北京市豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中練習(xí)A卷試題含解析

Page18北京市豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中練習(xí)（A卷）試題第I部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.為了了解某小區(qū)5000戶居民接種新冠疫苗狀況，從中抽取了100戶居民進(jìn)行調(diào)查.該小區(qū)每位居民被抽到的可能性為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)每個(gè)個(gè)體被抽到可能性都是相同的，即可計(jì)算得答案.【詳解】由題意可知了了解某小區(qū)5000戶居民接種新冠疫苗狀況，從中抽取了100戶居民進(jìn)行調(diào)查，該小區(qū)每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能為，故選：B.2.已知空間向量，，若，則，的值分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用，得到，即可計(jì)算求解.【詳解】由，得，故，解得故選：D3.如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事務(wù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件，得出甲、乙兩個(gè)元件的故障狀況，即可得出結(jié)果.【詳解】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事務(wù)和同時(shí)發(fā)生，即事務(wù)發(fā)生.故選：C.4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是即可得出.【詳解】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.

故選：A．5.在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】連結(jié)，如圖，因?yàn)椋?，所?故選：A.6.在“冬奧會(huì)”閉幕后，某中學(xué)社團(tuán)對(duì)本校3000名學(xué)生收看競(jìng)賽狀況用隨機(jī)抽樣方式進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為50，將全部數(shù)據(jù)分組整理后，繪圖如下，以下結(jié)論中正確的是（）A.圖中m數(shù)值為26B.估計(jì)該校觀看競(jìng)賽不低于3場(chǎng)的學(xué)生約為1380人C.估計(jì)該校學(xué)生觀看競(jìng)賽場(chǎng)數(shù)的中位數(shù)小于平均數(shù)D.樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)為5【答案】C【解析】【分析】由頻率和為1求，依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算觀看競(jìng)賽不低于3場(chǎng)的人數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，百分位數(shù)推斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，，A錯(cuò)；不低于3場(chǎng)的人數(shù)約為，B錯(cuò)；由已知得中位數(shù)是3，平均數(shù)是，C正確；由條形圖，觀看場(chǎng)數(shù)不大于5的百分比為90%，因此第90百分位數(shù)是5.5，D錯(cuò)．故選：C．7.已知平面，其中點(diǎn)，向量，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，對(duì)選項(xiàng)逐一求出，再推斷是否為即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，，故，即，故選項(xiàng)A中的點(diǎn)在平面內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，，故，即不相互垂直，故選項(xiàng)B中的點(diǎn)不在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，即不相互垂直，故選項(xiàng)C中的點(diǎn)不在平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，即不相互垂直，故選項(xiàng)D中的點(diǎn)不在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.如圖，一個(gè)質(zhì)地勻稱的正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，隨意拋擲一次這個(gè)正八面體，視察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設(shè)該數(shù)字為.若設(shè)事務(wù)“為奇數(shù)”，事務(wù)“為偶數(shù)”，事務(wù)“為3的倍數(shù)”，事務(wù)“”，其中是相互獨(dú)立事務(wù)的是（）A.事務(wù)與事務(wù) B.事務(wù)與事務(wù)C.事務(wù)與事務(wù) D.事務(wù)與事務(wù)【答案】B【解析】【分析】分別寫出，，，包含的樣本空間，依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)滿意的乘法公式，即可推斷.【詳解】由題意可得，3，5，，，4，6，，,，,,由古典概型概率公式可得：,所以，，,，故ACD錯(cuò)誤，B正確．故選：B9.李明父親從2024年1月起先，每月1日購(gòu)買了相同份數(shù)的某一種理財(cái)產(chǎn)品，連續(xù)購(gòu)買4次，并在5月1日將持有的理財(cái)產(chǎn)品全部賣出.已知該理財(cái)產(chǎn)品的購(gòu)買和賣出都是以份為計(jì)價(jià)單位進(jìn)行交易，且李明父親在本次投資中沒有虧損，那么下列四個(gè)折線圖中反映了這種理財(cái)產(chǎn)品每份價(jià)格（單位：萬(wàn)元）可能的改變狀況的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】逐項(xiàng)分析選項(xiàng)中4次投資的總金額與賣出時(shí)收獲的金額即可推斷.【詳解】由于本次投資中沒有虧損，所以須要計(jì)算推斷4次投資的總金額與賣出時(shí)收獲的金額，兩者持平，即為沒有虧損，不妨設(shè)李明父親每月只買1份理財(cái)產(chǎn)口，對(duì)于A，4次投資的總金額為(萬(wàn)元)，賣出時(shí)收獲的金額為(萬(wàn)元)，明顯這屬于虧本，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，4次投資的總金額為(萬(wàn)元)，賣出時(shí)收獲的金額為(萬(wàn)元)，明顯這屬于虧本，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，4次投資的總金額為(萬(wàn)元)，賣出時(shí)收獲的金額為(萬(wàn)元)，明顯這屬于沒有虧損，故C正確；對(duì)于D，4次投資的總金額為(萬(wàn)元)，賣出時(shí)收獲的金額為(萬(wàn)元)，明顯這屬于虧本，故D錯(cuò)誤.故選：C.10.在空間直角坐標(biāo)系中，若有且只有一個(gè)平面，使點(diǎn)到的距離為1，且點(diǎn)到的距離為4，則的值為（）A.2 B.1或3C.2或4 D.或【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)到平面的距離是確定的且平面只有一個(gè)，可得，且兩點(diǎn)在平面同側(cè)，由此可得線段的長(zhǎng)，從而求得值，【詳解】因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)平面，使點(diǎn)到的距離為1，且點(diǎn)到的距離為4，所以，且兩點(diǎn)在平面同側(cè)，，，或3．若，則線段與平面至少有下列兩種位置關(guān)系，即平面至少有兩個(gè)．若，由上面的圖形知，兩點(diǎn)到平面的距離的差的肯定值不大于，與已知沖突，即不存在平面滿意題意．故選：B．第Ⅱ部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.某校學(xué)生共2000人，采納分層隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)樣本量為50樣本，若樣本中男生人數(shù)為20，則可估計(jì)此學(xué)校女生人數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】利用分層抽樣比例相等得到關(guān)于女生人數(shù)的方程，解之即可.【詳解】設(shè)此學(xué)校女生人數(shù)為，則樣本中女生的人數(shù)為，由分層抽樣比例相等得，解得，故估計(jì)此學(xué)校女生人數(shù)為.故答案為：.12.從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，若取出的產(chǎn)品全是正品的概率為0.85，則取出至少有1件次品的概率為______．【答案】0.2775##【解析】【分析】可用間接法，即用對(duì)立事務(wù)來(lái)求概率.【詳解】由已知得，取出2件產(chǎn)品中，1件次品也沒有的概率為.所以，取出至少有1件次品的概率為1-0.7225=0.2775.故答案為：0.2775.13.在長(zhǎng)方體中，若，，則直線與所成角的余弦值為______.【答案】##【解析】【分析】因?yàn)?，所以直線與所成的角，即直線與所成的角，在中用余弦定理解三角形，得即為所求.【詳解】在長(zhǎng)方體中，，所以直線與所成的角，即直線與所成的角，又因?yàn)?，，所以，，在中，由余弦定理，，所以直線與所成的角的余弦為.故答案為：.14.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量的模是______．【答案】【解析】【分析】先求出投影向量，再求向量的模.【詳解】當(dāng)以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)為，所以向量在坐標(biāo)平面上的投影向量，.故答案為：15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①三棱錐體積為定值；②存在唯一點(diǎn)使；③點(diǎn)到直線的距離是.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①③.【解析】【分析】依據(jù)線面平行的判定，線面垂直的判定，結(jié)合已知條件，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一推斷，即可選擇.【詳解】對(duì)①：因?yàn)?/面，故可得//面，又點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又△的面積為定值，故的體積為定值，①正確；對(duì)②：若點(diǎn)重合，因?yàn)槊婷?，則，即；若點(diǎn)不與重合，過(guò)點(diǎn)作的垂線，記垂足為，如下所示：因?yàn)槊婷?，故可得，又，面，故面，又面，故；綜上所述：使的點(diǎn)不唯一，故錯(cuò)誤；對(duì)③：在△中，，，又，，則，則點(diǎn)到的距離為，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面平行，線面垂直的判定和性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是嫻熟的應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理，屬綜合中檔題.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知空間向量，，．（1）若，求；（2）求；（3）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）４（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量垂直的性質(zhì)干脆求解；（2）依據(jù)向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算求解；（3）依據(jù)向量共面的應(yīng)用干脆求解即可．【小問1詳解】解：，，即，，解得．【小問2詳解】解：，．【小問3詳解】解：∵向量與向量，共面，∴設(shè)，，解得，．17.從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學(xué)生參與象棋競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）.（1）請(qǐng)寫出該試驗(yàn)的樣本空間;（2）設(shè)事務(wù)為“選到1名男生和1名女生”,求事務(wù)發(fā)生的概率;（3）若2名男生,所處年級(jí)分別為高一、高二,2名女生,所處年級(jí)分別為高一、高二,設(shè)事務(wù)為“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且至少有1名女生”,求事務(wù)發(fā)生的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意把全部的可能結(jié)果列出即可;(2)由(1)知在全部得可能結(jié)果中數(shù)出事務(wù)發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可;(3)由(1)知在全部得可能結(jié)果中數(shù)出事務(wù)發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可.【小問1詳解】解:由題知,樣本空間為;【小問2詳解】由(1)知,全部的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿意事務(wù)得結(jié)果數(shù)有4個(gè),故;【小問3詳解】由(1)知,全部的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿意事務(wù)得結(jié)果數(shù)有3個(gè),故.18.如圖，已知直三棱柱，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再利用等體積法即可求得所求.【小問1詳解】連結(jié)交于，連接，因?yàn)樵谥比庵?，?cè)面是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，故平面；【小?詳解】由（1）知平面，所以直線與平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，不妨設(shè)為，因?yàn)?，，所以，，則，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樵谥比庵?，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，則，故，所以由得，即，解得，所以直線與平面的距離為.19.某校舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”學(xué)問實(shí)力測(cè)評(píng)，共有1000名學(xué)生參與，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）用分層隨機(jī)抽樣的方法從[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間共抽取出5名學(xué)生，則每個(gè)區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人；（2）在（1）的條件下，該校確定在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行溝通共享，求其次個(gè)溝通共享的學(xué)生成果在區(qū)間[90,100]的概率；（3）現(xiàn)需依據(jù)學(xué)生成果制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)定成果較高的前60%的學(xué)生為良好，請(qǐng)依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)良好的最低分?jǐn)?shù)線.（精確到1）【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率求法求得[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)，依據(jù)分層抽樣的方法即可求得結(jié)果；（2）利用列舉法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；（3）依據(jù)題意，利用頻率分布直方圖的面積即頻率，可求得使后段區(qū)間頻率為時(shí)的區(qū)間左端點(diǎn)，即所求最低分?jǐn)?shù)線.【小問1詳解】依題意，設(shè)區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人，得成果在[80,90)區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；成果在[90,100]區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；所以，解得，所以區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽人.【小問2詳解】由（1）得，不妨記區(qū)間[80,90)中人為，區(qū)間[90,100]中人為，則從中抽取2名學(xué)生（留意分先后）的基本領(lǐng)件為共20件，其中其次個(gè)溝通共享的學(xué)生成果在區(qū)間[90,100]（記為事務(wù)）的基本領(lǐng)件為共8件，故，即其次個(gè)溝通共享的學(xué)生成果在區(qū)間[90,100]的概率為.【小問3詳解】由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，所以成果良好的最低分?jǐn)?shù)線落在區(qū)間[80,90)中，不妨記為，故，解得，所以成果良好的最低分?jǐn)?shù)線為.20.某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)在2016~2024年銷售某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份201620172024202420242024年銷售件數(shù)（單位：萬(wàn)件）6691010年退貨件數(shù)（單位：件）6562688077注：年退貨率年退貨件數(shù)/年銷售件數(shù).（1）從2016~2024年中隨機(jī)抽取1年，求該年退貨率不超過(guò)千分之一的概率；（2）網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)規(guī)定：若年退貨率不超過(guò)千分之一，則該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)銷售部門當(dāng)年考核優(yōu)秀.現(xiàn)有甲、乙兩位平臺(tái)管理人員各從2016~2024年中隨機(jī)抽取1年進(jìn)行考查，若甲、乙的選擇互不影響，求恰有一人選擇的年份該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)銷售部門考核優(yōu)秀的概率；（3）記該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)在2016~2024年，2024~2024年的年銷售件數(shù)的方差分別為，.若，請(qǐng)寫出的最大值和最小值.（只需寫出結(jié)論）【答案】（1）（2）（3）的最大值為11，的最小值為9.【解析】【分析】（1）分別計(jì)算出2016，2017，2024，2024，2024年退貨率，即可得出；（2）甲、乙兩位平臺(tái)管理人員的選擇相互獨(dú)立，依據(jù)獨(dú)立事務(wù)乘法公式計(jì)算；（3）分別計(jì)算出，.列出不等式，即可解出的