甘肅省隴南市禮縣2024-2025學(xué)年高二第一次階段性檢測(cè) 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024—2025第一次階段性檢測(cè)

局一數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答

案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=±—,則以=()

1+i11

A.V3B.V5C.3D.5

2.已知空間向量"=0T2),5=(1,-2,1),則向量》在向量口上的投影向量是。

(5瓜-5765付

J6—3J

B.（11）

值二1

c.16，6句

1r八兀、(兀-2a1=

sintz=-0,-cos--

3.已知3,I2人則＜2'（）

4^/21

A,bB.一§

74A/2

C.9D,9

cos"A=—亞eesin（26—P]=

4,已知I4)10,I2j，則I3J（）

4+363+46

A.10B.10

4-3-46

C.10D.10

5.已知平面上三個(gè)單位向量d3c滿足'人則a，c=（）

]_V|i昱

A.2B,2C.4D.4

6.已知橢圓C：土+J=1（加＞0）的離心率為無(wú)，則加=（）

m42

A.2V2B.2近或&C.8或2D.8

7.閱讀材料：數(shù)軸上，方程"x+'=°（'"°）可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系

中，方程，x+8y+c=°（削8不同時(shí)為°）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直

角坐標(biāo)系°一引？中，方程”x+為+Cz+°=°（4哈C不同時(shí)為?？梢员硎咀鴺?biāo)空間

內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)°'z。）一個(gè)法向量為〃=（d九,）平面a方程可表示為

a（x-Xo）+b（y-%）+c（z-2。）=0,閱讀上面材料,解決下面問(wèn)題：已知平面a的方程

為x—y+z+l=O,直線是兩平面x—V+2=0與2x—z+l=0的交線，則直線與平面

a所成角的正弦值為O

V10V2V7V7

A.35B,3c.15D.5

8.已知過(guò)點(diǎn)'（I」）的直線/與x軸正半軸交于點(diǎn)/,與y軸正半軸交于點(diǎn)8,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則3L的最小值為（）

A.12B.8C.6D.4

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得

0分.

9,若圓x2+y2_2x_6y+”0（aeR）上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線

3x+4y+5=°的距離為2,則實(shí)數(shù)?？赡転椋ǎ?/p>

A.5B.6C.7D.8

,十皿/'(x)=cosxs(x^=Isinxl/3、*、4T收.口

10.已知函數(shù)JI',sv711,下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)加（x）=/（x）.g（x）在匕T上單調(diào)遞減

B,函數(shù)“（x）="x>g（x）的最小正周期為2兀

C,函數(shù)?=/（x）+g（x）的值域?yàn)椴芬?/p>

_兀

D,函數(shù)"（x）=/（x）+g（x）的一條對(duì)稱軸為“一^

11.在邊長(zhǎng)為2的正方體4BCD-中，■為3c邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）

VTo

A.AM與D'B'所成角的余弦值為石

B.過(guò)A,M,D'三點(diǎn)的正方體ABCD一A'B'C'D'的截面面積為3

C.當(dāng)P在線段4C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，戶3[+戶時(shí)的最小值為3

D.若。為正方體表面3CC右，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,E分別為NC的三等分點(diǎn)，則

\QE\+\QF\的最小值為26

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線過(guò)點(diǎn)N（4,a）,8（a—1,3）兩點(diǎn)，直線4過(guò)點(diǎn)（）,（a2）兩點(diǎn)，若

4，‘2,則Q=

已知在正四棱臺(tái)中，48=（0,4,0）,C5]=（3,-1,1）,

13.

A[D[=（一2,°，°）,則異面直線DB1與4R所成角的余弦值為

一小7a-b-da-b

Q十/?=--z------aQb二一丁

14.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量。-和人A，定義：?HI+B?I?,H，若平面

向量之,，滿足W>W〉°,且z十3和。。書(shū)都在集合

中，則

cos{a,b)=

aab=

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

15.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，

圖1圖2

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性，小于或

等于的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為"（°）；

誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（°）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.

（1）當(dāng)漏診率夕⑹=65%時(shí)，求臨界值和誤診率［⑹；

（2）已知一次調(diào)查抽取的未患病者樣本容量為100,且該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)檢查完全符合上面頻

率分布直方圖（圖2）,臨界值。=99,從樣本中該醫(yī)學(xué)指標(biāo)在［95，1°5］上的未患病者中隨

機(jī)抽取2人，則2人中恰有一人為被誤診者的概率是多少？

16.在△N3C中，內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊分別為訪b,c,已知

（cos/—2cosC）Z?=（2c-a）cosB.

/八4sinC,,/士

(1)求-----的值；

sinA

(2)若cos5=工，b=2,求△Z8C的面積.

4

17.如圖，已知斜三棱柱/8C—中,

jrO7T

NBAC=—ZBAA=-nZCAA=-…，C,一°nr

2,13,X3,N8=NC=1,"4=2,點(diǎn)。是8c與

的交點(diǎn).

（1）用向量刀，AC,'4表示向量/0；

（2）求異面直線/。與2C所成的角的余弦值；

（3）判定平面N2C與平面片8℃的位置關(guān)系.

18.設(shè)/是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素a,b,ceN,使得

a-b=b-c,則稱/為，，等差集,，.

（1）若集合"={1'3,5,9},BjA,且8是，，等差集，，，用列舉法表示所有滿足條件的

B；

（2）若集合私療T}是“等差集”,求加的值;

(3)已知正整數(shù)〃23,證明：卜,工戶，…戶!■不是“等差集’,.

29.對(duì)于一組向量“”生，/，…?！?〃eN*且〃N3),令S”=%+&+。31■%,如果

存在金(制€{1,2,3「一,〃}),使得,加閆S.一%,［那么稱明,是該向量組的，，“向量，，.

(1)設(shè)""=(x+〃'〃)(〃cN),若%是向量組4,%,%的，田向量，，，求實(shí)數(shù)x的取

值范圍;

mt.mt）

ancos—,sin—HGN*——

（2）若,向量組四,%"n是否存在“〃向

量”？若存在求出所有的向量”，若不存在說(shuō)明理由;

(3)已知的,出，生均是向量組％,出，的的，，，向量，，，其中

“2=,02|2

,求證:同:同+同可以寫(xiě)成一個(gè)關(guān)于e*的二次多項(xiàng)式與一個(gè)關(guān)于

er的二次多項(xiàng)式的乘積.

l.B

(3+i)(l-i)3—3i+i—i2

3+i，.|z|=^22+(-l)2=V5.故選B.

T+T0+00-0=2

2.C

因?yàn)镴IT)，b=(l,-2,l\

則萬(wàn)石=lxl+(-l)x(-2)+2xl=5

同=Jl+1+4=

b'a乂5_5__(555

故向量B在向量I上的投影向量是同同“{6~63

故選：C.

3.A

.1.72-1

sin。二一，sina+cosa=l

因?yàn)?

又因?yàn)?/p>

272

COS6T=Jl-sin2a=

所以~1~

cosf兀--2(zl=sin2a=2sinacosa=2x-x辿=迪

所以2339

故選：A.

4.A

71It4

sin2^=sin2+---=-cos2^+―=l-2cos20+—

則42445

cos29=cos2]。+；71=sin20+—7t=2sin0+—Icosl0+—兀3

24445

sinf2^-—兀=—sin2^-^-cos2^4+3百

所以32210

故選：A.

5.C

己2=4(3+Bj=1

由題意知平面上三個(gè)單位向量第九°c=2(a+b

滿足則

_2_[[2_-a-b=~-

即4。+Set,b+4Z?=8+8。?/?=!_,則8

a-c=2a-(a+b}=2a2+2a-b=2-2x~=-

V7

故84,

故選:C

6.C

22

Xvg

橢圓C：—+1=1（加＞0）的離心率為；-,

m

,yjm—AV2、」4一加V2、

可得/=一=:-或=一丁，解得帆=8或相=2.故選C.

4m222

7.B

根據(jù)材料可知，由平面。的方程為x—V+z+l=°,得勺=&一14）為平面。的法向量,

同理可知，〃2=0，—L°)與〃3=(2,0,-1)分別為平面x—>+2=°與2x—z+l=0的法

向量.

—?

n2-a=0=0

——?<

設(shè)直線的方向向量則l〃3也=0,即[2x-z=0,取工=1,貝

\ny-a\|1—1+2|y/2

sing=--

Jl+l+lxJl+1+4—3

設(shè)直線與平面。所成角為°,則々,同

故選：B.

8.B

由題意知直線的斜率存在.設(shè)直線的斜率為“（左＜°）,

的v_i-Hx-n41—10），8（0,1-左）

直線的方程為丁―l—1）,則k,

121

99222

\O^+\OB[=（1）+（1-^）=1__+-+\-2k+k

所以kkk一

=2+（一"―2左）+，+左2.2+2^（一■|）（—21）+2小，義）2=8

--=-2k,—=k2

當(dāng)且僅當(dāng)k下,即左=—1時(shí)，取等號(hào).

所以「的最小值為8.

故選：B.

9.BCD

圓/+,2_2x_6y+Q=0（QwR）即圜—+（y-3）2=lQ-a（aeR）

需滿足。＜1°,則圓心為O'”,半徑為a0-。

^_|3+12+5|_4

圓心0,3）到直線3》+4了+5=。的距離為5,

要使圓“+戶2%-6y+。=0（。eR）上至多存在一點(diǎn),使得該點(diǎn)到直線

3x+4y+5=0的距離為2,

需滿足4一二1°-422,解得64a＜10,結(jié)合選項(xiàng)可知6,7,8符合題意,

故選：BCD

10.BC

XGvm（x）=sinXcosX=—sin2x

A選項(xiàng)，當(dāng)＜2J時(shí)，g⑺-smx,2

此時(shí)2xe（匹2冗），而”sinx在（兀,2兀）上不單調(diào)，故人錯(cuò)誤;

函數(shù)也%+2兀）=cos（x+2兀）?卜in（X+2兀）=cosx|sinx|=m（x）

B選項(xiàng),

sinxcosx,2hi<x<2E+兀

m（x）

一sinxcosx,2kn+兀<x<2kn+2兀

而

gsin2x,2kn<x<2hi+兀,左￡Z

-；sin2x,2E+兀<x<2E+2匹keZ

所以加（x）的最小正周期為2兀，故B正確;

兀7C5兀

「c7,1/7ryXXH—G2ATI+—,2kjlT-------（左￡Z）

C選項(xiàng)，當(dāng)X」2E,2E+攻上eZ）時(shí)，4L44」'）

n（x）=cosx+sin%=

所以

71f,,57cC79兀-X

當(dāng)xw（2E+兀,2E+27i）/eZ）時(shí)》+片［2阮+彳,2加+彳心eZ）

cosx+—ef鳥(niǎo)

I4

綜上，函數(shù)〃⑺=/（x）+g（x）的值域?yàn)椋跿W2」，故c正確;

1（兀3兀、71

-X一一十—二一

D選項(xiàng)，因?yàn)?I44）4

（3兀、3兀.3兀

n\—=cos---1-sin—

I4J44，所以XI不是〃G）的一條對(duì)稱軸.

故選：BC

11.AC

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，A'D',A'B',所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

則/(0,0,2),71/(1,2,2),0(2,0,0),E(0,2,0),0(2,2,0),

.?.而=(1,2,0),W=(-2,2,0),

_VTo

cos（而，近）~AM-JyB'

|3w|-|W|10

...與DB所成角的余弦值為不相，故A正確；

取CC的中點(diǎn)N,連接跖V,D'N,AD',

則MN//BCAD',

故梯形跖VE＞2為過(guò)點(diǎn)/,M,。'的該正方體的截面,

;MN=6,AD'=2V2,AM=D'N=75,

3A/2

梯形HAZXN的高為~T

]3J29

梯形HTVON的面積為,義6匯+2&＞；—=^,故B錯(cuò)誤；

由對(duì)稱性可知，歸3[=|aD[,ik\PB'\+\PM\=\PD'\+\PM\,

又由于4,B,C,。，四點(diǎn)共面，故|尸6[+戶陷=|丑0[+|尸加閆。叫=3,當(dāng)P為

HC與￡＞寸的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，

設(shè)點(diǎn)廠關(guān)于平面3。。夕’的對(duì)稱點(diǎn)為產(chǎn)'，連接￡尸'，當(dāng)E產(chǎn)'與平面3CC上，的交點(diǎn)為

。時(shí)，

\QE\+\QF\=\QE\+\QF'\最小,

過(guò)點(diǎn)E作4D'的平行線，過(guò)點(diǎn)尸作45的平行線，兩者交于點(diǎn)G,此時(shí)

EG=-AD'=^^,

33

GF=2,EF'=<口27一2?+2?=2=JT—1,故D錯(cuò)誤.故選AC.

12.0或5

二4

<

當(dāng)直線斜率不存在，直線,2斜率為0時(shí)，滿足/,幻此時(shí)13=0-2,解得a=5；

Q—3*（Q-2）-3

=-1

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，因?yàn)?,,2,所以4—（?！?）（—1）—2

,解得°=0；

綜上，a=0或0=5.

故答案為：0或5

2則

13.19

DBX=DC+CB[=AB+CBX=(0,4,0)+(3,-l,l)=(3,3,1)

DBiAQi-2x3+0x3+0xl2M

cosDB1,AR=

j32+32+12.j32+02+()219

所以畫(huà)皿

2回

所以異面直線0片與4A所成角的余弦值為19

25

故答案為：19

1逑V3

14.①.“#0.25②.8或3

設(shè)￡與③的夾角為°,

____1-1〃eZ,0<〃V

因?yàn)閍十〃和都在集合14J中，所以其取值可能為1424

因?yàn)閱?wèn)>W>°,則@+用>2琲

^cose

a-b

q十B=<

2琲I

可得

cose<i-r1--1

。十b<—〃十6=—

因?yàn)閏osSWl,即22,可得2,所以4.

一…7COS0cos。1

a十b<------------>—cosO>-

又因?yàn)?即24,解得2

口〉|對(duì)＞0

因?yàn)镮III

^cose

一…7Q，bcose

ciQb——7T—>COS0>—

廟=2ZoH

可得T,即4或1,

—>—>—>—>

a-ba*b3

一一1一一32|2

—>—?4

a十b=—aQb=—a+㈤&4

當(dāng)4且4時(shí),即且

|一|2

——>

Ta-b372

cos(a,b)=4

TT32—>二即所以|2

a-b=—b,a~8~

可得4AM砰I

—>—>—>—>

a-ba-b

1

一一12—>2

。十b=-一7a+歷4

當(dāng)4且aG)b=l時(shí)，即且

|2

—>—>b

cos(a,b)=a-b

a-bbfa\-\b\

可得所以

cosQ*迪旦

綜上所述：'/8或3.

j_3V2V3

故答案：4.8或3.

15.(1)依題可知，圖1第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得37.5,

^(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%

(2)由題可知，100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在［95105］中的有

100x(0.010+0.002)x5=6人

其中被誤診者有l(wèi)0°x(100-99)x0.01+100x5x0.002=2人，

記隨機(jī)抽取的2人恰有一人為被誤診者為事件分別用a,b,c,d,E,尸表示這6人,

E,尸代表被誤診的2人，

樣本天間。={ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF)

事件A={aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF、故“(?！?〃(/)=8

7n(A\8o

尸(4)=_^=_

〃(Q)15,故2人中恰有一人為被誤診者的概率是15.

16.(1)由正弦定理得(cosZ-2cosC)siaS=(2sinC—siiL4)cos5,

所以cos/sinS—2coscsinS=2sinCcos^—sin^4cos5,

所以cos/sinS+sirL4cos6=2cosCsiiiS+2sinCcos5,

化簡(jiǎn)得sin(/+B)=2sin(5+C),

又/+笈+C=7i,所以sinC=2siik4，因此—=2.

siib4

(2)由二￡=2,得c=2a,由余弦定理6?=/+。2—2accos5及COS5=L,

siib44

又6=2,得4=a?+4/—4/x—,解得Q=I,從而c=2.

4

又因?yàn)镃OS5=L,且0V6VTI,所以sin8=.

44

L辿Jlx2x叵=姮

因止匕S^ABC

2244

R080=!

17.(1)由題意可知:點(diǎn)。是巧［的中點(diǎn)，則2

AO=AB+BO=AB+-^C+B^yAB+-(AC-AB+A^^

所以22

(2)設(shè)4B=&,AC—b,AAX=c

一一一一1一一

則同叩印=2,5-Z7=0,6-c=lx2x—=l,5-c=lx2x-1

|222

A0\=—(a+b+c=1^+P+C+25^+26-C+25-C)

2

i7

=-(1+1+4+0+2-2)=|

所以?12

一一~AO-Jc=-（a+b+cXb-a}=\

又因?yàn)锽C="萬(wàn)，所以2,人），\B產(chǎn)C\1-J22.

所以C°"I~TA"RAORBC=M5

A/3

所以異面直線N0與5c所成的角的余弦值為3.

（3）取3C的中點(diǎn)E,連接幺￡,

因?yàn)?8=NC,￡為BC的中點(diǎn)，則/EL5C.

次?麗=工優(yōu)+3）己=」6?己+3?己）=0Ar,JJJJ

又?2<,2<）,即網(wǎng).

且8C,88]u平面8/CG,所以幺￡平面gBCG.

因?yàn)閆Eu平面48C,所以平面4BCL平面B/CG.

18.（1）因?yàn)榧稀?{135,9},BjA,存在3個(gè)不同的元素0,b,ceB,使得

a-b=b-c,

貝盧={135,9}或5={1,3,5}或5={1,5,9}

⑵因?yàn)榧?={1'"'=-1}是“等差集”，

所以2=刃+加2_］或2加=1+加2_］或2+〃？=2（〃？.1）

-1±V131±733

m=--------m=-------

計(jì)算可得2或掰=0或加=2或4,

又因?yàn)樾拚麛?shù),所以加=2.

(3)假設(shè)…是“等差集”，

則存在見(jiàn)〃應(yīng)e｛1,2,3,｝，加<“<q,2x"=￡"+x”成立，

化簡(jiǎn)可得2=/一"+#",一一"〉0

因?yàn)閤eN*,q_〃21,所以2>丫右"2x21,

所以X=1與*，X、X、…，X”｝集合的互異性矛盾，

所以*'*'/'…'X"｝不是“等差集”.

19.(1)由題意可得：同鄧3一%|=,1+%],

因?yàn)?=(x+〃,〃)則q+4=(x+1,x)+(%+2,2)=(2x+3,3)%=(x+3,3)

則同23+寸，即(x+3y+942x+3)2+9,

整理得x(3x+6)〈0,解得-2WxW0,

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為卜2,01.

(2)存在，理由如下：

假