2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)1．（23-24高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)集合A=a+4,a,a2?2a，若3∈A，則2．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）已知集合A=x∣ax?1a?x>0，且3∈A,4?A，則實數(shù)a的取值范圍是3．（24-25高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）設(shè)集合A=1,t,t2?4t+5，若2∈A，則實數(shù)t的值為4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合A=2,3,a2?3a,a+2a+7，B={|a?2|,3}，已知4∈A且4?B題型2題型2根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)5．（24-25高一上·上?！て谥校┤艏螦=xx2?4=0，B=xax?1=0，且B?A，則實數(shù)6．（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)集合P=x?2<x<3，Q=x3a<x≤a+1，若Q≠?且Q?P，則a的取值范圍7．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合A=xx≥1或x<?1，B=x2a<x≤a+1，若B?A，則8．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知集合A={x∣?3≤x≤4},B={x∣2m?1<x<m+1}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是.題型3題型3交、并、補集的混合運算及其含參問題9．（23-24高一上·西藏林芝·期中）已知全集U＝R，集合A＝x|?2<x<2，B＝x|?3<x≤3.則(10．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知集合A=x|8<x<10，設(shè)集合U=x|0<x<9，B=x|a<x<2a?1，若?UB∩A=x|8<x<911．（23-24高一上·湖北·期中）已知全集U=1,2,3,4,5,6，?UA∩B=2,4，A∩B=1，?12．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知全集U=x∈Z?5<x≤4,A?U,B?U，且?UA∩B={?2,3}，?UB題型4題型4集合的新定義問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示13．（23-24高一上·北京延慶·階段練習(xí)）定義集合A，B的一種運算“*”，A?B=pp=xy,x∈A,y∈B，若A=1,2,3，B=1,2，則集合A?B的所有元素的和14．（23-24高一上·上海浦東新·期中）設(shè)P為非空實數(shù)集滿足：對任意給定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x?y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集.①集合P={?2,?1,0,1,2}為幸運集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}為幸運集；③若集合P1、P2為幸運集，則P1∪P其中正確結(jié)論的序號是.15．（23-24高一上·上海楊浦·期中）若集合U=1,2,3,4,5的兩個非空子集A，B滿足A∩B=?，則稱A,B為集合U的一組“互斥子集”，A,B與B,A視為同一組互斥子集，則U共有互斥子集16．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知有限集A=a1,a2,...an①集合?1?3②若a1、a2是兩個不同的正數(shù)，且③二元“完美集”有無窮多個；④若ai為正整數(shù)，則“完美集”A有且只有一個，且n=3其中正確的結(jié)論是.（填上你認為正確的所有結(jié)論的序號）題型5題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)

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平面向量線性運算的坐標表示17．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知“x<m”是“?1<x<1”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為．18．（23-24高一上·天津紅橋·期中）已知p:1≤x<4,q:x<a，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是.19．（23-24高一上·海南海口·階段練習(xí)）若“|x|>2”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為．20．（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知集合A=xx2?4=0，B=xax?2=0，若x∈A是x∈B題型6題型6全稱量詞與存在量詞中的含參問題

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平面向量線性運算的坐標表示21．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知命題p:“?x∈x|?3≤x≤2，都有x∈x|a?4≤x≤a+5”，且?p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是22．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若命題“?x∈R，a2?1x2+a?1x?1≥023．（23-24高一上·重慶合川·階段練習(xí)）已知命題p:m∈R且m+1≤0，命題q:?x∈R,x2+mx+1≠0恒成立，若p與q不同時為真命題，則24．（24-25高一上·山西·階段練習(xí)）已知命題p:?m∈{m∣?1≤m≤1}，a2?5a+3<m+2，若p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是題型7題型7利用作差法、作商法比較大小

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平面向量線性運算的坐標表示25．（23-24高一下·青海玉樹·期末）已知a>b>0，則a?b26．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，則M與N的大小關(guān)系為．27．（23-24高二上·江西九江·階段練習(xí)）若0<x<1，則x、1x、x、x2中最小的是28．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)）P=a2+a+1,Q=1a2?a+1題型8題型8利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

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平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高三上·湖北武漢·期中）若實數(shù)a，b滿足?1<a+b<3，2<a?b<4，則3a+b的取值范圍為．30．（24-25高一上·四川成都·期中）已知實數(shù)x，y滿足關(guān)系：?1<x+y<4，2<x?y<3.則3x+2y的取值范圍是.31．（23-24高二下·山東青島·期中）已知4<a<6,3<b<4，則a+bb的取值范圍是32．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足y=15x?35，且?2≤x≤3，則y?3題型9題型9利用基本不等式求最值

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平面向量線性運算的坐標表示33．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則a+6b+3ab最小值為34．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足?1<a<1<b，且a+b=2，則1a+1+3ab?1的最小值為35．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)b,c滿足b+c=6，且a>?1，則ac2+2abc36．（23-24高一上·重慶永川·期末）已知a>12，b>1且2ab?2a?b=1，則12a?1+2題型10題型10基本不等式的恒成立、有解問題

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平面向量線性運算的坐標表示37．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）若?x>a，關(guān)于x的不等式2x+2x?a≥5恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是38．（23-24高一上·云南昆明·期中）兩個正實數(shù)x,y滿足2x+y=1，若不等式1x+2y≥a239．（23-24高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy，且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2+3m有解，則實數(shù)40．（23-24高一上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知x>0，y>0，且2y+x=xy，若x+2y≥m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為題型11題型11由一元二次不等式的解確定參數(shù)

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平面向量線性運算的坐標表示41．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+a<0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為42．（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集為?13,2，那么關(guān)于x的不等式43．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式x2?1+2ax+2a<0的解集中恰有2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是44．（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）若a>1，且不等式x?ax?4a<0的解集中有且僅有一個整數(shù)，則a的取值范圍是題型12題型12一元二次不等式恒成立問題

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平面向量線性運算的坐標表示45．（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）若不等式2kx2+2kx?3<0對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)k的取值范圍是46．（24-25高一上·四川達州·階段練習(xí)）若不等式ax2+3a?1x+a≥0對任意的x>0恒成立，則實數(shù)a47．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x2?a+4x+2a+5≥0在?∞,2上恒成立，則48．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）若對任意實數(shù)x，總存在y∈32,3，使得不等式x2+xy+y2題型13題型13一元二次不等式有解問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示49．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x2?a+2x+a+5≤0在x∈1,4上有解，則實數(shù)a50．（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知當x<0時，關(guān)于x的不等式x2+x?a<2有解，則實數(shù)a的取值范圍是51．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）若存在x∈1,3，使不等式x2?2ax+a+2≤0成立，則a的取值范圍為52．（23-24高一上·山東煙臺·期中）已知命題?x∈(0,+∞)，λx2?λx+2<0為真命題，則實數(shù)λ題型14題型14函數(shù)的定義域、值域問題53．（23-24高一上·江西贛州·階段練習(xí)）若函數(shù)fx的定義域是2,5，則函數(shù)y=f2x?3x254．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域為1,3，則函數(shù)gx=fx?155．（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)y=x+1x2?2x+2的值域為56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)y=2x?3?a?4x的值域為?∞,72，則實數(shù)a題型15題型15函數(shù)的單調(diào)性問題57．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)fx=ax?1x?a在2,+∞上單調(diào)遞減，則實數(shù)a58．（24-25高一上·天津·期中）函數(shù)fx=?x259．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)對于任意的x1,x2∈0,+∞x160．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知f(x)的定義域為R，對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2都有fx題型16題型16利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式61．（24-25高一上·陜西西安·期中）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f2=4，對任意的x1，x2∈0,+∞，且x62．（23-24高一上·江蘇常州·期中）若函數(shù)fx滿足?x∈R，fx+1=f1?x，且?x1，x2∈1,+∞63．（24-25高一上·廣東汕頭·期中）設(shè)fx是定義在?∞,0∪0,+∞上的奇函數(shù)，對任意的x1,x2∈0,+∞64．（23-24高一上·廣西河池·期末）已知fx是定義在?3,3上的增函數(shù)，且fx的圖象關(guān)于點0,1對稱，則關(guān)于x的不等式f2x+3x>5?fx?3題型17題型17函數(shù)的奇偶性問題65．（24-25高一上·山東德州·期中）已知y=fx是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，fx=2x3+x266．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)fx,gx都是定義在R上的函數(shù)，fx?1+2是奇函數(shù)，gx?2是偶函數(shù)，且f67．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)f(x)=ax2+|x+a+1|為偶函數(shù)，則不等式f(x)>0的解集為68．（24-25高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)fx，滿足fx?4=?fx且在區(qū)間[0,2)上是增函數(shù)，則f?25題型18題型18抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合69．（23-24高二下·河北衡水·期末）已知函數(shù)fx的定義域為R，對任意實數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當x>0時，f(x)>1，且f(2)=5，則關(guān)于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為70．（24-25高三上·貴州黔東南·開學(xué)考試）對于任意的x,y∈R，函數(shù)fx滿足fx+y+fx?y=2fxfy，函數(shù)gx滿足gx+y71．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx對任意x,y∈R均有：fx+y+fx?y=2fxfy且fx不恒為零.則下列結(jié)論正確的是.①f0=0；②f0=1；③f72．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）定義在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對任意x,y∈?1,1都有f(x)+f(y)=fx+y1+xy，且當x∈0,1時，f①fx②對定義域內(nèi)任意x1≠x③對?x1,④i=1n題型19題型19函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用73．（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)f(x)=|x|①f(x)的定義域是(?∞②f(x)是偶函數(shù)；③f(x)在區(qū)間(0,+∞④f(x)的圖象與g(x)=1其中正確的結(jié)論有.74．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）已知定義在?∞,0∪0,+∞上的奇函數(shù)fx滿足f3x=3fx，且f1=3．若?x175．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+1+ax?2①Ma②Ma③fx在?④a只有唯一值使得y=fx的圖象有一條垂直于x其中所有正確結(jié)論的是．76．（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)f(x)=x①f(x)的值域是(?1,1)；②?x1,x2③任意x1,x2∈(0,+④規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f其中，所有正確結(jié)論的序號是．題型20題型20函數(shù)的新定義問題77．（23-24高一上·吉林長春·期末）若定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)fx同時滿足；①fx為奇函數(shù)；②對任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x78．（24-25高一上·廣東廣州·期中）定義：min{a,b}=a,a<b,b,a≥b.，已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=minx2t2?x279．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，黎曼函數(shù)定義在[0,1]上，其定義為：Rx若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)+f(2?x)=0，當x∈[0,1]時，f(x)=R(x)，則f10.80．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若函數(shù)y=Tx對定義域內(nèi)的每一個值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使Tx1Tx2=1成立，則稱該函數(shù)為“YL函數(shù)”.已知函數(shù)?x=x?a2a≤4在定義43題型21題型21冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)81．（23-24高一上·天津·期中）若冪函數(shù)y=xm2?2m?3(m∈N?)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+∞82．（23-24高一上·山東濟寧·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx的圖象過點?2,16，則fx+1≤f3x?1的解集為83．（23-24高一上·重慶永川·期中）已知冪函數(shù)fx=m2+3m?9xm?1在0,+∞上是減函數(shù)，m∈R.若84．（23-24高一上·山東臨沂·期中）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點2,8，且滿足fmx2+8f4?3x≥0題型22題型22函數(shù)模型的綜合應(yīng)用85．（2024·重慶·模擬預(yù)測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量y（單位：mg）與時間x（單位：h）的關(guān)系是：當0<x<113時，y=?27011x2+108086．（23-24高二下·北京東城·期末）已知甲、乙兩地相距150km，某人開汽車以60km/h的速度從甲地到達乙地，在乙地停留一小時后再以50km/h的速度返回甲地，把汽車距甲地的距離s表示為時間t的函數(shù)，則此函數(shù)的表達式為87．（2024高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：N?=m3?+40≤?≤10．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設(shè)F?為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，那么使F?88．（2024高一·全國·專題練習(xí)）邊際函數(shù)是經(jīng)濟學(xué)中一個基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)fx的邊際函數(shù)Mfx定義為Mfx=fx+1?fx．某公司每月最多生產(chǎn)75臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺x∈N?的收入函數(shù)R①Px取得最大值時每月產(chǎn)量為63②邊際利潤函數(shù)的表達式為MP③利潤函數(shù)Px與邊際利潤函數(shù)MP④邊際利潤函數(shù)MPx2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題十五大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1指數(shù)式的給條件求值問題1．（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：164（2）已知x+x?1=4【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)的運算即可求出答案；（2）通過x12+【解答過程】（1）原式=1（2）由x1因為x>0，所以x12+所以x2故x12．（2024高一·全國·專題練習(xí)）化簡并求值．(1)若a=2，b=4，求a+3(2)設(shè)a=20231n【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)的冪的運算可得答案；（2）由a=20231n【解答過程】（1）原式===3當a=2，b=4時，原式=3（2）因為a=20231n所以1+a所以1+a3．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）（1）計算:14（2）若a+a①a②a【解題思路】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系化簡求值即可；（2）①：由a1②：由a12+【解答過程】（1）原式=41（2）①：a12?②：a12+a?4．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）求下列各式的值.(1)若3a=2,3(2)已知3a2+b=1，求(3)若a=2?1(4)若a=2.5,b=20，求【解題思路】（1）將32a?b可化成3a2（2）原式9a?3b3（3）將a?12?bab2（4）化簡后可得原式=ba2【解答過程】（1）利用指數(shù)運算法則可知32a?b將3a=2,3（2）易知9a?3所以9a（3）化簡得a?將a=2?1（4）易知a12又a=2.5,b=20，所以題型2題型2指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用5．（24-25高一上·天津·期中）已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖像經(jīng)過點(1)求函數(shù)y=a(2)求函數(shù)y=a2x?4ax【解題思路】（1）將點代入指數(shù)函數(shù)f(x)中求出a的值，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得答案；（2）換元法令t=(【解答過程】（1）∵函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)∴a2=19，得a=1∴y=ax2y=(13u=x2?4x+3在區(qū)間(?∞,2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)y=(13)x（2）y=(令t=(13)x，x∈[0則y=t所以y=t2?4t+3故當t=1時，ymin當t=13時，故當x∈[0,1]時，g(x)的值域為[0,166．（24-25高一上·福建福州·期中）已知f(x)=3x+a(1)求a的值；(2)解關(guān)于x的方程2f(x)+2(3)若存在區(qū)間m,n（m<n），使得函數(shù)y=f(x)+t在m,n上的值域為3m,3【解題思路】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a并驗證即可.（2）換元解方程，再解指數(shù)方程即可.（3）探討函數(shù)y=f(x)+t的單調(diào)性，結(jié)合已知構(gòu)造方程，再利用一元二次方程實根分布求出范圍.【解答過程】（1）由f(x)=3x+a3x+1是定義在f(x)=3x?13x所以a=?1.（2）令f(x)+1=λ，則方程2f(x)+2f(x)+1=3化為λ+解得λ=12或λ=2，由（1）知當λ=12時，f(x)=?12，即23當λ=2時，f(x)=1，即23所以原方程的解為x=?1.（3）由（1）知f(x)=3x?13x函數(shù)y=f(x)+t在[m,n]上單調(diào)遞增，依題意，f(m)+t=3mf(n)+t=令3x=u>0，因此3m,3于是Δ=t2所以t的取值范圍是227．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知雙曲函數(shù)f(x)=2x+(1)證明：f(2)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性（不用證明），并解關(guān)于x的不等式g(9(3)若?x≥1，不等式a?g(x)≥f(x)+12成立，求實數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算計算即得.（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式.（3）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，換元并借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可.【解答過程】（1）雙曲函數(shù)f(x)=2x+則f2（2）函數(shù)y=2?x在R上單調(diào)遞減，y=?2?x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，不等式g(9則(3x)2?12?所以原不等式的解集為[1,2].（3）不等式a?g(x)≥f(x)+1當x≥1時，22x?1>0，則依題意，?x≥1，a≥1+2x+222x1+2x+222x則當t=4時，ymin=34，因此1+1t+3t?4所以實數(shù)a的取值范圍是a≥78．（24-25高一上·福建漳州·期中）設(shè)函數(shù)f（x）=ax?2ka?x（a>0(1)求k和a的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性（無需證明），并求關(guān)于m的不等式f(m+1)+f?m2(3)已知函數(shù)g(x)=a2x+【解題思路】（1）利用函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值即可解得k和a的值;（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷f(x)在R上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性以及奇偶性解不等式可得實數(shù)m的取值范圍;（3）利用換元法將函數(shù)整理成二次函數(shù)形式，判斷出其單調(diào)性，再由二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【解答過程】（1）因為f(x)是R上奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，即a?x整理得:(1?2k)ax+所以f(x)=a又f(1)=a?1a=解得a=3或a=?1所以k=1（2）由（1）可知f(x)=3易知指數(shù)函數(shù)y=3x為單調(diào)遞增，函數(shù)利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在R上單調(diào)遞增,又因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(m+1)<?f所以m+1<m2?5解得m<?2或m>3.所以f(x)在R上單調(diào)遞增，m的取值范圍是?（3）g(x)=所以g(x)==令t=3x?3?x，由（2）易知記y=當時t=1,ymin=1；當t=所以g(x)的值域是1,34題型3題型3帶附加條件的指、對數(shù)問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示9．（23-24高一上·上海浦東新·期中）（1）若a+a?1=3（2）已知log32=a，log37=b，試用a，【解題思路】（1）先把已知式子平方得出a2（2）先應(yīng)用換底公式，再結(jié)合對數(shù)運算律即可表示.【解答過程】（1）∵a+a∴a（2）log=log10．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)a>0，b>0，(1)loga(2)loga(3)計算：若xlog23=2【解題思路】（1）直接利用換底公式即可證明結(jié)果；（2）直接利用換底公式即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用換底公式得到x=log【解答過程】（1）因為logaαb（2）因為logaαb=（3）因為xlog23=2故3x+3?x=11．（23-24高一上·浙江金華·期中）化簡或計算下列各式：(1)2(2)已知lg2=a,lg3=b，用a，(3)已知a12+【解題思路】(1)由指數(shù)冪的運算性質(zhì)直接求得答案；(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及換底公式將log3125化為lg(3)先求a+a?1=14，再求a【解答過程】（1）2a（2）log3125又lg2=a,lg3=b（3）a1所以a+aa12?a?a12．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）已知2（1）求a2?b（2）求4a+1【解題思路】（1）由2a=3得，（2）由b=log318【解答過程】解：1由2a=3得，所以a=?log2由b=log318所以4a+1×3題型4題型4對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示13．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=logax+1(1)判斷fx(2)若a>1，判斷fx(3)當fx的定義域為1,a時，fx的值域為1,+∞【解題思路】（1）先判斷函數(shù)奇偶性，接著按奇偶性判定步驟去判斷即可證明；（2）由y=logat為增函數(shù)，t=x+1x?1（3）由題意結(jié)合（2）得fx在1,a上為減函數(shù)，進而得fx>f【解答過程】（1）函數(shù)fx由x+1x?1>0得x<?1或x>1，即fx的定義域為{x∣x<?1因為f?x所以fx（2）fx=logax+1當a>1時，y=logat為增函數(shù)，t=x+1x?1所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知fx在?∞,?1（3）由題意a>1，所以由（2）可知fx在1,a因為當x∈1,a時，fx>f即a2?2a?1=0，解得因為a>1，所以a=1+214．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常數(shù)函數(shù)f(x)=log19(1)求實數(shù)a,b的值；(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)已知g(x)=m?4x?2x+2【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a,b.（2）由（1）求出函數(shù)f(x)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)函數(shù)的定義判斷推理即可.（3）根據(jù)給定條件，將不等式轉(zhuǎn)化為[f(x【解答過程】（1）函數(shù)f(x)為(?2,2)上的奇函數(shù)，則f(?x)+f(x)=0，且f(0)=0，即log19a+x即a2?x2=4?b2當a=?2，b=?1時，f(x)=log19?2?x2?x當a=?2，b=1時，a?x2+bx=?1，函數(shù)當a=2，b=?1時，a?x2+bx=1，函數(shù)當a=2，b=1時，f(x)=log19所以a=2，b=1.（2）由（1）知，f(x)=log92+x2?x=而函數(shù)y=log9x在(0,+∞)?x1,x2于是0<42?x1?1<因此log9(4所以函數(shù)f(x)在(?2,2)上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，則?x∈(1,2)，f(x)>f(1)=1由?x1∈(1,2)，?x2因此?x∈[?1,1]，g(x)≤1?m?4當x∈[?1,1]時，12≤2x≤2當且僅當x=0時取等號，于是m≤2，所以m的取值范圍是m≤2.15．（24-25高三上·青海西寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若m=0，求fx(2)若fx的定義域為R，求實數(shù)m(3)若fx的值域為R，求實數(shù)m【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷法則，即可求解；（2）根據(jù)題意，若fx的定義域為R，則根據(jù)真數(shù)ux=（3）根據(jù)題意，若fx的值域為R，只需真數(shù)ux=【解答過程】（1）因為當m=0時，函數(shù)fx令ux=?1x2∴ux在區(qū)間1?52又∵函數(shù)y=log12可得fx=log12（2）要使fx的定義域為R，只需真數(shù)ux=①當m2?1=0，即若m=1,ux顯然，只有x>?12時，才有ux若m=?1，則ux=1>0對一切實數(shù)x都成立，②當m2?1≠0時，uxm解得m<?1或m>5綜上，實數(shù)m的取值范圍是?∞（3）要使fx的值域為R，只需真數(shù)ux=①當m2?1=0，即若m=1，則ux=2x+1，顯然ux若m=?1，則ux=1，不符合題意，②當m2?1≠0即m>1或m<?1,?1≤m≤綜上，實數(shù)m的取值范圍是1,516．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx為奇函數(shù)，求實數(shù)m(2)求函數(shù)fx(3)求函數(shù)fx(4)若關(guān)于x的不等式fx<lne1【解題思路】（1）將函數(shù)解析式化簡為fx=lne1（2）分m=0與m≠0兩種情況討論，當m≠0時利用基本不等式求出e1（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（4）依題意可得mx<1m≠0，求出不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出m【解答過程】（1）因為f==ln又fx為奇函數(shù)，所以f即lne即lnemx+2+解得emx=1，所以（2）因為fx當m=0時fx當m≠0時e12mx+e所以e12mx綜上可得：當m=0時fx的值域為0，當m≠0時fx的值域為（3）因為fx當m=0時fx=0，當m>0時y=e12mx在定義域R上單調(diào)遞增，且當x<0時0<y=x+1x在0,1上單調(diào)遞減，在y=lnx在定義域所以fx在?∞,0當m<0時y=e12mx在定義域R上單調(diào)遞減，且當x<0時e1y=x+1x在0,1上單調(diào)遞減，在y=lnx在定義域所以fx在?∞,0綜上可得：當m=0時fx當m≠0時fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,0（4）因為fx=lne1所以fx當m=0時fx<ln當m≠0時不等式fx<ln所以e12mx又y=e12所以mx<1，解得?1m因為A??2023,2026，所以1m≤2023m≠0，所以m≤?所以實數(shù)m的取值范圍為?∞題型5題型5指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示17．（24-25高一上·吉林·期中）某水庫有a萬條魚，計劃每年捕撈一些魚，假設(shè)水庫中魚不繁殖，只會因捕撈而減少魚的數(shù)量，且每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比相等.當捕撈的魚的數(shù)量達到原數(shù)量的23時，所用時間是6年.為了保證水庫的生態(tài)平衡，魚的數(shù)量至少要保留原數(shù)量的19(1)求每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比.(2)到今年為止，該水庫已捕撈了多少年?(3)今年之后，為了保證水庫的生態(tài)平衡，最多還能捕撈多少年?【解題思路】（1）設(shè)每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比為x，根據(jù)題意建立等量關(guān)系計算即可；（2）設(shè)到今年為止該水庫已捕撈t年，根據(jù)題意建立方程，解指數(shù)方程即可；（3）設(shè)今年之后，最多還能捕撈n年，根據(jù)題意建立不等式，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【解答過程】（1）由題意可得a1?x6=a?23則每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比為1?1（2）設(shè)到今年為止該水庫已捕撈t年，則a1?xt=所以t6=1即到今年為止，該水庫已捕撈了3年.（3）設(shè)今年之后，最多還能捕撈n年，則n年后，水庫里魚的剩余數(shù)量為33題意可得33a1?x所以n6≤3故今年之后，最多還能捕撈9年.18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）雞蛋在冰箱冷藏的環(huán)境下，可以有效減緩雞蛋內(nèi)部的變化速度，延長其保質(zhì)期．已知新鮮雞蛋存儲溫度x（單位：攝氏度）與保鮮時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為t(x)=e(1)新鮮雞蛋在存儲溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時間約為多少小時；(2)已知新鮮雞蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保證新鮮雞蛋的保鮮時間不少于40天，則超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設(shè)置應(yīng)該不高于多少攝氏度？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：lg【解題思路】（1）由題意有e8a+b=432e6a+b=576，則e（2）令eax+b【解答過程】（1）依題意得e8a+b=432e當x=7時，t7即該超市的新鮮雞蛋在存儲溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時間約為499小時；（2）由題意令eax+b≥960，得e6a+b則34則lg3即1解得：x≤2.334故超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設(shè)置應(yīng)該不高于2.33攝氏度.19．（24-25高一上·福建三明·期中）金駿眉是紅茶代表，產(chǎn)于建寧縣，色澤紅艷，香氣馥郁，口感甜美，營養(yǎng)價值高.在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用100°C的水泡制，待茶水溫度降至60°時間/012345水溫/1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100°C經(jīng)過xmin后溫度變?yōu)閥°C，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①y=cx+b(c<0,x≥0)(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少.（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.48,【解題思路】（1）通過表格數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)水溫隨著時間變化逐漸降低，且降低的速度逐漸變慢，所以是第②個函數(shù)模型，只需將具體數(shù)值代入，即可求得解析式；（2）最佳飲用口感溫度為60°C，代入解析式，利用對數(shù)式求得（3）求出y的最小值，即為答案.【解答過程】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則ca0+b=100ca所以y=90×0.9x+10（2）令y=90×0.9x+10=60所以泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間為6.5min.（3）由0.9x∈0,1，即y∈20．（24-25高一上·福建廈門·期中）鐵觀音是中國十大名茶之一，盛產(chǎn)于福建．經(jīng)驗表明，某種鐵觀音茶用95°C的水沖泡，等茶水溫度降至60°C飲用，口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：°C時間t/分鐘012345水溫y95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型：①y=at+b(a<0)，②y=a?bt+c(a>0,0<b<1)(2)根據(jù)（1）中所求模型，（i）請推測實驗室室溫（注：茶水溫度接近室溫時，將趨于穩(wěn)定）；（ii）求剛泡好的鐵觀音茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)，lg3≈0.477,【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律結(jié)合單調(diào)性及相鄰數(shù)據(jù)差不為定值排除①③,代入數(shù)據(jù)②中求參數(shù)得函數(shù)解析式；（2）（i）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知穩(wěn)定在25°C【解答過程】（1）由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)應(yīng)該為減函數(shù)，故③y=atb+c(a>0,0<b<1)為增增函數(shù)，不合題意；又88?95=?7，81?7?88=?6.3，76.03?81?7=?4.67，不是常數(shù)，故①y=at+b(a<0)則a+c=95ab2所以y=70?0.9（2）（i）由y=70?0.9t+25可知，y>25所以由題意室溫為25°C（ii）由題意70?0.9t+25=60所以t=log即剛泡好的鐵觀音茶達到最佳飲用口感的放置時間大約6.5分鐘.題型6題型6函數(shù)零點（方程根）及其個數(shù)問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示21．（24-25高一上·新疆烏魯木齊·期中）已知函數(shù)f（x），對于任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)當?8≤x≤10時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(3)設(shè)函數(shù)g(x)=fx2?m?2f(|x|)，若方程【解題思路】（1）先后令x=y=0，y=?x可完成判斷與證明；（2）由題可證明f(x)在?∞,0,0,+∞（3）g(x)=0有4個不同的解等價于x2【解答過程】（1）f(x)為奇函數(shù)，證明如下.證明：令x=y=0，則f(0)=2f(0)?f0又令y=?x，則f(0)=fx又fx定義域關(guān)于原點對稱，且fx不恒為0，則（2）取任意x1則f(=?fx2?x1故f(x)在R上單調(diào)遞減，則當?8≤x≤10時，f(x)max=f因f(1)=?12，則f10則函數(shù)最大值為f?8=4，最小值為（3）由（2）可知fx在?則g(x)=fx又x2=x2，則方程令x=t，當t2?2t?m=0則Δ=4+4m>0x1+x22．（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=(1)當m=?1時，求函數(shù)f(x)零點(2)函數(shù)f(x)有兩個零點，求m的取值范圍；(3)函數(shù)f(x)在(?1,3)上有兩個零點，求m的取值范圍；【解題思路】（1）把m=?1代入，求出f(x)零點.（2）利用判別式大于0，解不等式即得.（3）利用一元二次方程實根分布規(guī)律，列出不等式組求解即得.【解答過程】（1）當m=?1時，f(x)=x2?2x+1，由f(x)=0所以函數(shù)f(x)零點為1.（2）由函數(shù)f(x)有兩個零點，得方程x2因此Δ=4m2?4(3m+4)>0，解得所以m的取值范圍是m<?1或m>4.（3）由函數(shù)f(x)在(?1,3)上有兩個零點，得Δ=4m2所以m的取值范圍是?1323．（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(1)求函數(shù)f(x)的零點；(2)g(x)=f(x)?a若函數(shù)g(x)有四個零點，求a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，記g(x)得四個零點從左到右分別為x1，x2，x3，x【解題思路】（1）討論當x>0時，當x≤0時，由f(x)=0，解方程即可得到零點；（2）由題意可得f(x)=a有四個不等實根，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，通過圖象觀察，即可得到a的范圍；（3）由二次函數(shù)的對稱性和對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合圖象即可得到所求和．【解答過程】（1）函數(shù)f(x)=ln當x>0時，由|lnx|=0，解得當x≤0時，由x2+4x+1=0，解得x=?2+3可得函數(shù)的零點為1，?2+3或?2?（2）g(x)=f(x)?a若函數(shù)g(x)有四個零點，即為f(x)=a有四個不等實根，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，由圖象可得當0<a≤1時，f(x)的圖象和直線y=a有四個交點，故函數(shù)g(x)有四個零點時a的取值范圍是0<a≤1；（3）由y=x2+4x+1的對稱軸為x=?2由|lnx3|=|lnx4故x124．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)f(x)=x?a?3(1)若a=1，求關(guān)于x的方程f(x)=1的解；(2)若關(guān)于x的方程f(x)=2a有三個不同的正實數(shù)根x1，x2，（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x1【解題思路】（1）根據(jù)題意得由x?1=3x，分類討論x≥1（2）（i）分段討論f(x)的解析式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)分析得f(x)的單調(diào)性，進而得到關(guān)于a的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中結(jié)論，分析得x1x2=3與【解答過程】（1）當a=1時，f(x)=x?1則由f(x)=1，得x?1=當x≥1時，則x?1=3x，即x2?x?3=0，解得當x<1時，則1?x=3x，即綜上，x=1（2）（i）因為f(x)=x?a當x≤a時，f(x)=?x+a?3當x>a時，f(x)=x?a?3由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2a?x+3x在0,易知y=x?3x在當a≤3a≠0時，則y=2a?x+3x在0,a又當x=a時，2a?x+3x=x?3故方程f(x)=2所以a≥3，則y=2a?x+3x在y=x?3x在故2a?a+3a即a的取值范圍為7+（ii）x1?x2是方程2a?x+x3是方程x?3x則x3=1所以x1題型7題型7弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示25．（24-25高一·上?！るS堂練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧長l(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4【解題思路】（1）由扇形的弧長公式即可求解；（2）由扇形的周長和面積公式即可求解.【解答過程】（1）因為α=45°=π所以l=α?r=π（2）由題意得2r+αr=101解得r=1α=8（舍去）或r=4故扇形圓心角為1226．（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）如圖，這是一個扇形環(huán)面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構(gòu)成）展臺，AD=4米．(1)若∠COD=2π3(2)若該扇形環(huán)面展臺的周長為14米，布置該展臺的平均費用為500元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺的總費用．【解題思路】（1）利用弧長計算公式計算即可；（2）設(shè)∠COD=θ，OA=r米，利用扇形環(huán)面的展臺周長，表示出θ與r的關(guān)系，代入面積公式求出扇形環(huán)面展臺的面積，最后計算可得.【解答過程】（1）弧AB的長度l1=4π3所以扇形環(huán)面展臺周長為：l1（2）設(shè)∠COD=θ，OA=r米，則弧AB的長度l1=θr，弧CD的長度因為該扇形環(huán)面的周長為14米，所以l1+l整理得θr+2θ=3，則該扇形環(huán)面展臺的面積：S=1所以布置該扇形環(huán)面展臺的總費用為：12×500=6000元.27．（23-24高一下·江西贛州·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為L(α>0)．(1)已知扇形的周長為10cm，面積是4(2)若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α【解題思路】（1）根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式，再結(jié)合扇形的周長公式即可求解；（2）根據(jù)扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）由題意得{2R+Rα=1012α?R所以扇形圓心角12（2）由已知得，l+2R=20．所以S=12lR=所以當R=5時，S取得最大值25，12×α×R當扇形的圓心角α為2多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.28．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）如圖，點A，B，C是圓O上的點．(1)若∠ACB=π6，AB=4cm，求扇形AOB(2)若扇形AOB的面積為10cm2，求扇形AOB周長的最小值，并求出此時【解題思路】（1）根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式進行計算即可.（2）根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進行求解.【解答過程】（1）由題意知，設(shè)α=∠AOB，所以α=根據(jù)扇形弧長l=αR=4扇形面積S=1（2）由S=lR2=10扇形的周長為2R+l=2R+20R≥2所以由l=αR=20R知：題型8題型8同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高三上·河南·期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2?x?2=0（2）已知sinα?cosα=12【解題思路】（1）根據(jù)題意得到tanα的值，將sin2α?2sinαcosα+3（2）先根據(jù)完全平方公式得到sinαcosα【解答過程】（1）由x2?x?2=0，得x=?1，或∵tanα是方程x2?x?2=0∴tanα=2∴sin2α?2sin（2）∵sinα?∴(sinα?cos∵α∈(0,π)，所以sinα>0故cosα+1sin30．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知sinα+(1)求tanα(2)求sinα(3)若0<α<π，求sin【解題思路】（1）利用商數(shù)關(guān)系求解即可；（2）利用平方關(guān)系構(gòu)建齊次式求解即可；（3）將所求式子平方，根據(jù)角的范圍討論符號，開平方即可,【解答過程】（1）由sinα+cosα將上式左邊分子、分母同除以cosα，得tanα+13（2）由（1）知tanα=所以sinα（3）由0<α<π，得sin又由（1）知，tanα=35>0，故所以cosα>0，于是sin(sinsinα+31．（23-24高一上·河南開封·期中）已知函數(shù)f(x)=1+sinx1?(1)求2sin(2)求cos4【解題思路】（1）化簡fx=2sinxcosx（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡原式為1?tan【解答過程】（1）f(x)==1+α為第三象限角，故fx=?2tanx，2sin（2）cos=cos32．（23-24高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知x∈0,(1)若tanxtanx?1(2)若sinx+cosx=【解題思路】（1）根據(jù)正余弦函數(shù)齊次式化簡為正切即可得解；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求解.【解答過程】（1）因為tanx所以tanx=2tanx?2所以2sin（2）因為sinx+所以sinx+cos即2sinx∴sinx?cos∵x∈0,π，∴sinx>0∴cosx?sin∴cos2題型9題型9誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）已知α為第二象限角，fα(1)化簡fα(2)若sinα=15【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡得解；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答過程】（1）f=?（2）若sinα=15所以fα34．（24-25高三上·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β0<β<π2<α<π，它們的終邊分別與單位圓相交于點P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐標.【解題思路】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanβ（2）由OP⊥OQ可得sinα=sinβ+【解答過程】（1）因為點Q在單位圓上且0<β<π2，所以x>0且x2即Q2由三角函數(shù)定義知，sinβ=故原式=2（2）由題意sinα=cos故P?35．（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）在單位圓中，銳角α的終邊與單位圓相交于點Pm,32，連接圓心O和P得到射線OP，將射線OP繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ后與單位圓相交于點B(1)求4sin(2)記點B的橫坐標為fθ，若fθ?π【解題思路】（1）由題意可得cosα=（2）由題意可得：fθ=cos【解答過程】（1）由于點P在單位圓上，且α是銳角，可得m=1所以cosα=所以4=4（2）由（1）可知cosα=12，且α根據(jù)三角函數(shù)定義可得：fθ因為fθ?π6因此θ+π6所以cos==1536．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）解答下列問題：(1)計算sin?(2)已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x?y=0上，求sinπ【解題思路】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求解；（2）根據(jù)題意可知tanα=2【解答過程】（1）sin==（2）根據(jù)題意可知tanα=2所以sin=?題型10題型10三角函數(shù)的參數(shù)問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示37．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函數(shù)fx(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域為1,2【解題思路】（1）根據(jù)條件可知函數(shù)關(guān)于點5π6（2）首先求ωx+π6的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可列不等式求【解答過程】（1）因為f5π所以fx的圖象關(guān)于點5π則ω?5π解得ω=?1又ω>0，故當k=1時，ω取得最小值1．（2）當x∈0,π3因為函數(shù)fx在區(qū)間0,π3上的值域為1,2解得：1≤ω≤2．所以ω的取值范圍為1,2．38．（23-24高一下·遼寧·期中）已知函數(shù)fx(1)當φ=π6時，函數(shù)fx在π(2)若fx的圖象關(guān)于直線x=π4對稱且f?π4=0，是否存在實數(shù)ω【解題思路】（1）由單調(diào)性可得2π（2）由對稱性與單調(diào)性可得ω為正奇數(shù)且ω≤6【解答過程】（1）2π3?由題，ωx+π注意到，0<ω≤3時，ωπ則必有ωx+π只需2ωπ3+所以ω的取值范圍為0,1（2）由題?π4ω+φ=k1π①，②－①得π2ω=k因為k1，k2∈Z，所以ω=2n+1因為fx在7π18,5π9上單調(diào)，所以5當ω=5時，?5π4因為φ≤π2，所以φ=令t=5x+π4∈gt在79π36故fx在7當ω=3時，?3π4因為φ≤π2，所以φ=?令t=3x?π4∈11π12,故fx在7當ω=1時，?π4+φ=k因為φ≤π2，所以φ=令t=x+π4∈23π36,故fx在7綜上，存在實數(shù)ω，使得fx在7π1839．（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)fx=2(1)若fx的最小正周期為2π，求(2)若x=?π4是fx的零點，是否存在實數(shù)ω，使得fx在【解題思路】（1）由題意，利用正弦函數(shù)的周期性和對稱性，求出ω和φ，可得函數(shù)的解析式；（2）由題意，利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，求出ω的取值集合.【解答過程】（1）∵最小正周期為2π，則2πω∴ω=1，又∵函數(shù)fx=2則π4+φ=kπ+π2，且?π2<φ<故函數(shù)fx（2）①若x=?π4是fx的零點，由于f則π4??π4②根據(jù)fx在7π18,5③由題意可得：fx的單調(diào)區(qū)間為12×故kπω+由①②③可得：ω=2n+1,故ω的取值集合為1,3．40．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若fx的圖象經(jīng)過點A3π4,0，Bπ4,2，且點(2)若f0=?1，且fx在5π9【解題思路】（1）依題意可得函數(shù)fx的周期求出ω，又過點B取最值求φ（2）根據(jù)f0=?1求φ，由已知條件及正弦函數(shù)的性質(zhì)求【解答過程】（1）依題意可知：T4=3π4又過點Bπ4,2，所以1×又φ≤π2，所以φ=（2）因為f0=2sinφ=?1，且φ≤又當x∈0,3π4時依題意：π<3π又fx在5π9依題意;若5π9ω?π6≥?π若5π9ω?π6≥π2π若5π9ω?綜上ω的取值范圍為149題型11題型11三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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平面向量線性運算的坐標表示41．（23-24高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)fx=sin(1)求ω的值；(2)求fx(3)若x∈0,m,fx的值域是1,【解題思路】（1）代入最大值點化簡函數(shù)即可求參；（2）應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可；（3）化簡得出正弦函數(shù)的值域進而確定自變量的取值范圍.【解答過程】（1）因為fx=sin可得fπ所以ω=1+6k,k∈Z所以ω=1.（2）x+fx=sin（3）因為x∈0,m又因為fx所以π2≤π42．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知fx=sinωx+φω>0,φ<π2在π(1)求fx(2)若函數(shù)gx=fx?mm∈R在x∈0,π【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求周期求參，再根據(jù)最值求參即可得出解析式；（2）根據(jù)零點結(jié)合對稱性得出參數(shù)值，再應(yīng)用解析式求函數(shù)值.【解答過程】（1）由題對任意x∈R，都有fx≤f5π因為fx在π6,5π所以T4=5π又因為函數(shù)fx在x=5π12時取得最大值，所以即φ=?π3+2kπ，k∈Z所以：fx（2）因為x∈0,π2，令y=sint在

由題函數(shù)gx=fx?m在x∈0,即y=sint與y=m在?π3,數(shù)形結(jié)合可得：32≤m<1，t1所以fx43．（23-24高一下·江蘇·開學(xué)考試）已知f(x)=2sin(x+φ)(φ∈(?π2,(1)求φ的值：(2)已知g(x)=2sin(x+φ2)，若對任意x∈[【解題思路】（1）由f(π3?x)=f(x)可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=（2）由（1）求出f(x),g(x)，再變形給定的不等式，換元分離參數(shù)得a<2【解答過程】（1）對任意x∈R都有f(π3?x)=f(x)，則函數(shù)于是π6+φ=π2+2k所以φ=π（2）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π當x∈[π6,π]時，x?π顯然g(?x)=?2t,[f(x)]不等式ag(?x)?f依題意，?t∈[0,1]，不等式a<顯然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)?6t+1?4=43?4，當且僅當所以實數(shù)a的取值范圍是a<4344．（24-25高二上·山東日照·開學(xué)考試）設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=?2sin(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有兩個不同的零點，求實數(shù)(3)當?1≤a≤1時，設(shè)n為正整數(shù)，f(x)在區(qū)間(0,nπ)上恰有2024個零點，求所有可能的正整數(shù)【解題思路】（1）利用換元法結(jié)合三角函數(shù)值域，由二次函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)f(x)的值域；（2）根據(jù)零點個數(shù)可得函數(shù)g(t)=?2t2?at+1在0,1（3）由二次函數(shù)根的個數(shù)及其符號并對參數(shù)a的取值范圍分類討論，利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得不同區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，即可得出結(jié)果.【解答過程】（1）由題意f(x)=?2sin令t=sinx,t∈[?1,1]，則當a=1時，g(t)=?2t所以當t=?14時，g(t)取最大值當t=1時，g(t)取最小值?2，所以f(x)的值域為?2,9（2）由題意函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π即函數(shù)g(t)=?2t2?at+1在0,1由零點存在性定理，只需g(1)=?a?1<0，得a>?1；所以實數(shù)a的取值范圍為?1,+∞（3）因為Δ=a2+8>0，所以g(t)=?2又t1?當a=1時，得t1=?1,t2=由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知f(x)在(0,2kπ)（k為正整數(shù)）內(nèi)零點個數(shù)為3k，在(0,(2k+1)π因為2024=3×674+2，所以n=674×2+1=1349；當a=?1時，t1=?12,t2在(0,(2k+1)π)內(nèi)零點個數(shù)為3k+1，若3k+1=2024，此時不存在當?1<a<1時，則?1<t1<0,0<t2<1，f(x)在因為2024=2×1012，所以n=k=1012；綜上n的所有可能值為1012，1349．題型12題型12三角恒等變換的綜合應(yīng)用

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平面向量線性運算的坐標表示45．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知0<β<π2<α<(1)求cosβ+(2)求sinα?7【解題思路】（1）根據(jù)已知，可求出π4<α?π4<3π4，π2（2）將sinα轉(zhuǎn)化sinα?π4+π4【解答過程】（1）因為π2<α<π，所以π所以sinα?因為0<β<π2<α<又sinα+β=4所以cos==?3（2）由題意知sin=2又π2<α<π，所以cos所以sinα?746．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知α,β為銳角，且sin2(1)求2sin(2)若cosα+β=1【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行化簡即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合兩角差的正弦公式進行求解即可.【解答過程】（1）∵sin∴cos∵sin又α為銳角，∴sin∴2sinα+cos（2）由（1）可知sinα=∵cosα+β=∴sin∴==1247．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知π4≤α≤π2，π≤β≤(1)求5sin(2)求角β?α的值.【解題思路】（1）利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡，再利用商數(shù)關(guān)系化為關(guān)于tanα的式子，再由二倍解公式，同角關(guān)系式對已知條件變形求得tan（2）確定α+β的范圍，求得sin(α+β)，然后利用(a+β)?2α=β?α，結(jié)合兩角差的正弦公式求得sin【解答過程】（1）由5=又因為sin2α=45，所以sin解得tanα=2或tanα=12，由于∴原式=?11.（2）又由π≤β≤3π2知則sin(α+β)=?由sin(β?α)=sin[(α+β)?2α]=又因π2≤β?α≤548．（24-25高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）已知α∈(0,π(1)若cos2β+cosβ=0，sin(2)證明：tanα+β【解題思路】（1）根據(jù)二倍角公式求得β，利用平方的方法求得sinα，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得cosα，進而求得（2）利用分析法，結(jié)合三角恒等變換的知識證得不等式成立.【解答過程】（1）∵cos∵β∈(0,π∵sin∵α∈(0,π∴cos（2）要證tanα+β即證sinα+β即證sinα+β∵α∈(0,即證1cos即證cos2即證1+cos即證1≥cos題型13題型13由部分圖象求函數(shù)的解析式49．（24-25高三上·北京·期中）設(shè)fx=Asinωxcosφ+Acosωxsin

(1)求A，φ；(2)再從以下三個條件中任選其一，使函數(shù)fx唯一確定，并求f條件①：MN=5條件②：OM=條件③：f5【解題思路】（1）先化簡fx，根據(jù)圖象的最高點確定出A的值，再根據(jù)圖像過點0,1求解出φ（2）若選①：根據(jù)條件確定出T2的值，則ω的值可求，再根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間的公式求解出結(jié)果；若選②：根據(jù)條件先求出M的坐標，代入fx解析式中可求ω的值，再根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間的公式求解出結(jié)果；若選③：根據(jù)條件得到ω的表示，再根據(jù)ω的范圍確定出【解答過程】（1）fx由圖象可知，A=2，所以fx因為fx=2sin所以1=2sinφ，所以又0<φ<π2，解得綜上所述，A=2，φ=π（2）選擇條件①：因為MN=5?所以T2故fx令?π2+2k有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件②：因為OM=所以2=2sinω+π由0<ω<π2，解得故fx令?π2+2k有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件③：因為f52=0?由0<ω<π2，解得故fx令?π2+2k有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z50．（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)f(x)=2(1)求函數(shù)f(x)的解析，并求出f(x)在0,π(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移θ(θ>0)個單位后所得曲線關(guān)于y軸對稱.求θ的最小值.【解題思路】（1）代入兩點，建立方程，根據(jù)ω>0,?φ<（2）根據(jù)題意得到平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的對稱性，得到θ=?3π8?kπ【解答過程】（1）由f(π4)=1又點(π4,1)由f(5π8)=0且上升、下降的兩段圖象相鄰，得5π8聯(lián)立解得ω=2，φ=?π而|φ|<π2，于是φ=?π當x∈0,π2時，2x?即f(x)在0,?π2（2）令將函數(shù)f(x)的圖象向右平移θ(θ>0)個單位后得到g(x)的圖象所以gx由題意g(x)的圖象曲線關(guān)于y軸對稱，即g(x)為偶函數(shù)，所以?2θ?π4=因為θ>0，所以當k=?1時，θ取得最小值π851．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)fx

(1)求函數(shù)fx(2)若將fx的圖象向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的12（i）求gx的解析式及g（ii）求gx在0,【解題思路】（1）由圖可知A=2，34T=5π12+π3，求出周期，再利用周期公式可求出（2）（i）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出gx，進而可求gπ3；（ii）由0,【解答過程】（1）由圖可知，A=2，34T=5π12將點5π12,0代入fx=2又φ<π2所以fx（2）（i）將fx的圖象向左平移π得y=2cos再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得y=2所以gx所以gπ（ii）因為x∈0,π6，所以0≤4x≤所以cosπ≤所以?1≤cos所以?2≤cos故gx在0,π652．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)f(x)=2cos(1)求f(x)的解析式；(2)若將f(x)圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的12倍，得到函數(shù)g(x)，求g(x)在[【解題思路】（1）根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點法”作圖求出f(x)的解析式.（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)g(x)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域.【解答過程】（1）觀察圖象知，函數(shù)f(x)的最小正周期T=43(由f(13π12)=2，得2×13所以f(x)的解析式是f(x)=2cos（2）由（1）知，f(x)=2cos(2x?π當x∈[π12,π3]，則4x?π因此當4x?π6=π，即x=7π24時，g所以g(x)在[π12,題型14題型14函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用53．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cos(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若把y=f(x)的圖像先向右平移π6個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖像，則當x∈[0,2π]時，求使得g(x)=2【解題思路】（1）先根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化簡f(x)=2sin（2）先根據(jù)平移的規(guī)則求得g(x)=2sin【解答過程】（1）因為f(x)==3所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2令?π2+2k即?π3+k所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?π3+k（2）由題意，g(x)=2sin因為x∈[0,2π]，所以由g(x)=2sin2x?π所以2x?π6=π6或5π即x=π6或π2或7π所以x∈π54．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx向左平移φφ>0個單位后，所得函數(shù)gx（?。┣螃盏淖钚≈担唬áⅲ┰冢á。┑臈l件下，若函數(shù)y=gx?mm∈R在區(qū)間【解題思路】（1）由三角恒等變換得f(x)=2sin（2）（?。┯深}意可得gx=f(x+φ)=2sin(2x+2φ?π（ⅱ）將（?。┲笑罩荡?，求出函數(shù)gx在0,【解答過程】（1）解：因為f=4=2==2sin所以T=2由2kπ解得kπ所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ（2）解：（ⅰ）由題意可得gx又因為gx的圖象關(guān)于x=所以2×π解得φ=k又因為φ>0，所以當k=0時，φmin（ⅱ）令y=gx?m=0，則即y=gx的圖象與直線y=m在0,又因為φ=5所以gx=因為x∈0,11π所以sin(2x+π4即g(x)∈[?1,2]，所以m∈[?1,2].55．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)fx=sinπ2(1)求ω的值及fx(2)將fx圖象上的所有點的橫坐標向右平移π4個單位長度（縱坐標不變），再向上平移34個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)?x【解題思路】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出gx【解答過程】（1）由f==1因為fx圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為π所以其最小正周期為T=4×π則fx令?π解之得x∈?（2）由題意可知將fx圖象上的所有點的橫坐標向右平移π再向上平移34個單位長度可得y=再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)gx當x∈π6,令t=gx，則條件可化為1?2m=2t2易知y=2t2?3t在0,易知y=2t則1?2