2024屆遼寧省莊河高級中學(xué)高三第二學(xué)期調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)試題

2023屆遼寧省莊河高級中學(xué)高三第二學(xué)期調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件3．已知三棱柱()A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，則的極大值點為()A． B． C． D．6．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是()A．180 B．90 C．45 D．3607．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．8．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1209．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或010．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，若向量與共線，則________.14．的展開式中常數(shù)項是___________.15．若一個正四面體的棱長為1，四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為_________.16．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知都是大于零的實數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．19．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點個數(shù)．21．（12分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．3．C【解析】因為直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝4．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減，對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為，所以，所以是減函數(shù)，又因為，所以，，所以，，所以A,B兩項均錯；又，所以，所以C錯；對于D，，所以，故選D.【點睛】這個題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.5．A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.6．A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.7．C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.10．B【解析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.11．B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當(dāng)時，，令當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當(dāng)時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.12．B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計算得到，根據(jù)向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得，因為與共線，所以有，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.14．-160【解析】試題分析：常數(shù)項為.考點：二項展開式系數(shù)問題.15．【解析】

將四面體補成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補形成一個正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，因為正四面體的棱長為1，所以正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，因為球的直徑是正方體的對角線，即，解得，所以球的表面積為.【點睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結(jié)，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，即可得到答案．【詳解】解：（Ⅰ）取的中點為，連結(jié).由是三棱臺得，平面平面，從而.∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，為的中點，∴，∴.∵平面平面，且交線為，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）連結(jié).由是正三角形，且為中點，則.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，兩兩垂直.以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量為.由可得，.令，則，，∴.設(shè)與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質(zhì)，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計算求解能力，屬于中檔題．18．（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，兩式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）兩式相加得（2）由（1）知于是，．【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性．20．（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點個數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當(dāng)時，以及，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以．所以，．所以曲線在點處的切線為；（2）因為，令，得或．列表如下：0極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時，函數(shù)有極小值；（3）當(dāng)時，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點個數(shù)為．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21．（1）填表見解析；有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān)（2）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，，所以有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）服從，即，.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.22．（1）直線的普通方程，圓的直角坐標(biāo)方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直