一元二次方程-2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專(zhuān)題05一元二次方程

題趨勢(shì)

一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的重點(diǎn)知識(shí)，中考中多以選擇題、填空題、簡(jiǎn)單的解一元二次方程及其

應(yīng)用題和滲透在大題中的形式計(jì)算問(wèn)題出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想方法.掌

握一元二次方程的概念及其解法，根的判別式，尤其是二次三項(xiàng)式的因式分解，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

更是中考的熱點(diǎn)，難度系數(shù)中等。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、?■分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想

等。

知識(shí)導(dǎo)圖

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

概念一般形式：fla2+ftx+c=0(a*0)

注意a#O的條件

定義1能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

一元二次方程的解

?？妓悸罚簩⒎匠痰慕獯敕匠?，構(gòu)造等量關(guān)系

x2=m(m20)

常見(jiàn)的形式

(ax+w)2=m(a#0>0)

直接開(kāi)平方法

基本原理平方根的定義

基本思路：利用完全平方公式,轉(zhuǎn)變成直接開(kāi)平方法的形式

①將方程化為一般形式

②二次項(xiàng)系數(shù)化為1

基本步驟：③把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的右邊

配方法④把方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

⑤變成直接開(kāi)平方法的形式，采用直接開(kāi)平方法

本方法一定要常握，除非特別要求，一般不推薦使用

配方的思想：經(jīng)常在求最值有關(guān)的問(wèn)JS時(shí)，會(huì)涉及

—b±&2-4ac

x=-------------------

求根公式2a

①將方程化為一元二次方程一般形式

公式法

②確定a,b.c的值

基本步驟

⑧確定方程是否有實(shí)數(shù)根，驗(yàn)證b2-4ac

一元二次方程

④代入求根公式

理論依據(jù)：若X-8=O,那么>1=?；虼??；?/p>

思想(化歸)：將高次方程將次，轉(zhuǎn)化為低次方程

提取公因式法

因式分解法(降次法》常見(jiàn)方法：公式法

十字相乘法

因式分解法是解高次方程常用的方法,推薦使用

實(shí)際問(wèn)題一數(shù)學(xué)模型一設(shè)未知數(shù)一列方程一解方程一檢蛉一應(yīng)用題的解

常見(jiàn)題型：①商品利潤(rùn)；②幾何面積問(wèn)題；③增長(zhǎng)率問(wèn)U

若△>(),則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

若△=(),則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

A=b2-4ac若△<(),則方程無(wú)實(shí)數(shù)根

若△N0,剜方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

①不解方程確定方程根的情況

②根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍

根的判別式的應(yīng)用③解決拋物線(xiàn)與一次函數(shù)的圖象相切的問(wèn)題

④整數(shù)根間Bi時(shí)，△是完全平方式

本部分內(nèi)容雖然不在中考大綱要求內(nèi).有精力的同學(xué)可重點(diǎn)掌握

_be

若方程ox、+bx+c=.，那么冬+吃=----.X,x2=—

★根與系數(shù)關(guān)系aa

I?含條件：a#0.

?？碱}型：整體代入.求代數(shù)式的值

一、一元二次方程定義及一般形式

概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做

一元二次方程。

一般形式：ax2+Z?x+c=0（a^0）o其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)八

【注意】

1）只含有一個(gè)未知數(shù)；

2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3）整式方程。

一、單選題

1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A.x2-1=0B.x2+—+3=0C.x2+2x+1=0D.3x?+亞x+l=0

X

2.一元二次方程2/一7=3歹的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.2,-3,-7B.2,-7,-3C.2,-7,3D.-2,-3,7

3.關(guān)于x的一元二次方程a/-5辦+4=0,有一個(gè)根為1.則。的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.不能確定

4.若是關(guān)于x的一元二次方程/-工-1=0的根，貝!）3-2加2+2加的值是（）

A.2B.1C.4D.5

5.小剛在解關(guān)于x的方程辦2+法+。=0（4/0）時(shí)，只抄對(duì)了a=l,8=4,解出其中一個(gè)根是x=-1.他

核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的。值小2.則原方程的根的情況是（）

A.不存在實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有一個(gè)根是x=-lD.有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根

6.已知實(shí)數(shù)公現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人對(duì)關(guān)于X的方程h2_（左+2）x+^QO進(jìn)行了討論:

甲說(shuō)：這一定是關(guān)于X的一元二次方程；

乙說(shuō)：這有可能是關(guān)于X的一元一次方程；

丙說(shuō)：當(dāng)任-1時(shí)，該方程有實(shí)數(shù)根；

丁說(shuō)：只有當(dāng)行-1且好0時(shí)，該方程有實(shí)數(shù)根.

A.甲和丙說(shuō)的對(duì)B.甲和丁說(shuō)的對(duì)C.乙和丙說(shuō)的對(duì)D.乙和丁說(shuō)的對(duì)

二、填空題

7.若關(guān)于x的方程/一左=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則左的值可以是.（寫(xiě)一個(gè)即可）

8.若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6,另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程—一版+機(jī)=0的兩個(gè)根，則加的值為

9.己知加、〃是方程N(yùn)+2019x-2=0的兩個(gè)根,則("+2018%-3)ln2+2020n-1)=

二、一元二次方程的解法

(1)直接開(kāi)平方法

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法.直接開(kāi)平方法適用于解形如

(x+a)2=6的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)620時(shí)，x+a=+4b,

x=-a+4b,當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

(2)配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛

的應(yīng)用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式/±246+^2=伍±5)2,把公式中的a看做未知數(shù)X,并用X代

替，則有/±26x+〃=(X±6)2.

(3)公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

_A+J人2_

=

一元二次方程ax?+bx+c=0(aw0)的求根公式：2=——---------(b~-4ac>0)

「la

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常

用的方法.

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根

的判別式，通常用“A”來(lái)表示，即A=〃—4ac

(1)當(dāng)△>()時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)△=(3時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)當(dāng)△<)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

要點(diǎn)：

利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定

的值；③計(jì)算4ac的值；④根據(jù)從-4ac的符號(hào)判定方程根的情況.

5.一元二次方程根的判別式的逆用

在方程ax2+bx+c=0(aw0)中，

（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-4ac>0；

（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根—4ac=0；

（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根二〃-4ac<0.

要點(diǎn)：

（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件;

（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則b--4ac>0.

1.若關(guān)于x的方程（心-1尸4+》-3=0是一元二次方程，則小的值（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

2.用直接開(kāi)平方的方法解方程（3x+1>=（2x-5）2,做法正確的是（）

A.3x+l=2x-5B.3x+1=—(2x—5)

C.3x+l=±(2x-5)D.3x+l=±2x-5

3.如果關(guān)于x的方程（x-4『=加-1可以用直接開(kāi)平方法求解，那么小的取值范圍是（）

A.m>lB.m>1C.m>-\D.m>-\

4.用配方法解方程3Y_6X+1=0,則方程可變形為（）

112

A.（x—3）2=—B.3（x—I）2=—C.（3x-1）2=1D.（x—I）2=—

5.三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和3,第三邊的長(zhǎng)是方程2--13x+15=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）

A.—13B.10C.2—5D.廿13或10

222

6.在公式法解方程行一+4百%=2后時(shí)，/一八。的值是（）

A.16B.4C.32D.64

7.若方程（冽-2）--2x+l=0是一元二次方程，則方程的根是（）

A—1+-x/s—1--\/~5DV5—1—y/~5—1

■A.（JC，=,XQ-HM.x,—

12221424

C.玉=號(hào)±%=上手D.以上答案都不對(duì)

8.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程f一7x+12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則該直角三角形斜邊

上的高為（）

A.3B.4C.2.5D.2.4

9.若實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足方程口2+2%）（—+2尤-2）-15=0,那么的值為（）

A.-3或5B.5C.-3D.3或-5

10.對(duì)于一元二次方程辦2+反+。=0（.彳0）,下列說(shuō)法：

①若a-b+c=0,則/TacNO；

②若方程ax?+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax?+6x+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

③若c是方程辦2+6x+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+6+l=0成立；

22

④若飛是一元二次方程ax+bx+c=Q的根，貝lj/-4ac=（2ax0+Z>）

其中正確的：（）

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①②④

二、填空題

11.若關(guān)于x的一元二次方程Y+6X+C=0配方后得到方程（X+3）2=2C,則c的值為.

12.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2X2-4X-3.

13.關(guān)于x的一元二次方程加三+（2機(jī)_l）x-2=0的根的判別式的值等于4,貝1］加=.

14.已知整數(shù)加滿(mǎn)足0<加<13,如果關(guān)于x的一元二次方程無(wú)2-（2〃?_1丈+加2-2心=0的根為有理數(shù)，則加

的值為.

15.將關(guān)于x的一元二次方程x2-px+q=0變形為x2=px-q,就可以將V表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，

從而達(dá)到“降次”的目的，又如丁=》./=苫（8—4）=…，我們將這種方法稱(chēng)為“降次法”，通過(guò)這種方法可以

化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：x2+x-l=0,且x>0.則/_2/+3》的值為.

16.有下列3個(gè)命題：

①方程V-（后+百卜+&=0的根是e'和*.

9

②在“3C中，ZACB=90°,CD_L/B于。.若2。=4,BD=「則CD=3.

③點(diǎn)尸（X/）的坐標(biāo)X，y滿(mǎn)足丁+「+2苫-2>+2=0,若點(diǎn)P也在y=?的圖象上，貝北=-1.

X

上述3個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是.

三、解答題

17.解方程：4X2-2>/3X-1=0

18.解下列一元二次方程：

（1）X2-8X-9=O

(2)3X2-6X+1=0

19.解下列方程：

(1)2X2+4X+1=0(配方法)；

(2)2/+6無(wú)+3=0(公式法)；

(3)X2-2X=8(適當(dāng)?shù)姆椒?；

(4)(x-6『=2(6-x)(適當(dāng)?shù)姆椒?；

20.已知關(guān)于x的一元二次方程/-(左+4h+3+左=0.

(1)求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程恰有一個(gè)根小于0,求人的取值范圍.

21.已知dBC的兩邊48、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程尤2-2(〃-l)x+〃2-2n=0的兩個(gè)根,第三邊2c

的長(zhǎng)是10.

(1)求證：無(wú)論〃取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)"為何值時(shí)，O8C為等腰三角形？

三、一元二次方程的應(yīng)用

列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類(lèi)似：

>“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；

>“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；

>“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。

>“解”就是求出說(shuō)列方程的解；

>“答”就是書(shū)寫(xiě)答案，檢驗(yàn)得出的方程解，舍去不符合實(shí)際意義的方程。

注意：一元二次方程考點(diǎn)：定義的考察；解方程及一元二次方程的應(yīng)用。

四、二次三項(xiàng)式辦?+反+。的因式分解

方法探究：如果方程aX'+bx+C=°僅主°)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:

+竺、X2=i7"4aj那么寫(xiě)出代數(shù)式4(》_再)(%一馬)得

2a2a

tz(x-x1)(x-x2)=〃［工？+X2)X-^-

因?yàn)槠?￡=-=+"2-4陽(yáng)+-6一“2-4這=—2

2a2aCl

=ax2+Z?x+c

上面等式，從右到左就是把a(bǔ)x2+bx+c分解因式.把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a/))分解因式時(shí),

①如果b2-4acK),那么先用公式法求出方程ax2+bx+c=0(aM)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根匹、x2,

再寫(xiě)出分解式ax?+bx+c=a（x-x^x-x2）

②如果b2-4ac〈0,那么方程ax2+bx+c=0（aW0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，ax?+bx+c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分

解因式.

典例引頌

_________?________L*

一、單選題

1.某區(qū)今年7月份工業(yè)生產(chǎn)值達(dá)120億元，7月、8月、9月三個(gè)月總產(chǎn)值為450億元，求8月、9月平均

每月的增長(zhǎng)率是多少？設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)題意得方程為（）

A.120（l+x）*234=450B.120+120（l+x）2=450

C.120（1+X）+120（1+X）2=450D.120+120（l+x）+120（l+x）2=450

2.如圖，在一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的空地上，修建一個(gè)面積為375平方米的矩形臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)一邊靠墻,

另三邊用總長(zhǎng)為55米的柵欄圍成，若設(shè)柵欄的長(zhǎng)為x米，則下列各方程中，符合題意的是（）

墻

DC

AB

A.x（55-2x）=375B.；x（55-2x）=375C.1x（55-x）=375D.x（55-x）=375

3.如圖，矩形相框長(zhǎng)為8cm寬為4cm,四周的邊框?qū)捪嗟龋艺掌拿娣e占總面積的3;，設(shè)四周邊框的寬,

4

是xcm,根據(jù)題意可列方程為（）

13

A.（8x+4x）x2=—x8x4B.（8-2x）（4-2x）=—x8x4

i3

C.（8-2x）（4-2x）=—x8x4D.8x4-8x-4x-4x2=—x8x4

4.參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，參加聚會(huì)的人數(shù)為是（）

A.4AB.5人C.6人D.7人

5.有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳

染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，可列方程為（）

A.l+2x=8B.1+x+x(l+x)=81C.1+x+x2=81D.1+x2=8

6.一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3,則這個(gè)兩位數(shù)是（）

A.25B.36C.25或36D.64

7.如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式"2+3%+4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，那么。的取值范圍是（）

9999

A.0<6?<—B.—C.aN—D.a4—且

16161616

8.如圖是某公園在一長(zhǎng)35加，寬23加的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖

面面積的g,求人行觀景曲橋的寬.若設(shè)人行觀景曲橋的寬為工加，則X滿(mǎn)足的方程為（）

A.（35-x）（23-x）=jx23x35B.（35一x）（23—x）+2/=23x35

C.（35-x）（23-x）=1x23x35D.（35-x）（23-x）=23x35

9.某口罩經(jīng)銷(xiāo)商批發(fā)了一批口罩，進(jìn)貨單價(jià)為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷(xiāo)售80盒.現(xiàn)

準(zhǔn)備提價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價(jià)1元，每周銷(xiāo)量就會(huì)減少2盒，為保護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部

門(mén)規(guī)定，銷(xiāo)售時(shí)利潤(rùn)率不能超過(guò)50%,設(shè)該口罩售價(jià)為每盒x（x>60）元，現(xiàn)在預(yù)算銷(xiāo)售這種口罩每周要獲

得1200元利潤(rùn)，則每盒口罩的售價(jià)應(yīng)定為（）

A.70元B.80元C.70元或80元D.75元

二、填空題

10.若把一個(gè)正方形的一邊增加2cm,另一邊增加1cm,所得的長(zhǎng)方形比原正方形面積多14cm,,設(shè)原正方

形的邊長(zhǎng)為x,則可列方程為.

11.要為一幅長(zhǎng)29cm,寬22cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面

積的四分之一，鏡框邊的寬度應(yīng)是多少厘米？設(shè)鏡框邊的寬度為x厘米，列方程并化為一般形式為：

12.關(guān)于x的方程/-px-q=0的根的判別式是.

1Q

13.已知方程（x+a）（x-4）=0和方程//-］》-2=0的解完全相同，貝1］。=.

14.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2/-3xy-l=

15.有一個(gè)人利用手機(jī)發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過(guò)兩輪信息的發(fā)送，共

有90人手機(jī)上獲得同一條信息，則每輪發(fā)送短信過(guò)程中平均一個(gè)人向人發(fā)送短信.

三、解答題

16.一種筆記本電腦，原來(lái)的售價(jià)是15000元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年的降價(jià)，今年每臺(tái)售價(jià)為12150元，每年降價(jià)

的百分率相同.

（1）年降價(jià)的百分率是多少？

（2）小明是去年購(gòu)買(mǎi)這種筆記本的，那么與今年的售價(jià)相比，他多付了多少元？

17.2022年卡塔爾世界杯即將在本月開(kāi)幕，共有若干支球隊(duì)參賽.第一階段為小組賽，第二階段為淘汰

賽.在小組賽階段，所有參賽球隊(duì)將被分成8個(gè)小組（每組參賽球隊(duì)數(shù)量相同），分別進(jìn)行單循環(huán)賽（兩支

球隊(duì)之間只踢一場(chǎng)），根據(jù)規(guī)則，小組前2名的球隊(duì)順利出線(xiàn)，進(jìn)入淘汰賽.已知本屆世界杯小組賽階段共

有48場(chǎng)比賽，請(qǐng)問(wèn)：共有多少支隊(duì)伍參加比賽？

18.如圖所示，己知墻的長(zhǎng)度是20米，利用墻的一邊，用籬色圍成一個(gè)面積為96平方米的長(zhǎng)方形/BCD,

中間用籬笆分隔出兩個(gè)小長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形隔出一個(gè)1米長(zhǎng)的門(mén)，總共用去34米長(zhǎng)的籬笆，求23的長(zhǎng)

度？

A]Fl'D~

Bp——C

19.全球疫情爆發(fā)時(shí)，醫(yī)療物資極度匱乏，中國(guó)許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情，某工廠

及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)口罩.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線(xiàn)最大產(chǎn)能是1500萬(wàn)個(gè)/天，若每增加1條生

產(chǎn)線(xiàn)，每條生產(chǎn)線(xiàn)的最大產(chǎn)能將減少50萬(wàn)個(gè)/天.現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬(wàn)個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)

又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線(xiàn)越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線(xiàn)？

DkYIry-I-1

20.關(guān)于x的方程V-二匚="■只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求：后的值.

x-1X-xX

21.有一塊長(zhǎng)為。米，寬為b米的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)地上修筑互相垂直的寬都為2米的縱橫小路（陰影

部分），余下的場(chǎng)地建成草坪.

口

|_|」

口

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匚

口

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匚

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