。

對(duì)于一般傳動(dòng)軸，［θ］為0.50°/m～1°/m，對(duì)于精密機(jī)器和儀表中的軸，［θ］值可根據(jù)有關(guān)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范確定。

例3-3一等截面實(shí)心圓軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min，傳遞的功率為P=331kW，若圓軸材料的許用切應(yīng)力［τ］=40MPa，單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］=0.5°/m，材料切變模量G=80GPa。試設(shè)計(jì)圓軸直徑d。

解

圓軸所傳遞的外力偶矩此時(shí)，橫截面上的扭矩由圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件得圓軸直徑為了用剛度條件計(jì)算圓軸直徑，首先將單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］進(jìn)行單位換算由圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件得圓軸直徑圓軸的直徑取較大值，取d=112mm。

可見(jiàn)，在傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)中，有時(shí)候剛度要求是決定性因素。另外注意到本例題中，許用切應(yīng)力比較小，［τ］=40MPa。這是因?yàn)閭鲃?dòng)軸在工作時(shí)承受循環(huán)載荷作用，破壞形式多為疲勞失效，而軸的疲勞極限遠(yuǎn)低于材料的靜強(qiáng)度極限。

例3-4在例3-3中，若將該傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)為空心軸，，試設(shè)計(jì)圓軸直徑，并與實(shí)心軸比較重量。

解

由空心圓軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得空心圓軸外徑由空心圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度條件得空心圓軸外徑取D=158mm，此時(shí)，內(nèi)徑為在圓軸長(zhǎng)度相等、材料相同的情況下:由此可見(jiàn)，空心圓軸比實(shí)心圓軸節(jié)省約2/3的材料，自重也相應(yīng)減輕約2/3。

例3-5圖3-14所示為板式漿葉攪拌器，已知電動(dòng)機(jī)的功率是17kW，攪拌器的轉(zhuǎn)速是60r/min，機(jī)械傳動(dòng)的效率是90%，軸用Φ117×6mm不銹鋼管制成，材料的許用切應(yīng)力［τ］=30MPa，試按強(qiáng)度條件校核攪拌軸是否安全。

解

首先計(jì)算作用在攪拌軸上的扭力偶矩。因?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)的效率是90%，所以實(shí)際功率是17×90%=15.3kW。則電動(dòng)機(jī)作用于軸上的主動(dòng)扭力偶矩為作用在上下兩層漿葉上的阻力偶與主動(dòng)力偶相平衡，故軸內(nèi)最大扭矩在AB段內(nèi)，為T(mén)max=MA=2435N·m圖3-14因?yàn)檩S在腐蝕介質(zhì)中工作，在強(qiáng)度校核時(shí)，應(yīng)將軸的外徑尺寸減去腐蝕裕度c=1mm，則軸的外徑D=115mm，內(nèi)徑d=105mm，該軸的平均半徑R0=55mm，壁厚δ=5mm，屬于薄壁圓管，則其切應(yīng)力為因此，攪拌軸的強(qiáng)度是安全的。

例3-6圖3-15(a)所示A、B兩端分別固定的等截面圓軸，C處承受扭力偶矩M的作用，試求固定端A、B處的約束力偶矩。圖3-15

解

解除約束，設(shè)A、B兩端的約束力偶矩分別為MA、MB（見(jiàn)圖3-15(b)），軸的有效靜平衡方程只有一個(gè)，為（a）上述方程包含兩個(gè)未知力偶矩，故為一靜不定問(wèn)題。

根據(jù)軸的約束條件，有變形協(xié)調(diào)條件（b）式中，φAB、φAC、φCB分別代表AB、AC、CB段的扭轉(zhuǎn)角。AC與CB段的扭矩分別為（c）所以，相應(yīng)扭轉(zhuǎn)角分別為將上述物理關(guān)系式（d）、（e）代入式（b），得補(bǔ)充方程（d）（e）（f）最后，聯(lián)立求解平衡方程（a）與補(bǔ)充方程（f），得約束力偶矩確定后，即可按靜定問(wèn)題分析軸的內(nèi)力、應(yīng)力與變形，并進(jìn)行強(qiáng)度與剛度計(jì)算。

4.圓軸的合理截面與減緩應(yīng)力集中

在工程中，空心圓軸得到了廣泛的應(yīng)用，這主要是由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布規(guī)律決定的。實(shí)心圓軸橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布如圖3-16(a)所示，當(dāng)截面周邊處的切應(yīng)力達(dá)到許用切應(yīng)力時(shí)，軸心附近各點(diǎn)處的切應(yīng)力仍很小，這部分材料就沒(méi)有充分發(fā)揮作用。所以，為了充分利用材料，宜將材料放置在離圓心較遠(yuǎn)的部位，作成空心軸，此時(shí)切應(yīng)力分布規(guī)律如圖3-16(b)所示，其切應(yīng)力和內(nèi)力的力臂都將增大，軸的抗扭能力將大大增強(qiáng)。顯然，空心軸的平均半徑R0愈大，壁厚δ愈小，即比值R0/δ愈大，切應(yīng)力分布愈均勻，材料的利用率愈高。因此，一些大型軸和對(duì)減輕重量有較高要求的軸（例如飛機(jī)的軸、鉆桿等），通常都制成空心的。但同時(shí)也應(yīng)注意到，如果R0/δ過(guò)大，即圓筒筒壁過(guò)薄，圓筒在受扭時(shí)將產(chǎn)生皺折，發(fā)生局部失穩(wěn)現(xiàn)象（見(jiàn)圖3-16(c)），反而降低了抗扭能力。當(dāng)然，在具體設(shè)計(jì)中，采用空心軸還是實(shí)心軸，不僅要從強(qiáng)度、剛度方面考慮，而且還要考慮結(jié)構(gòu)的要求和加工成本等因素。在設(shè)計(jì)階梯形圓軸時(shí)，還要注意盡量減小截面尺寸的急劇變化，以減緩應(yīng)力集中的影響。在粗細(xì)兩段的交界處，宜配置適當(dāng)尺寸的過(guò)渡圓角。圖3-163.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形

圖3-17

1.彈簧絲橫截面上的應(yīng)力

對(duì)于圖3-17(a)所示承受拉力F作用的密圈螺旋彈簧，利用截面法，以通過(guò)彈簧軸線的截面，將某一圈的簧絲截開(kāi)，并取上半部分作為研究對(duì)象（見(jiàn)圖3-17(b)）。由于螺旋升角α很小，所截截面可近似看成是簧絲的橫截面。于是，根據(jù)保留部分的平衡條件可知，在簧絲橫截面上必然同時(shí)存在剪力FS及扭矩T，其值分別為（a）

與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力τ′可認(rèn)為沿橫截面均勻分布（見(jiàn)圖3-17(c)），其大小為（b）

與扭矩T相應(yīng)的切應(yīng)力τ″可用圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力公式計(jì)算（見(jiàn)圖3-16(d)），其最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為（c）

簧絲橫截面上任意一點(diǎn)的應(yīng)力均為τ′與τ″的矢量和。顯然，最大切應(yīng)力發(fā)生在截面內(nèi)側(cè)點(diǎn)A處，其值則為（3-21）

對(duì)于D>>d的輕型彈簧，例如D/d≥10時(shí)，代表剪切影響的

一項(xiàng)與1相比不超過(guò)5%，可以忽略。這就相當(dāng)于不考慮剪切，而只考慮扭轉(zhuǎn)的影響。此時(shí)，式(3-21)可簡(jiǎn)化為（3-22）但是，對(duì)于D/d<10的重型彈簧，或在計(jì)算精度要求較高的情況下，不僅τ′不能忽略，而且還應(yīng)考慮彈簧絲曲率的影響，這時(shí)，最大切應(yīng)力的修正公式為（3-23）

以上分析表明，彈簧危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，所以，彈簧的強(qiáng)度條件為（3-24）式中，［τ］為彈簧絲的許用切應(yīng)力?；山z一般用高強(qiáng)度彈簧鋼制成，其許用切應(yīng)力［τ］的數(shù)值頗高，約在210~690MPa之間。

2.彈簧的變形

彈簧在軸向壓（拉）力F作用下，軸線方向的總縮短（伸長(zhǎng)）量為λ（見(jiàn)圖3-18(a)）。試驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)與λ成正比（見(jiàn)圖3-18(b)）。當(dāng)軸向壓(拉)力從零增加到最終值F時(shí)，所做之功為（d）

在彈簧變形過(guò)程中，儲(chǔ)存于簧絲內(nèi)的應(yīng)變能密度為。在簧絲橫截面上，距圓心為ρ的任意點(diǎn)（見(jiàn)圖3-18(c)）的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為（e）圖3-18簧絲單位體積儲(chǔ)存的應(yīng)變能為(f)彈簧儲(chǔ)存的應(yīng)變能為（g）

式中V為彈簧的體積，在柱坐標(biāo)系下，彈簧絲的體積微元dV=ρ·dθ·dρ·ds。積分時(shí)，首先遍及簧絲的橫截面，θ由0到2π,ρ由0到d/2;其次遍及彈簧的長(zhǎng)度，s由0到l。若彈簧的有效圈數(shù)為n（即扣除兩端與簧座接觸部分后的圈數(shù)），則l=nπD。將式（f）代入式（g），積分得（h）由于W=Vε，于是（i）由此得到（3-25）式中，R=D/2是彈簧圈的平均半徑。

令（3-26）則式（3-25）可以寫(xiě)成（3-27）顯然，F(xiàn)一定時(shí)，k越大則λ越小，所以k代表彈簧抵抗變形的能力，稱(chēng)為彈簧剛度。

例3-7某柴油機(jī)的氣閥彈簧，彈簧平均半徑R=59.5mm，簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5。材料的［τ］=350MPa，G=80GPa。彈簧工作時(shí)承受壓力F=2500N。試校核彈簧的強(qiáng)度并計(jì)算其壓縮變形。

解(1）校核強(qiáng)度。由于彈簧指數(shù)，屬于重型彈簧。應(yīng)用公式（3-23）計(jì)算簧絲橫截面上的最大切應(yīng)力彈簧滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。

（2）變形計(jì)算。由式（3-25）計(jì)算彈簧的壓縮變形:3.7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

1.自由扭轉(zhuǎn)與限制扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)研究和理論分析均表明，非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面將不再保持平面而發(fā)生翹曲（見(jiàn)圖3-19）。因此，基于平面假設(shè)推導(dǎo)的圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與變形公式將不再適用。如果約束對(duì)非圓截面軸橫截面翹曲不加限制，該軸各橫截面翹曲程度相似，則橫截面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。如果約束對(duì)非圓截面軸的翹曲有所