中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)與一次函數(shù) 壓軸題練習(xí)（解析版）

A卷18題：【反比例函數(shù)與一次函數(shù)壓軸】專題練習(xí)

1.(2022?成都中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與反比例函數(shù)y=勺的

X

圖象相交于4(。,4),B兩點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作直線NC,交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C,連接3C,當(dāng)線段NC被了軸分成長度比為1:2的兩

部分時(shí)，求的長；

(3)我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形稱為“完美箏形”.設(shè)尸是第三

象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，。是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是完美箏形時(shí)，求尸，。兩點(diǎn)的坐

(2)4夜或平

⑶(-4,-1),(-1,5)

【分析】(1)首先把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入了=-2X+6,即可求得點(diǎn)/的坐標(biāo)，再把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入＞=&,即可

X

求得反比例函數(shù)的解析式，再利用方程組，即可求得點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線/C的解析式為y=fcc+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)為[加直線NC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，把點(diǎn)/、。的

坐標(biāo)分別代入產(chǎn)a+b,可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)為，，+￡],可求得N。、CD的長，再分兩種情況分別計(jì)算，

即可分別求得；

4

(3)方法一：如圖，過點(diǎn)3作尸5,45,父》=—的另一支于點(diǎn)夕，過點(diǎn)。作不軸的平行線，過點(diǎn)3作x軸的

垂線，交于點(diǎn)C,作8c交于點(diǎn)D,設(shè)80,4P交于點(diǎn)刊，根據(jù)A/DBSABCP,求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)

而求得4P的解析式，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)定義N0=AS以及M在直線4戶上，建立方程組，即可

求得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入了=-2%+6,

得4=-2°+6,解得a=l,

故點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4),

k

把點(diǎn)4的坐標(biāo)代入丁=一，

x

得k=4,

4

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹=—,

x

y=-2x+6

<4，

y=-

IX

得f—3x+2=0，

解得%=1,馬=2,

故點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(2,2)；

(2)解：設(shè)直線NC的解析式為產(chǎn)區(qū)+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)為[相，:)直線/C與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，

把點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別代入^=履+6,得

%+6=4

<774，

mk+b=一

、m

k=~—

解得m,

6=4+3

、m

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(o,4+\J,

"=J(OT『+[4+:4]

CD=.(m-O)2+f—-4-—1=J/+16,

Vm)

如圖：當(dāng)/O:CD=1:2時(shí)，連接BC,

解得加2=4或加2=—16（舍去），

故加二-2或冽=2（舍去），

故此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?2,?2）,

/.BC=J（-2-2/+（—2-2『二彳夜,

2+16_1]A

得I詔―2，得4加2_版+63=0,

V加2

得癡+63m2-16=0,

解得加2=_^或療=_]6（舍去），

故機(jī)=一；或加=；（舍去），

故此時(shí)點(diǎn)c的坐標(biāo)為1-g,-q,

+（「）丁孚

綜上，8C的長為4逝或%收；

4

（3）解：如圖，過點(diǎn)5作尸8,力8,交丁二一的另一支于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作入軸的平行線，過點(diǎn)8作工軸的

x

垂線，交于點(diǎn)C,作/。工8C交于點(diǎn)。，設(shè)8。,/月交于點(diǎn)新，如圖

。（2,4）

設(shè)尸機(jī),3,m<Q,則尸C=2—用,8C=2—2,。8=2,4。=1

Vrn）m

-ZABP=90°

/./ABD=90°-ZPBC=ZBPC

又/D=/C

「?AADBS^BCP

.AD_DB

'~BC~~PC

1_2

即D42—m

z-----

m

解得冽=-4或冽=2（舍去）

則點(diǎn)P（-4,一1）

設(shè)直線PN的解析式為y=sx+r,將點(diǎn)/(1,4),尸(-4,-1)

(~4s+t=-1

[s+/=4

[s=1

解得*.

:?直線尸/的解析式為x+3

設(shè)QS，6)，根據(jù)題意，2。的中點(diǎn)M在直線P8上，則M

QA=AB=ylAD2+DB2=V22+l2=也

a+2,b+2

------+3=-------

則《22

("1)2+(1)2=5

[<7=-1[a=0

解得八〈或入〃(在直線N8上，舍去)

\b=5p=6

■■.2(-1,5).

綜上所述,^(-4,-1),2(-1,5).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，平

面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，采用分類討論的思想和待定系數(shù)法求

解析式是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2022?四川省成都市七中育才學(xué)校二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+b經(jīng)過點(diǎn)-1,0),

k

與>軸正半軸交于8點(diǎn)，與反比例函數(shù)V=-(x>0)交于點(diǎn)C,且4C=348,AD〃x軸交反比例函數(shù)

(2)如圖1,若點(diǎn)￡為線段3c上一點(diǎn)，設(shè)E的橫坐標(biāo)為加，過點(diǎn)E作E尸〃3。，交反比例函數(shù)y=&(x>0)

X

于點(diǎn)F.若=求相的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接陽并延長，交x軸于點(diǎn)G,連接OD,在直線OD上方是否存在點(diǎn)”，

使得與AODG相似(不含全等)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)3,18

(2)m=l

(3)存在，0，勺或口⑶或色彳"1^，，

【分析】(1)將點(diǎn)A代入一次函數(shù)求出6的值，然后根據(jù)NC=3/8求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出反比例函

數(shù)的解析式；

(2)將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入>=3x+3,求出縱坐標(biāo)，根據(jù)斯〃8。即可知道廠的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的

解析式，求出廠的橫坐標(biāo)，即可表示出E尸的長度，同理將8點(diǎn)縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出。點(diǎn)橫坐標(biāo)，

從而表示出BD的長，根據(jù)EF=；BD列方程即可求解加的值；

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，需要分三種情況，當(dāng)/HO￡>=/DOG時(shí)，當(dāng)/"OD=/DG。時(shí)，當(dāng)

=時(shí)三種情況，分別畫出圖形，列出等式求解即可.

(1)

作CMLx軸于如圖1：

圖1

???ZBOA=ZCMA,ZBAO=ZCAM,

/.ABOAsKMA,

?.?直線y=3x+b經(jīng)過點(diǎn)

—3+b=0,

解得6=3,

???直線解析式為：V=3X+3,

???5(0,3),

AC=3ABf

CM=3BO=9,AM=30A=3,

.??C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=8,

得左=18.

（2）

BD//x軸,

1Q

.:。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,代入了=一,

X

得x=6,

?：￡＞點(diǎn)坐標(biāo)為（6,3）,

將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=3x+3,

得》=3加+3,

???EF//BD

二."點(diǎn)縱坐標(biāo)為3加+3,

418

代入戶一，

x

得X=；,

m+1

：.F點(diǎn)坐標(biāo)為［—^―,3加+31，

I機(jī)+1）

-EF=-BD,

3

61，

------771=—X0,

m+1-----3

解方程得加=1或-4（舍），

:.m=\.

（3）

存在，理由如下：

如圖2,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)。，

由⑵知。（3,6）,尸（6,3）,

直線FD的解析式為：y=-x+9,00=6,00=3,

0G=9,

-DQ.G0=3,

ZQGD=ZQDG=45°.

OD=3y/5,DG=372.

I、當(dāng)/〃OD=NOOG時(shí)，如圖2所示，設(shè)BD與OH交于點(diǎn)、P,

，ZBDO=ZDOG,

ZBDO=ZHOD,

:.OP=PD,

設(shè)OP=m,則BP=6-m,

在必AOBP中，由勾股定理可得，32+m2=(6-m)2,解得加=，；

4

???直線OP的解析式為：y=§x；

①若AODGSAODH,則OD：OD=OG：OH=l,不符合題意，舍去;

②若AODGSAOHD,

OD：OH=OG：OD,即3A/5：OH=9：3舊,

解得麗=5,

設(shè)“(3/,包，

⑶。+(4爐=52,

解得"1,負(fù)值舍去，

.??”(3,4)；

II、當(dāng)時(shí)，

圖3

①若AODGSADHO,如圖4,

ZDOG=ZODH,DG：OH=OG：DO,

:.DHHOG,即點(diǎn)〃在2。上，3亞：OH=9：36,

:.0H=屈,

BH=1,

???”(1,3),直線OH的解析式為：y=3x；

②若"DGsAHDO,

:.DG：OD=OG：OH,即3后：3A/5=9：OH,

解得OH=為低，

2

設(shè)

9

解得"5,負(fù)值舍去，

，直線S的解析式為：＞=—x；

①若AODGsADOH,則。OD=OG：DH=\,不符合題意，舍去;

②若AODGSAHOD,如圖5,

OD：OH=DG：OD,即36：OH=3c:375，

解得OH="也，

2

設(shè)H&f,

.?/2+（T）2=（qi）2,

解得/=-￡,正值舍去，

【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類

討論思想；用坐標(biāo)表示線段長度，然后列方程是解決這類試題的關(guān)鍵.

3.(2022?四川成都?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-與反比例函數(shù)夕=色的圖象交于A

2x

(2,m),3兩點(diǎn).

圖1圖2

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,過點(diǎn)/的直線分別與x軸，了軸交于點(diǎn)“，N,若AM=MN,連接求△ZBM的面積；

k

(3)如圖2,以為邊作平行四邊形/BCD,點(diǎn)。在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=—(左V0)的

x

圖象上，線段與反比例函數(shù)>=右(左<0)的圖象交于點(diǎn)E,若空=；,求左的值.

xAE1

【答案】(1%=-1x+4

(2)7

⑶-3

【分析】(1)將/(2,加)代入直線>=-與反比例函數(shù)y=￡,可得答案；

2X

(2)首先求出交點(diǎn)2的坐標(biāo)，過點(diǎn)/作軸于尸，利用△MWs/^vp/,可得?！钡拈L，從而得出

的長，再計(jì)算S^ABM=SAADM-S4BDM即可；

(3)設(shè)C(0,。)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得。(-4,。+2),過。作x軸的平行線/,過點(diǎn)4￡作/

的垂線，垂足分別為G,H,根據(jù)△DEGs△￡>/”,表示出點(diǎn)￡的坐標(biāo)，從而得出方程解決問題.

(1)

解：當(dāng)x=2時(shí)，反比例函數(shù)y=g=3,

：.A(2,3),

將點(diǎn)/(2,3)代入y=-yx+b,得

3=-yx2+b,

解得：6=4,

一次函數(shù)的解析式為y=-yx+4；

(2)

解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得

14

y=——x+4

玉=2X=6

/2,解得:2

6/=3%=1

y

X

???8(6,1),

當(dāng)y=0時(shí)，-1~x+4=0,

.*.x=8,

AD(8,0),

過點(diǎn)4作4尸，歹軸于尸，

圖1

9：OM//AP,

：.ANOMsANPA,

.OMMN

,?AP~AN'

VAP=2,AM=MN,

,OM_1

??一,

22

OM=1,

:.MD=7,

：.S^ABM=S^ADM-SABDM=；x7x(3-l)=7；

(3)

設(shè)C(0,a),

?/四邊形N3CD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

:.D(-4,a+2),

過。作x軸的平行線/,過點(diǎn)/,垂足分別為G,H,

：./AHD=ZEGD,NEDG=ZADH,

：.△DEGs^DAH,

.DGEGDE_1

''DH~AH~AD~3'

,1111

..DG——DH—2,EG=—AH--------a,

3333

27

...點(diǎn)￡(-2,—ClH—),

33

■:點(diǎn)D、E都在反比例函數(shù)尸與上，

27

-2X(—dH—)=-4(a+2)，

33

解得。=-

4

：.k=-4(a+2)=-4X(--+2)=-3.

4

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)

圖象的交點(diǎn)問題，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題

的關(guān)鍵.

4.(2022?四川成都?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線尸-gx+3與x軸、y軸分別交于尸，E

兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)歹=；(》>0)的圖象交于點(diǎn)4(3,々)和點(diǎn)叢

圖1備用圖

(1)求反比例函數(shù)解析式和B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,連接CM,尸為線段。尸上一點(diǎn)，使得S△4求P點(diǎn)坐標(biāo)；

9

(3)在反比例函數(shù)y=5(x>0)圖象上是否存在一點(diǎn)M(不與/重合)，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C,

。兩點(diǎn)，使得以4C,尸為頂點(diǎn)的三角形與VADE相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)直線的解析式；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)夕=9;3(6,1)

(2*(4,0)

(3)存在，y=-3x+11

【分析】(1)把點(diǎn)力的坐標(biāo)代入直線解析式即可求得點(diǎn)力的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)即可求得反比例函數(shù)

的解析式；設(shè)點(diǎn)2口,-；1+3)代入反比例函數(shù)中，可求得點(diǎn)8坐標(biāo)；

(2)由直線解析式可求得￡、廠兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積關(guān)系及割補(bǔ)思想即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)“，利用相似三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得直線的解析式.

(1)

由題意，把點(diǎn)/坐標(biāo)代入直線y=-gx+3中，得：a=-1x3+3=2,

即4(3,2)；

把點(diǎn)/代入反比例函數(shù)解析式中得：左=2x3=6,

...反比例函數(shù)的解析式為＞=9；

X

設(shè)點(diǎn)+代入反比例函數(shù)了=：中，得：x(-；x+3]=6,

解得：項(xiàng)=6,々=3(舍去)，

則_gx6+3=l,

.?.點(diǎn)2坐標(biāo)為(6,1)；

(2)

如圖，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a,0).

在直線N=-;x+3中，令產(chǎn)0,得產(chǎn)3；令產(chǎn)0,得x=9,

即E(0,3),F(9,0)；

191

X

S△&AOc/zEs=—2x3x3=—2,S△AAuOrF=2—9X2=9,

?SAPAB=gSAOAE，SAPAB=S“OF-SAAOP-S&BPF，

1159

A9——ax2——(9-tz)xl=-x-,

2292

Q=4,

即點(diǎn)尸坐標(biāo)為(4,0)；

(3)

存在；

過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)H

當(dāng)NCDO=N4/。時(shí)，

/DAE=NFAC,

：.ADAEsAFAC,

VZDOC=ZFOE=90°,

/.△DOCsBOE,

.OPOF9

''~OC~~OE~3~

即OD=3OC；

,JAH//OD,

：.AAHCsADOC,

.AH_0D

??一—3,

HCOC

即AH=3HC；

??Z(3,2)

：.OH=3,AH=2,

：.HC=-AH=~,

33

211

.??OC=OH+HC=3+-=—,

33

即點(diǎn)C坐標(biāo)為

設(shè)直線的解析式為y=去+b,

3左+6=2

由題意得：,11,,八,

——k+b=O

[3

解得:

6=11

直線NM的解析式為N=-3x+ll.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合，考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三

角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)

鍵.

k

5.（2022?四川成都?二模）如圖1,一次函數(shù)/=-3》+12的圖象與反比例函數(shù)＞=—（左＞0）的圖象相交于

（1）當(dāng)人=9時(shí)，求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P,使』上43是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三

角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2,連接/。并延長交反比例函數(shù)＞=&（左＞0）圖象的另一支于點(diǎn)C,連接8C交y軸于點(diǎn)G.若

X

||=2,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

CG

【答案】⑴/(1,9),B(3,3)

(2)(-9,-1)

32

9

【分析】（1）把心9代入反比例解析式，得尸三，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得方程組，求解即可；

x

（2）當(dāng)N4BP=90。，過點(diǎn)3作于證明求出M坐標(biāo)，再求直線BM交點(diǎn)、

即可；

BsBG

（3）過點(diǎn)5作5S_Ly軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)。作CTUy軸于點(diǎn)T,證△CTGSZ\5SG,得一=——=2,所以

CTGC

kkkkk

BS=2CT,設(shè)C（-加,---），B（2m,~一），則4（加，一），把4（冽，一），B（2m,--）代入^=-31+12,得

m2mmm2m

?！璳

-3m+12=一

m

＜7,解之求出左值即可.

-6m+l2=----

、2m

(1)

9

解：當(dāng)Q9時(shí)，則反比例函數(shù)解析式為y=—,

x

7=3+12r1(3

聯(lián)立得9,解得:0,2°

y=-〔耳=91%=3

IX

：A在3的左側(cè)，

：.A(1,9),B(3,3)；

(2)

：.OH=3,BH=3,

由(2)①知0E=4,

：.HE=1,

；BH_LOE于H,

：.ZBHE=90°,

由勾股定理，得BE=YJBH2+HE2="+F=V10，

ZBHE=ZEBM=90°,

,：/BEH=/MEB,

：.ABHEsAMBE,

.B^_HE_mV101

ME~BE'ME一回

：.ME=10,

：.OM=ME-OE=10-4=6,,

：.M(-6,0),

設(shè)直線BM解析式為：y=mx+n，

1

-6m+n=0m=—

,解得:3,

3加+〃=3

n=2

二直線/N解析式為：歹=；x+2,

1c

y=—x+2

3xx=-9x2=3

聯(lián)立,解得:

9必二T力=3

歹二一

：.P(-9,-1)；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-9,-1).

(3)

解：過點(diǎn)3作軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)C作CTUy軸于點(diǎn)T,

:.^CTGs叢BSG,

,BSBG

??------------=2,

CTGC

：.BS=2CT,

kk

設(shè)C(-冽,)，5(2m,—),

m2加

???點(diǎn)4、。在反比例函數(shù)圖象上，4C過原點(diǎn),

???點(diǎn)/與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.\A(m,一),

m

把4(m,1),5(2冽代入尸-3x+12,得

m2m

4

-3m+12=—m=-

\，解得:3

-6m+12=—

2m

32

反比例函數(shù)的表達(dá)式為：尸w=

x3x

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確

的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2022?四川成都?二模)如圖，一次函數(shù)歹=丘-4左的圖象與x軸、了軸分別交于點(diǎn)/、點(diǎn)3與反比例

2

函數(shù)y=Jx>0)的圖象交于點(diǎn)C、點(diǎn)D

(1)直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)作軸于E,作。尸_Lx軸于尸.連接E尸，求證：EF//CD,

⑶若點(diǎn)N在x軸上，且滿足/CND=90。的N點(diǎn)有且只有一個(gè)，求人的值.

【答案】(1)(4,0)

⑵見詳解

(3次的值為-1

【分析】(1)一次函數(shù)了=依-4左，令尸0,解方程可得x的值，可得點(diǎn)2的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為孫n,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)，可得加+力=4,由題意可得點(diǎn)/的

OFnOF

坐標(biāo)為(0,-4左)，可得=：==,進(jìn)而可證瓦7/CD；

7O7AT4OB

CPPN

(3)過點(diǎn)C、。分別作CP、DQ垂直于x軸，易得ACNPs4NDQ,可得而=而，設(shè)N(x,0),代

入可得關(guān)于尤的一元二次方程，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏狞c(diǎn)N,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得左的值.

(1)

解：點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)

點(diǎn)8為一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，kx-4k=Q,x=4,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0).

(2)

2

證明：一次函數(shù)歹=h-4后的圖象與反比例函數(shù)>=((x>0)的圖象交于點(diǎn)°、點(diǎn)。兩點(diǎn),

2

kx—4k——,

x

kx2—4Ax—2=0，

設(shè)點(diǎn)。、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為加，n,

則m+n=4,

如圖，由點(diǎn)C是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，

2

**?點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為一，

m

22

代入一次函數(shù)解析式得：—=km—4k,則左二1―-,

mm(rn—4)

由題意可得，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,-4左)，

2_

OE_~m_1_1_m-4

，示―與—_2加左—2m2—4'

又m+n=4,

m-4=-n,

.OE_m-4_-n_n

，U~OA~-4~^4~4

OFnOE

2

解：一次函數(shù)歹=履-4左的圖象與反比例函數(shù)歹=((x〉0)的圖象交于點(diǎn)。、點(diǎn)。兩點(diǎn),

2

kx-4k=—,

x

**.kx1—Akx—2=0,

設(shè)點(diǎn)C、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為加，n

貝!Jm+〃=4,mn=—

k

如圖，過點(diǎn)C、D分別作CP、DQ垂直于X軸,

O\PNQ4x

當(dāng)ZCND=90°時(shí)，ZCNP+ZDNQ=90°,

又/CNP+/NCP=90°,

ZNCP=ZDNQ,

:ACNPs叢NDQ,

.CPNP

,?而一而‘

設(shè)N(x,0),

2_

r,x-m

則一^m=—,

n—x/

-x2+(加+n)x-mn=—,

mn

7

即X1-Ax——2左=0,

2X

當(dāng)△=(_4)9一4(——2左)=16+—+8左=0時(shí),

kk

即4-1時(shí)，滿足/。\。=90。的N點(diǎn)有且只有一個(gè)

即左的值為-1.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，比例線段等，綜合分析問題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?四川成都?二模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OA8C的邊04,OC分別在x軸和>軸

上，頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)>=々》>0）的圖象經(jīng)過對(duì)角線?的中點(diǎn)￡,與矩形的邊8C,氏4分

X

別交于點(diǎn)尸，G,設(shè)直線尸G的函數(shù)表達(dá)式為了="+以

備用圖

k

(2)利用圖象，直接寫出當(dāng)G+64—時(shí)x的取值范圍;

X

⑶若點(diǎn)P在矩形的邊。/上，且△PPG為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴發(fā)《，

(2)0<xVl或xZ4

小，。］或

：,0)或(4一而,0).

(3)

k2)

【分析】(過點(diǎn)作于點(diǎn)先證明則篇=黑=器=!

1)EAOMESAOCB,然后求出點(diǎn)

(JBnCC/C2

E的坐標(biāo)；然后再求出點(diǎn)尸G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出答案；

(2)利用圖像法，即可求出辦+64公時(shí)x的取值范圍；

X

(3)由題意，可分為3種情況進(jìn)行分析：當(dāng)G/=尸尸時(shí)；當(dāng)尸尸=PG時(shí)；當(dāng)G/=PG時(shí);分別求出每一

種情況的答案即可.

(1)

NOME=ZOCB=90°,ZMOE=ZCOB.

AOMES^OCB.

點(diǎn)片為對(duì)角線03的中點(diǎn),

,OEMEOM\

"'OB~^C~~OC~2,

V5(4,2),

OM=—OC=1,EM=—BC=2.

22

???E(2,l).

??,反比例函數(shù)歹="a〉o)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,

x

k

.\1=-,即左=2.

2

2

???、=一.

x

??,點(diǎn)RG分別在矩形的邊5。,區(qū)4上，

???設(shè)廠(加,2),G(4/).

2

???點(diǎn)R6在歹=一上，

x

m=l,n=—.

2

尸(1,2),G(4,\.

將尸(1,2),G(4,.分別代入廣辦+b得：

a+b=2

I4a+b7=—1，

I2

1

a=——

解得J,

b=-

l2

?15

,?y——xH—.

22

k=2,a——,b=一.

22

(2)

解：?.?歹(1,2),63，，

...結(jié)合圖象可知：當(dāng)0<xWl或X之4時(shí)，^ax+b<~.

X

(3)

解：：△PPG為等腰三角形，設(shè)尸(x,0),

V尸(l,2),G［4,g］,

GF2=9+1=y,PF2=(x-1)2+4,PG2=(x-4)2+.

45

當(dāng)GP=P尸時(shí)，y=(X-1)2+4,

解得：x=絲.(負(fù)值舍去)

2

當(dāng)尸尸=PG時(shí)，同理可得：x=—.

8

當(dāng)GA=PG時(shí)，同理可得x=4土而.(4+a1舍去)

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［"g,。］或0］或(4-而,0).

12J18J

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，等腰三角形

的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析.

8.(2022?四川成都?二模)如圖，直線>=2x與反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象交于點(diǎn)/(加,6),以。4為邊

作出AA8。，使點(diǎn)B在第二象限，ZAOB=90°,AO=2BO.

X

(2)求直線的表達(dá)式；

k

(3)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)》=：(%<0)與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求NBOC的面積.

1Q

【答案】⑴V—

315

⑵尸產(chǎn)了;

【分析】(1)先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,6),再代入反比例函數(shù)丁=?(x>0)即可求出勺=18；

(2)過A作軸，垂足為點(diǎn)。，過8作軸，垂足為點(diǎn)￡,證明ABOESAOAD,根據(jù)相似的

性質(zhì)得到813,1),根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線45的解析式；

(3)求出反比例函數(shù)>=幺的表達(dá)式為>=-之，與直線N8聯(lián)立方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)43交7軸于

x2x

F,則則O尸=9,利用割補(bǔ)法即可求出ASOC的面積.

(1)

角軍：把4(機(jī),6)帶入y=2x得6=2加，

m=3,

二/(3,6),

把A(m,6)帶入反比例函數(shù)y=\(x>0)得6=g,

《=18,

1o

反比例函數(shù)的表達(dá)式為""；

X

(2)

解：過A作4D_Lx軸，垂足為點(diǎn)。，過8作8瓦Lx軸，垂足為點(diǎn)E,

???N4=N5=90°,N2+N3=90°,

IZAOB=90°，

???Zl+Z2=90°,

???N1=N3,

fZ4=Z5

在MOE和AO4。中〈八「，

=N3

^BOESAOAD,

,BEEO_BO

"'OD~^A~~OA，

.BE_EO

??—―，

362

3

:.BE=—,EO=3,

設(shè)直線45的解析式為V=b+"

/3、3左+6=6

把點(diǎn)/(3,6),8-3,不代入得-3,

k2)-3k+b=—

解得；

b=—

I4

315

???直線"的解析式為廣片+了;

(3)

解：把《-3,3帶入反比例函數(shù)y=}(x<0)得心=-|,

反比例函數(shù)”^的表達(dá)式為>=-2,

x2x

石二—3

3

設(shè)N8交y軸于尸，則尸則OF^―

4

：.NBOC的面積=！x"x3-』x"義2="

24248

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查了相似等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)知識(shí)，添加輔

助線，構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵.

9.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+6經(jīng)過點(diǎn)/(-1,0),與夕軸正

左k

半軸交于5點(diǎn)，與反比例函數(shù)>=一(x>0)交于點(diǎn)C,S.AC=3AB,AD〃x軸交反比例函數(shù)〉=一(x>

xx

0)于點(diǎn)D.

⑴求直線y=3x+6的表達(dá)式;

⑵求人的值.

k

(3)若點(diǎn)E為射線2c上一點(diǎn)，設(shè)E的橫坐標(biāo)為機(jī)，過點(diǎn),E作EF〃BD,交反比例函數(shù)>=一(x>0)于點(diǎn)

x

F.若EF=；BD,求m的值.

【答案】(l?=3x+3

(2)418

(3)m=l或1+廠

【分析】(1)將點(diǎn)/代入一次函數(shù)求出6的值，即可求得一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)NC=3/2,結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；

(3)將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=3x+3,求出縱坐標(biāo)，根據(jù)防〃即可知道尸的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的

解析式，求出廠的橫坐標(biāo)，即可表示出￡尸的長度，同理將8點(diǎn)縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出。點(diǎn)橫坐標(biāo)，

從而表示出BD的長，根據(jù)8。列方程即可求解加的值.

(1)

解：：直線尸3x+b經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),

.,.-3+6=0,

解得6=3,

?,?直線解析式為：y=3x+3；

(2)

作C〃J_x軸于“，如圖所示：

VZBOA=ZCHA,ZBAO=ZCAH,

：.△BOAs^CHA,

...由（1）可知點(diǎn)2（0,3）,

；AC=3AB,

：.CH=3BO=9,4H=304=3,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,9）,

???將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=X,得QI8.

X

（3）

,??瓦）〃次軸,

1Q

???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為3,代入y=一,得尸6,

x

二點(diǎn)。坐標(biāo)為（6,3）,

將點(diǎn)E橫坐標(biāo)代入y=3x+3,

得產(chǎn)3冽+3,

?：EF〃BD,

???點(diǎn)/縱坐標(biāo)為3加+3,

,;BD=6,EF=-BD

39

???點(diǎn)T7坐標(biāo)為（m+2,3m+3）或（冽-2,3冽+3）,

.?.（加+2）（3加+3）=18①或（加—2）（3加+3）=18②

解方程①得m=l或-4,

解方程②得機(jī)=上叵，

2

??,點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn),

?1—p.1+、33

..m=l或------.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，用坐標(biāo)表示線段長度，然后列方程是解決這類試題的

關(guān)鍵.

10.（2022?四川成都?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象

上（點(diǎn)3在點(diǎn)A右側(cè)），過點(diǎn)A作X軸的平行線，過點(diǎn)B作歹軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)C,OC交4B于

點(diǎn)、E,過點(diǎn)B作8O〃x軸交OC于點(diǎn)。，連接4D.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為加.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線0C的表達(dá)式(直線OC表達(dá)式用含加的式子表示);

⑵求證：四邊形為矩形；

(3)若44OC=2乙4c。，求加的值.

【答案】(1)/(1,1),OD的表達(dá)式為〉

m

(2)見解析

⑶2+百

【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為冽，分別求得點(diǎn)43的坐

標(biāo)，然后求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得直線。。的表達(dá)式；

(2)根據(jù)直線0C的解析式，求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而證明/DIB。，結(jié)合BCLBD,/C/BC即可證明

ADBC是矩形；

(3)根據(jù)題意可得4。=/￡,求得點(diǎn)￡的坐標(biāo)，即可求得加的值.

(1)

???點(diǎn)A,8在反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為心，

??,/C〃x軸，軸,

:.ACLBC,

???3C〃y軸，AD〃x軸，

/.BCLBD,

設(shè)直線OC的表達(dá)式為y=kx,則1=碗，

解得左=L

m

直線OC的表達(dá)式為V=Lx；

m

(2)

?.,。在歹=4■上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為機(jī).軸,

/.40〃y軸，

AD1BD,

■:BC1BD,AC1BC,

ZADB=ZDBC=/ACB=90°,

.??四邊形/CB。為矩形；

(3)

v四邊形為矩形；

AE=CE

ZEAC=ZECA

NAEO=2ZACO

yZAOC=2ZACO

ZAEO=ZAOC

:.AO=AE

??T（l」），5m,—

m

1+m\+m

2'2m

AO=41+1=42,AE=

角牟得"？=2+行或機(jī)=2-g或加=-1（舍）

???點(diǎn)8在點(diǎn)A右側(cè)，則/77>1,

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，矩形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，勾股定理，數(shù)形結(jié)合是解

題的關(guān)鍵.

II.（2022?四川成都?二模）如圖，點(diǎn)和點(diǎn)3是反比例函數(shù)必=?后>0,x>0）圖象上的兩點(diǎn)，一次

函數(shù)>2="+2（。wo）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與歹軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作軸，垂足為。，連接

OA.OB.已知AOAC與AOBD的面積滿足S^OAC:S^OBD=2:3.

⑴求AQ4c的面積和k的值；

(2)求直線NC的表達(dá)式；

⑶過點(diǎn)B的直線分別交x軸和V軸于兩點(diǎn)，NB=2MB,若點(diǎn)尸為NMON的平分線上一點(diǎn)，且滿

足OP1=OM>ON,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)],3

(2)%=x+2

【分析】(1)首先可知C的坐標(biāo)，從而得出△O/C的面積，再根據(jù)工。數(shù)：4。皿=2：3得工。處的值，則可

根據(jù)反比例函數(shù)的人的幾何定理，即可解答；

(2)由點(diǎn)/(I,加)在反比例函數(shù)圖象上，代入/點(diǎn)坐標(biāo)求出機(jī)值，從而得出/點(diǎn)坐標(biāo)，則可利用待定系數(shù)

法求直線NC解析式；

(3)設(shè)2(a,b),分兩種情況討論，即點(diǎn)N在〉軸正半軸上或點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸，分別根據(jù)相似三角形的

判定與性質(zhì)求出和ON的長，從而得出OP的長，即可得出答案.

(1)

解：(1):一次函數(shù)》=◎+2與〉軸交于C,

.,.C(0,2),

OC=2,

S

AU/iL=—2x2x2x1=1,

?^\OAC-SbOBD=2?3，

?S-I

,,QQBD-2'

..?點(diǎn)8在反比例函數(shù)弘=幺上，

X

3?

左=2x—=3；

2

(2)

3

解：???點(diǎn)4(1,加)在反比例函數(shù)弘=一上，

x

m=3,

???力(I,3),

將/(I,3)代入一次函數(shù)”="+2得，

。+2=3,

a=l,

一次函數(shù)為=x+2；

(3)

解：設(shè)b)，

當(dāng)點(diǎn)N在了軸正半軸上時(shí)，作AWLy軸于〃,

當(dāng)點(diǎn)N在了軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖,

同理可得，OM=；BH=~a，ON=OH=b,

???OP=JOMxON=jgaxb,

???點(diǎn)P為/MON的平分線上一點(diǎn)，

???ZMON=90°,

???點(diǎn)P到x軸和歹軸的距離相等為且，

2

綜上所述，尸（孚，孚］或.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了