福建省泉州市2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年秋季初三年數(shù)學(xué)科期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.

1.下列各式中，與百是同類二次根式的是（）

A.79B.V27C.V18D.V24

2.方程3/-4x7=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.3,-1,4B.3,4,—1C.3,—4,-1D.3,—1,-4

3.兩個(gè)相似等腰直角三角形的面積比是4:1,則它們的周長(zhǎng)比是（）

A.4:1B.2:1C.8:1D.16:1

4.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.72x73=76B.&+〃=力C.（可=5D.2+6=26

5.已知a為銳角，且sina=立，則a等于（）

2

A.45°B.60°C.50°D.30°

6.在應(yīng)AA8C中，。=3、6=4,貝壯的長(zhǎng)是（）

A.V5B.V7C.5D.5或療

7.若關(guān)于x的一元二次方程h2+2x-l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則左的值可以?。ǎ?/p>

A.-3B.-2C.2D.0

8.如圖，隨機(jī)閉合4個(gè)開關(guān)國(guó)，S],邑，其中的兩個(gè)開關(guān)，能使小燈泡工發(fā)光的概率是

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

9.如圖，已知△/BC和ADEC,點(diǎn)E在8c上，AC交DE于點(diǎn)、F,且/8〃Z）E.若A/BC

與AOEC的面積相等，且E尸=6,48=9,則。尸等于（）

A.3.6B.7.5C.8D.10

10.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡是2c的中點(diǎn)，連接/￡與對(duì)角線3。交于點(diǎn)G,

連接CG并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)/，連接DE交CF于點(diǎn)、H,連接以下結(jié)論：①乙DEC=

UEB；②CFLDE；③AF=BF；④管=],其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

HF3

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分

n.請(qǐng)寫出一個(gè)大于2且小于3的二次根式：.

12.已知x=2是一元二次方程/_必=（）的一個(gè)解，則"?的值是—.

14.已知在RtZ\/8C中，ZC=90°,AB=6,BC=2,那么sin/的值是.

15.如圖，在△/BC中，ZA=15°,AB=2,P為/C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合）,

連接2尸，則出NP+P8的最小值是.

16.sinl8°=

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.計(jì)算：-r+通+I”I-2sin45°.

18.解方程：(%+2)(%-3)=x-1.

CB

蕨

(1)求證：公ABCs^DBE；

(2)若4c=8,BC=6,BE=3,求DE的長(zhǎng).

20.隨著《黑神話：悟空》這款融合了中國(guó)傳統(tǒng)文化精髓與現(xiàn)代游戲技術(shù)的力作橫空出世,

不僅激發(fā)了玩家對(duì)神話故事的無限遐想，更意外地點(diǎn)燃了公眾對(duì)山西這片古老土地的熱

情.游戲中精心選取的27處山西實(shí)景，如同一幅幅生動(dòng)的歷史畫卷，引領(lǐng)我們穿越時(shí)空，

感受五千年文明的深厚底蘊(yùn).某旅游公司推出“跟著悟空游山西”二日游路線.小明家、小米

家利用雙休日出去旅游.每次出游只能選一條路線.

跟檸悟空湃山西

推薦路線

幅汾線小西天

長(zhǎng)治線:觀音堂、紫慶寺

朔州線:泰福寺、應(yīng)縣木塔

告中線平遙鎮(zhèn)國(guó)寺、平遙雙林

(1)小米家這周想選N路線，小明家選不到N路線的概率是多少？

(2)如果小明家相約小米家一起出去旅游，兩個(gè)家庭都從上面四條路線中選一條路線去游玩,

請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求出兩家選取同一條路線的概率.

21.如圖，在四邊形/CAD中，NACB=NADB=90。,￡是對(duì)角線的中點(diǎn)，連接CD,

CE,DE,求證：ZDCE=ZCDE.

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

c

D

22.受益于國(guó)家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素，我市某汽車零

部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年提高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年利潤(rùn)為3億元，2018年利潤(rùn)為4.32億

兀.

(1)求該企業(yè)從2016年到2018年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率；

(2)若2019年保持前兩年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2019年的利潤(rùn)能否超過5億

元？

23.某數(shù)學(xué)小組在劉老師的指導(dǎo)下測(cè)量一建筑物高度，活動(dòng)報(bào)告如下：

活動(dòng)報(bào)告

活動(dòng)目

測(cè)量建筑物的高度

的

C

步驟一：設(shè)計(jì)測(cè)量方案(小組討論后，畫出如圖的測(cè)量示

意圖)

AD

步驟二：準(zhǔn)備測(cè)量工具皮尺、測(cè)傾器

①建筑物前有一

活動(dòng)過段斜坡48,斜坡N8

程的坡度，=1:2.4；

②在斜坡的底部

步驟三:實(shí)地測(cè)量并記錄數(shù)據(jù)(4B,C,。在同一平面

A測(cè)得建筑物頂點(diǎn)C

上，

的仰角為31。；

③斜坡48長(zhǎng)52米；

④在點(diǎn)B測(cè)得建筑物

頂點(diǎn)。的仰角為

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

53°.

步驟四：計(jì)算建筑物C。的高度

請(qǐng)結(jié)合以上信息完成步驟四：計(jì)算建筑物CD的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin53°?—,cos53°,tan53°,sin31°~^^,tan310--)

553345

24.定義：我們把關(guān)于x的一元二次方程辦2+8+°=0與cx2+6x+a=0(ac^O,arc)

稱為一對(duì)“友好方程”.如2/-7x+3=0的“友好方程”是3X2-7X+2=0.

(1)寫出一元二次方程X2+3X-10=0的“友好方程”.

(2)已知一元二次方程/+3x-10=0的兩根為玉=2,X?=-5,它的“友好方程”的兩根

無3=；、匕=.根據(jù)以上結(jié)論，猜想辦2+加+0=0的兩根為、工?與其“友好方程”

52+云+°=0的兩根工3、%之間存在的一種特殊關(guān)系為，證明你的結(jié)論.

(3)已知關(guān)于x的方程2021x2+6x-c=0的兩根是占=T,無2=縣？.請(qǐng)利用⑵中的

2021

結(jié)論，求出關(guān)于X的方程-bx+b=2.021的兩根.

25.【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,在△ASC中，AB=AC,4=90。，D,￡分別是8C,/C的中點(diǎn).求證：

DE1AC,DE=-AC.

2

【操作發(fā)現(xiàn)】

(2)如圖2,將圖1的△4BC先沿著直線/C翻折得到A/FC,再將A/FC繞著點(diǎn)尸順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45。得到A/'FC,連接分別作BC,HC的中點(diǎn)。，E,連接。E.猜想。E與4C

的關(guān)系，并進(jìn)行證明；

【拓展延伸】

(3)如圖3,將(2)中的“旋轉(zhuǎn)45?！备某伞靶D(zhuǎn)任意角度”，其他條件不變，問DE與HC的

關(guān)系是否發(fā)生改變？并說明理由.

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1.B

【詳解】解：A、囪=3與石被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；

B、收=36與6被開方數(shù)相同，是同類二次根式；

C、屈=3后與百被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；

D、后=2庭與6被開方數(shù)不同，不是同類二次根式.

故選B.

2.C

【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式：辦2+加+。=0（。*0）,其中a,6,c分別為：二次項(xiàng)

系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解:???3X2-4X-1=0,

二二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是3,-4,-1,

故選：C.

3.B

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比

的平方.據(jù)此即可解答.

【詳解】解：???兩個(gè)等腰直角三角形相似，

.?.兩個(gè)等腰直角三角形面積的比等于相似比的平方，

.?.兩個(gè)等腰直角三角形相似比為2:1,

??.兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，即周長(zhǎng)比為2：1,

故選：B.

4.D

【分析】利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)分別運(yùn)算后即可確定錯(cuò)誤的選項(xiàng)，從而確定正確的答

案.

【詳解】解：A、V2xV3=V6,正確，不符合題意；

B、&+4=&,正確，不符合題意；

C、（退了=5,正確，不符合題意；

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

D、2+右=羋，故原式錯(cuò)誤，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是了解二次根式的有關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，難度

不大.

5.B

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案.

【詳解】???sina=3

2

a=60°

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】本題利用勾股定理直角邊的平方之和等于斜邊平方，分別討論NC是否是直角的情

況下列式解答即可.

【詳解】當(dāng)NC=90。時(shí)，則°2=42+62=9+15=25,所以C=5；若《邦0。時(shí)，貝U

b1=a2+C1,c"=b2-a1=16-9=7,所以C=>/7,故答案選D.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，技巧是利用勾股定理分類討論NC是否為直角的情況

列方程解答.

7.C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方

程辦2+8+。=0伍/0),若△=/-4ac>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若

A=〃一4tze=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若△="一4ac<0,則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)

此根據(jù)判別式結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為0進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程辰2+2》_1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

JA=22-4X(-1).^>0

,%w01

二左2-1且后片0,

???四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的數(shù)符合題意，

故選：C.

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

8.A

【分析】利用畫樹狀圖或列表的方法，得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找到符合條件的

結(jié)果數(shù)，進(jìn)而求出概率即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中能使小燈泡工發(fā)光的結(jié)果有:

sts3,s.s4,s2s3,邑s3svs3s2,s4s.,s4s2,共8種，

???能使小燈泡L發(fā)光的概率為《=g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法

列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示即可，注意每種情況

發(fā)生的可能性相等.

9.B

【分析】根據(jù)已知條件知△€?尸與四邊形4FEB的面積相等，再根據(jù),設(shè)

△FEC的面積為軟，從而求出△(?￡＞廠的面積為5左，再根據(jù)AFEC與ACDF同高從而求得。尸

的長(zhǎng).

【詳解】解：與ADEC的面積相等，

???ACDF與四邊形AFEB的面積相等，

?-?AB//DE,

：.AFECs^ABC,

■.■EF=6,AB=9,

：.EF：N8=6：9=2：3,

?,?面積比=4：9,

設(shè)ACE尸的面積為4左，則四邊形/尸防的面積=5左，

/與四邊形AFEB的面積相等，

?1'S.CDF=5k,

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

???XCDF與尸是同高不同底的三角形，

???面積比等于底之比，

DF-.EF=5k：4k,

：.DF=1.5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用面積相等來得出線段的

長(zhǎng)度.

10.D

【分析】證明A4AE■三ADCE,可得結(jié)論①正確，由正方形的性質(zhì)可得48=4D=2C=CD=

6,BE=CE=3,3CE=UBE=9G°,UBD—CBD=45°,可證■三ADCE,

△ABGdCBG,可得乙BCF=4CDE,由余角的性質(zhì)可得結(jié)論②，證明△￡)(；￡三△C8尸可得

結(jié)論③，由勾股定理可求DE的長(zhǎng)，由面積法可求由相似三角形的性質(zhì)可求CF,可

得心的長(zhǎng)，即可判斷④.

【詳解】解：???四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E是2C的中點(diǎn)，

??.AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,乙DCE=UBE=9Q°,UBD=^CBD=45°,

■■.AABE=ADCE(SAS)

；ZDEC=，4EB,4BAE=￡CDE,DE=AE,故①正確，

■：AB=BC,乙4BG=<BG,BG=BG,

；.AABGmACBG(”S)

:.乙BAE=LBCF,

:.乙BCF=LCDE,且NCDE+NC￡Z)=90。，

；.乙BCF+乙CED=9Q°,

；/CHE=90°,

■■.CF1DE,故②正確，

?:4CDE=LBCF,DC=BC,乙DCE=￡CBF=9Q°,

.■.ADCE=ACBF(ASA),

■■.CE=BF,

■：CE=-BC=~AB,

22

1

：.BF=-AB,

2

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

??.AF=FB,故③正確，

???DC=6,CE=3,

：?DE=^CD2+CE2=A/62+32=3A/5，

11

?:SQCE=-xCDxCE=-xDExCH,

:?CH=述，

5

?:乙CHE=（CBF,乙BCF=^ECH,

???△ECHFFCB,

CH_CE

''~BC~~CF'

等=3下

：.CF=6V5,

"I"

9J5

：.HF=CF-

5

CH2

??--=故④正確，

HF3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

11.V5（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意得出2=C，3=也,然后取根式即可.

【詳解】解：??-2=74，3=W,

大于2且小于3的二次根式為石（答案不唯一），

故答案為：V5（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式的比較大小，熟練掌握比較大小的方法是解題關(guān)鍵.

12.2

【分析】本題考查了一元二次方程的解，解決本題的關(guān)鍵是將x的值準(zhǔn)確代入方程進(jìn)行計(jì)

算.

根據(jù)一元二次方程的解即可求出加的值.

【詳解】解：因?yàn)閤=2是一元二次方程--蛆=0的一個(gè)解，

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

所以4-2加=0,

解得：m=2.

故答案為：2.

【分析】由：=：，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得胃的值.

b6b

【詳解】解：=3,

b6

.a+b_5+6_11

一b~~6~~~6?

故答案為：

6

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)與比例

變形.

14.-

3

【分析】畫出圖形，直接利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

在RtZ\/BC中，48=6,BC=2,

廝/=空=2

AB6~3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)值的定義.正弦函

數(shù)值等于對(duì)邊比斜邊.

15.V3

【分析】以/為頂點(diǎn)，/C為一邊，在/C下方作/C4M=45。，過2作于。，交

/C于P,由△4DP是等腰直角三角形的==,即正4P+PB=PD+PB,故

22

注/P+P2取最小值即是尸。+PB取最小值，此時(shí)2、尸、。共線，且—AP+PB

22

的最小值即是2。的長(zhǎng)，根據(jù)NA4C=15。，ZCAM=45°,可得60=百/。=&,即可得

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

答案.

【詳解】解：以/為頂點(diǎn)，NC為一邊，在/C下方作/C/M=45。，過3作于

D,交NC于尸，如圖：

由作圖可知：是等腰直角三角形,

AD=PD=—AP,

2

???JAP+PB=PD+PB,

2

.?.@/P+尸5取最小值即是尸。+尸8取最小值，此時(shí)5、尸、。共線，且也/P+尸8

22

的最小值即是助的長(zhǎng),

vABAC=\50,ZCAM=45°,

.?./ABD=30。，

,'＜，D=-AB=1,BD=VAB2—AD2=8，

6

???—AP+PB的最小值是V3.

2

故答案為：百.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關(guān)鍵是作輔助線，把變NP+P8的最小值

2

轉(zhuǎn)化為求PD+PB的最小值.

16.^1

4

【分析】畫出等腰△4BC,使乙4=36。，AB=AC,過點(diǎn)2作/4BC的平分線交nC于點(diǎn)

D.易求出4。=5。，BD=BC=AD,ZABD=NCBD=NA,Z8DC=NC從而可證

BeCD

4BDCs“BC,即得出一=—,設(shè)BD=BC=AD=aCD=b,貝1j45=/C=a+6,

ABBC

代入學(xué)=*中,再整理,即得出"誓過點(diǎn)8作踮,。于點(diǎn)足由等腰三角形

的性質(zhì)結(jié)合正弦的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，NN=36。，AB=AC,過點(diǎn)3作N/3C的平分線交NC于點(diǎn)D

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

:./ABC=ZC=1(180°-ZA)=72°,

ZABD=ZCBD=-NABC=36°=ZA,

2

???AD=BD.

???ABDC=N/+/ABD=72°,

ZBDC=ZC=12°,

：.BD=BC=AD.

設(shè)BD=BC=AD=a,CD—b,則AB=AC=a+b.

[ZCBD=ZA

在ABDC和AABC中，,

I—N_x_/

???小BDCs小ABC,

BCCD

~AB~BCa+ba

22

整理，得：a-ab=bJ

配方，得：g"

-'-a--b=^-b（舍去負(fù)值）,

22

如圖，過點(diǎn)5作3￡，。。于點(diǎn)及

A

?：BD=BC,

:,CE=DE=-CD=~,ZCBE=ZDBE=-ZCBD=18°,

222

bb

CF

...sin18°=sinZC5E=—^2=2

BC廠西

2

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

故答案為：避二L

4

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形

相似的判定和性質(zhì)，求角的正弦值等知識(shí).正確畫出圖形并作出輔助線是解題關(guān)鍵.

17.V2

【分析】直接利用有理數(shù)的乘方，零指數(shù)暴的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)

分別化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】解：一r*+&+||■-萬)-2sin45°

=-1+2A/2+1-V2

=母

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.X]=1+,X2=1-^6^

【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法.先把原方程進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可得：/一2x-5=0,

然后根據(jù)解一元二次方程-配方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：(x+2)(x-3)=x-l,

整理得：X2-2X-5=0,

移項(xiàng)得/-2x=5,

酉己方得x?-2x+l=5+l,即(x-iy=6,

開方得x-l=±&,

解得X]=1+V6,x2=l-V6.

19.(1)見解析

(2)4

【分析】(1)根據(jù)兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等即可證明；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：證明：=￡=第，

DBBE

:.小ABCs小DBE；

(2);△ABCsLDBE,

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

.DE_BE

,?就一茄’

-AC=8,BC=6,BE=3,

?DE_3

??—―，

86

DE=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

3

20.(1)-

*

【分析】本題考查簡(jiǎn)單概率的計(jì)算，樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

(1)根據(jù)總的有4條路線，小明家選不到/路線的情況有三種可能，利用概率公式計(jì)算即

可；

(2)畫樹狀圖，共有16種等可能性結(jié)果，其中兩家選取同一條路線的可能結(jié)果有4種，再

由概率公式求解即可.

3

【詳解】(1)解：根據(jù)題意：小明家選不到4路線的概率是

4

(2)解：畫樹狀圖如下：

小米

小kABIDABCI)ABCl)ABCD

共有16種等可能性結(jié)果，其中小明家和小米家恰好選擇同一條路線的可能結(jié)果有4種，

41

???小明家和小米家恰好選擇同一條路線的概率為/=：.

164

21.見解析

【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得==再根據(jù)等邊對(duì)等角即

可得出結(jié)論.

【詳解】證明：?.?N/CB=/AD8=90。，E是4B的中點(diǎn)，

.t.CE=—AB,DE=—AB,

22

NDCE=ZCDE.

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握這個(gè)性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

22.(1)20%；(2)2019年利潤(rùn)超過5億元

【分析】(1)設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意得3(l+x>=4.32,解方程即可；

(2)根據(jù)該企業(yè)從2016年到2018年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率來解答.

【詳解】解：(1)設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,

則3(1+X)2=4.32,

X]=0.2,x2=—2.2（舍）

答：2016年到2018年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率為20%；

(2)如果2019年仍保持相同的年平均增長(zhǎng)率，那么2019年該企業(yè)年利潤(rùn)為：

4.32x(l+0.2)=5.184>5

??.2019年利潤(rùn)超過5億元.

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意尋找相等關(guān)系列方程是關(guān)鍵，難度不

大.

23.36m

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)8作BE，/。于點(diǎn)￡,

RF

過點(diǎn)B作8凡LCA于點(diǎn)/，由斜坡的坡度i=l:2.4得到下的比值，設(shè)BE=5xm,貝|

AE

AE=12xm,求出BE、/￡的長(zhǎng)，設(shè)5F=OE=.vm,得到CF,CD的長(zhǎng)，由C尸+。尸=。。

列方程求出y的值，即可得到答案.

【詳解】解:如圖所示,過點(diǎn)3作BEJ_AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFLCD于點(diǎn)F,則四邊形BEDF

是矩形，

DF=BE,BF=DE,

斜坡48的坡度i=1:2.4；

BEI_5

AB-24-12）

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

設(shè)BE=5xm,貝|JAE=12xm,

在Rt/XABE中,由勾股定理得AB=^BE2+AE2=13Mm）,

vAB=52m,

13x=52,

解得％=4m,

BE=5x=20m,AE=12x=48m,

^BF=DE=ymf

.-.AD=AE+DE=（48+y）m,

在Rt^CBb中，ZCBF=53°,

4

CF=BFtan53°r—ym,

3

在中，ZCAD=31°,

3

CD=ADtan31°?—（48+j^）m,

?：CF+DF=CD,

解得。=12m,

??.Cr)=-(48+j)=36m,

???建筑物CD的高度約為36m.

2

24.(1)-10x+3x+l=0；(2)-g,互為倒數(shù)，證明見解析；(3)x5=0,%6=2022.

【分析】(1)根據(jù)“友好方程”的定義寫出對(duì)應(yīng)的友好方程即可；

(2)因式分解法求出每個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，原方程與“友好方程”的根得出規(guī)律，再用求

根公式去驗(yàn)證即可；

(3)先根據(jù)“友好方程”的根的特點(diǎn)得出-CN+6X+2021=0,即cx2-fe-2021=0的兩根為X3E,

無4=2020,將待求方程變形為(x-1)2一b(x-1)-2021=0,把x-1看做整體即可求解.

【詳解】解：(1)一元二次方程/+3x-10=0的“友好方程”為：-10F+3x+l=0,

故答案為：-10x2+3x+l=0；

(2)-10x*+3x+l=0,

(5x+l)(-2x+1)=0,

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

解得，毛=5，工4=一不，

根據(jù)以上結(jié)論，猜想QN+6X+C=O的兩根打、刈與其“友好方程"cN+bx+a=O的兩根打、打之

間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù)，

證明如下：

2b+h24aC

???一元二次方程ax+bx+c=O的兩根為々=~^~-,x2=』一五一4吟,

2a2a

“友好方程”cx2+6x+a=0的兩根為X3=一'+"j"二b7b2-4ac.

2c2c

-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4acb1-(b2-4ac)4ac,

再?/=--------------------------=-------------=---=1，

2a2c4ac4ac

-b-yjb1-4ac-b+yjb2-4acb1-(b1-4ac)4ac1

=

XQ'X->----------------------------------------=-------------------=------=]，

2a2c4ac4ac

即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數(shù)；

故答案為：-g,互為倒數(shù)；

2

(3)「方程202lx+Z>x-c=0的兩根是X]=-l,x2=，

???該方程的"友好方程”?cN+bx+2021=0,即c/-&v-2021=0的兩根為町=-1，^=2021,

則。(x-1)2-bx+b=2021,即。(x-1)2/(x-1)-2021=0中x-l=-l或x-1=2021,

???該方程的解為有=。，不=2022.

利用(2)中的結(jié)論，寫出關(guān)于％的方程(x-1)2瓜+6=2021的兩根為％5=0，幣=2022,

故答案為工5=0，x6=2022.

【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求根公式的運(yùn)用，掌握并靈

活運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵.

25.(1)見解析；(2)DEIA'C,DE=；AC,理由見解析；(3)不改變，理由見解析

【分析】(1)利用三角形中位線定理得出DE〃/2,DE=^AB,結(jié)合=可得

DE.AC,然后利用平行線的性質(zhì)可證DE1AC；

(2)延長(zhǎng)CW交/C于連接FM,AD,先證明點(diǎn)。在NC上,再證明^AFM^^A'FM

得出4修=4河，證明ACMZ'是等腰直角三角形，得出M4'=C4',設(shè)設(shè)4C=a,則

AF=AB=a,FC=FC=6a，進(jìn)而求出CW=(2-A/^)。，CD=a,得出D是CM

的中點(diǎn)，然后利用(1)的結(jié)論即可得證；

(3)分旋轉(zhuǎn)角小于45。，旋轉(zhuǎn)角等于45。，旋轉(zhuǎn)角大于45。討論即可

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】(1)解：E分別是BC,NC的中點(diǎn),

：.DE//AB,DE=-AB,

2

■,■AB=AC,DE=-AB

2

.-.DE=-AC,

2

???DE//AB,

ZDEC=N4,

又乙4=90°,

NDEC=90°,

.-.DEJ.AC,

.-.DE1AC,DE=-AC-

2

(2)解：DE1A'C,DE=；A'C

理由如下：

延長(zhǎng)CW交NC于M,連接尸M,AD,

■.-A,。分別是8尸，8C'中點(diǎn)，

AD//FC,AD=-FC,

2

ZBAD=ZBFC,

?:AB=AC,ZA=90°,

NABC=N4CB=45°,

"AABC沿著直線AC翻折得到AAFC,

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

ZAFC=/ABC=45°,

^AFC繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到^A'FC,

ZA'