浙江省麗水學院附屬高級中學2025屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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浙江省麗水學院附屬高級中學2025屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家,他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不移動也.合成弦方之冪,開方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機取一個點,此點取自朱方的概率為()A. B. C. D.3.設分別為的三邊的中點,則()A. B. C. D.4.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-85.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的中點M的縱坐標為1,則p=()A.1 B. C.2 D.46.已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或7.已知實數(shù)集,集合,集合,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.29.已知銳角滿足則()A. B. C. D.10.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.11.已知函數(shù)滿足當時,,且當時,;當時,且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知定義在上的可導函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在一次體育水平測試中,甲、乙兩校均有100名學生參加,其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試,給出下列三個結論:①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系不確定.其中,所有正確結論的序號是____________.14.如圖所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ABC=120,四邊形BCC1B1為正方形,且AB=BC=2,則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____.15.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機構為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.若復數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)設為拋物線上任意一點(異于頂點),過做傾斜角互補的兩條直線、,交拋物線于另兩點、,記拋物線在點的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補.18.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:19.(12分)在直角坐標系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.20.(12分)如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.21.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過點.(1)求橢圓的方程;(2)設為的左焦點,點為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,(?。┳C明:平分線段(其中為坐標原點);(ⅱ)當取最小值時,求點的坐標.22.(10分)設的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、.設為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)復數(shù)的運算,求得復數(shù)z,再利用復數(shù)的表示,即可得到復數(shù)對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示,其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.2、C【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點取自朱方的概率為.故選:C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.4、B【解析】

根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎題.5、C【解析】

設直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點M的縱坐標為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達定理是解題的關鍵,屬中檔題.6、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當直線的方程為.,綜上,或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時,一般考慮拋物線的定義.7、A【解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.8、B【解析】

求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.9、C【解析】

利用代入計算即可.【詳解】由已知,,因為銳角,所以,,即.故選:C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用,考查學生的運算能力,是一道基礎題.10、D【解析】

依次將選項中的代入,結合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當時,在上不單調(diào),故A不正確;當時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當時,在上不單調(diào),故C不正確;當時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導公式的應用,是一道容易題.11、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,如圖所示,當時,對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點;當時,要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題,考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想,是一道中檔題.12、A【解析】

構造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當時,,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點睛】本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關系,依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例,故①不正確;因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率,故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率,故②正確;因為不能確定甲乙兩校的男女比例,故不能確定甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系,故③正確.故答案為:②③.【點睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關系,意在考查學生的理解能力和應用能力.14、【解析】

將平移到和相交的位置,解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作,過作,畫出圖像如下圖所示,由于四邊形是平行四邊形,故,所以是所求線線角或其補角.在三角形中,,故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.15、【解析】

記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16、【解析】

先求得復數(shù),再由復數(shù)模的計算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算和求復數(shù)的模,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)題意,設直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結論;(2)根據(jù)題意,設的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進而得到,再利用點差法得直線的斜率,利用切線與導數(shù)的關系得直線的斜率,進而可得與互補.【詳解】(1)由題意設直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設,,設的方程為,與聯(lián)立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用,直線斜率的應用,考查分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.18、(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構造函數(shù),,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因為定義域為,所以,時,,即在和上單調(diào)遞增,當時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結論得證.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導數(shù)證明不等式,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.19、(1),(2)【解析】

先求出,再求圓的半徑和極坐標方程;(2)設求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標方程,得.即圓M的極坐標方程為.(2)設,則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標和極坐標的互化,考查極徑的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系,通過平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面平面是正方形,所以平面.因為平面,所以.因為點在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當點位于的中點時,的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設,記中點為,以為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設平面的法向量為,則令,得.設平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)(2)(ⅰ)見解析(ⅱ)點的坐標為.【解析】

(1)由題意得,再由的關系求出,即可得橢圓的標準方程;(

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