山西省忻州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題含解析

高三數(shù)學(xué)試題考生留意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)與解三角形?平面對(duì)量與復(fù)數(shù)占70%，其他內(nèi)容占30%.第I卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式后由交集的概念求解【詳解】由題意可得，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解【詳解】由題意可得.故選：A3.青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則水的高度與時(shí)間的函數(shù)圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)瓷器的形態(tài)：中間粗，上下細(xì)來分析水的增高速度.【詳解】由圖可知該青花瓷上?下細(xì)，中間粗，則在勻速注水的過程中，水的高度先始終增高，且起先時(shí)水的高度增高的速度越來越慢，到達(dá)瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來越快，直到注滿水，結(jié)合選項(xiàng)所給圖像，只有先慢后快的趨勢(shì)的C選項(xiàng)符合.故選：C4.“”是“方程表示橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)方程不肯定表示橢圓，如時(shí)方程，即就表示一個(gè)圓，所以“”不是“方程表示橢圓”充分條件；但是當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，應(yīng)有，所以“”是“方程表示橢圓”的必要條件，故選B.考點(diǎn)：1、充分條件，必要條件；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切恒等變換公式可求得=，對(duì)所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用弦化切即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?，則，故選：D.6.已知，則的最小值是（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C7.在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成果聽從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參與這次考試的學(xué)生中隨意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成果不低于85的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)求出，然后再求恰有2名學(xué)生的成果不低于85的概率即可.【詳解】因?yàn)閷W(xué)生成果聽從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參與這次考試的學(xué)生中隨意選取1名學(xué)生，其成果不低于85的概率是，則從參與這次考試的學(xué)生中隨意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成果不低于85的概率是.故選：A.8.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖，是圓的一條直徑，且是圓上的隨意兩點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)為圓心，連接，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，依據(jù)點(diǎn)在線段上，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】解：如圖，為圓心，連接，則.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是.故選：B9.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，則鱉臑外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判段出補(bǔ)全后為長(zhǎng)方體，再利用長(zhǎng)方體外接圓半徑的計(jì)算公式得出半徑，即可干脆得出答案.【詳解】由題意可知，如圖，將鱉臑補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，則鱉臑外接球的半徑，故鱉臑外接球的表面積為.故選：A.10.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，依據(jù)并探討t探討其實(shí)根的分布狀況，將問題化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】如圖，畫出的圖象，設(shè)結(jié)合圖象知：當(dāng)或時(shí)有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)有2個(gè)實(shí)根；問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而，解得.故選：D11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，依據(jù)得到，從而得到，再依據(jù)的單調(diào)性得到，，即可得到答案.【詳解】.因?yàn)椋?，則，從而.因?yàn)椋?因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，.解得.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以或，所以?因?yàn)?，，所?故選：A12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性分析即得解【詳解】設(shè)函數(shù)，則.由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.設(shè)，則.由，得；由，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，則，故.因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，即.因?yàn)?，所?故選：A第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得，則，解得.故答案為：14.已知圓圓心在直線上，且與直線相切，則圓的方程是__________.（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由圓心的位置以及圓心到直線的距離等于半徑即可得到滿意條件的圓方程.【詳解】設(shè)圓心，則半徑，故圓的方程為取,則，故答案為:15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則.故答案為：16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則面積的最大值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式可轉(zhuǎn)化原式為，可得或，分類探討，結(jié)合均值不等式和余弦定理，即得解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，即?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立則的面積為；當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.在中，由余弦定理可得，則，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上，面積的最大值是.故答案為：三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演步驟..17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理以及同角關(guān)系即可得即可求解，（2）依據(jù)正弦定理化邊為角，利用三角的變換以及函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，所以，因?yàn)椋?故得，進(jìn)而得,所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所?由正弦定理可得，則.因?yàn)?，所以，所以，所?當(dāng)，即時(shí)，取得最大值4，即的最大值為4.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面平面.（2）若是棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）記，連接，依據(jù)線面垂直的判定證明平面即可；（2）先證明平面，再以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)面面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】證明：記，則為的中點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫云矫?，則以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，故.設(shè)平面的法向量，則，令，得.設(shè)平面的法向量，則，令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，對(duì)隨意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)圖得到，進(jìn)而得到，再依據(jù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，求得和即可；由（1）得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最值，再依據(jù)恒成立求解.【小問1詳解】解：由圖可知，則.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以故.【小問2詳解】由（1）可知，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，即的值域?yàn)?因?yàn)閷?duì)隨意的恒成立，所以.20.據(jù)國(guó)家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣.漫漫暑期，空調(diào)成了很好的降溫工具，而物體的降溫遵循牛頓冷卻定律.假如某物體的初始溫度為，那么經(jīng)過分鐘后，溫度滿意，其中為室溫，為半衰期.為模擬視察空調(diào)的降溫效果，小明把一杯的茶水放在的房間，10分鐘后茶水降溫至.（參考數(shù)據(jù)：）（1）若欲將這杯茶水接著降溫至，大約還須要多少分鐘？（保留整數(shù)）（2）為適應(yīng)市場(chǎng)需求，2024年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬元，且已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)3000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.問2024年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的總產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，獲利最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1）13分鐘（2）當(dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400萬元.【解析】【分析】（1）由題意列方程求解（2）由題意得出利潤(rùn)與的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解最值【小問1詳解】由題意可得，解得.設(shè)經(jīng)過分鐘，這杯茶水降溫至，則，解得（分鐘）.故欲將這杯茶水降溫至，大約還須要13分鐘.【小問2詳解】設(shè)2024年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值3400萬元；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，取得最大值3380萬元因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400萬元.21.已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題設(shè)，直線，進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，直線的斜率為，同理可得，進(jìn)而依據(jù)可得，進(jìn)而可證明結(jié)論.【小問1詳解】解：依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以，因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，直線.聯(lián)立整理得，所以，.故.設(shè)直線的斜率為，同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，則，即，所以.22.已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程恰有一個(gè)解，求a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理可得存在使得，即可得到的單調(diào)性，從而求出的最小值，依題意可得，即可求出的值，從而得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即單