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廣東省番禺區(qū)2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,若,則()A. B. C. D.2.為計(jì)算,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,則空白框中應(yīng)填入()A. B. C. D.3.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.5.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)6.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.7.的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.408.若,則的虛部是()A. B. C. D.9.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種10.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為_(kāi)_______________.14.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.15.如圖是一個(gè)算法流程圖,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則輸入的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____________.16.從分別寫(xiě)有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且.18.(12分)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書(shū)九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫(xiě)出它每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)若不等式在時(shí)恒成立,則的取值范圍是__________.20.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,若.(1)求角的大??;(2)若,為外一點(diǎn),,求四邊形面積的最大值.21.(12分)已知函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和,且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))22.(10分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時(shí),與共線.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.2、A【解析】
根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容.【詳解】由程序框圖的運(yùn)行,可得:S=0,i=0滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=1,S=1,i=1滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…觀察規(guī)律可知:滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此時(shí),應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán),輸出S的值,所以判斷框中的條件應(yīng)是i<1.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán),不滿足條件時(shí)算法結(jié)束,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.4、A【解析】
將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當(dāng)時(shí),代入可得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點(diǎn)斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點(diǎn):1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過(guò)程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過(guò)程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問(wèn)題,通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對(duì)奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對(duì)周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個(gè)定義域上.6、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題、組合幾何體的體積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.7、A【解析】
化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】
通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱(chēng)性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)形式,屬于中檔題..11、C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,為正實(shí)數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實(shí)數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、20【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)程序框圖得到程序功能,結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:程序的功能是計(jì)算,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,此時(shí)無(wú)解.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷,理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.【詳解】從分別寫(xiě)有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,分別為:,,,,,,,,,,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意辨別概率的模型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,,則(1),(1),故曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,又曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在單調(diào)遞減,又,(1),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,由于,(1),(2),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,,單調(diào)遞減,故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且,即,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,由于,故(2),即,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個(gè)法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因?yàn)槭乔虻闹睆剑瑒t,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個(gè)面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,,.M為中點(diǎn),從而.所以,設(shè),則.由,得.由得,即.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、【解析】
原不等式等價(jià)于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,則為上的增
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