《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版-人教版1

知識(shí)回顧剩余類定理

若a,b,c為任意3個(gè)整數(shù)，m為正整數(shù)，且(m,c)=1,則當(dāng)ac≡bc(modm)時(shí)，有a≡b(modm)

如果a,b,c,d是四個(gè)整數(shù)，且a≡b(modm),c≡d(mod

m),則有ac≡bd(modm).

同余定理導(dǎo)入新課

上一講我們講了剩余類，剩余環(huán)并知道了它的運(yùn)算法則.剩余類乘法：[a][b]=[ɑb]在整數(shù)集模6的剩余環(huán)中[2][4]=[8]=[2][8][9]=[72]=[0][2][4][9]=[72]=[0]當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)，模n的剩余類環(huán)中無零因子.·[0][1][2][3][4][0][1][2][3][4]由以前學(xué)的知識(shí)在填寫模5剩余環(huán).[0][0][0][0][0][0][0][0][0][1][2][3][4][2][3][4][4][1][3][1][3][4][2][2][1]模7剩余環(huán)[07]=

.[17]=

.[27]=

.[37]=

.[47]=

.[57]=

.[67]=

.[05]=

.[15]=

.[25]=

.[35]=

.[45]=

.[03]=

.[13]=

.[23]=

.模5剩余環(huán)模3剩余環(huán)[6][5][4][3][2][0][1][4][3][2][0][1][2][0][1]對(duì)合數(shù)上述規(guī)律是否依然成立？找規(guī)律觀察一第三節(jié)費(fèi)馬小定理和歐拉定理第二講同余與同余方程教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力1.理解費(fèi)馬小定理和歐拉定理的內(nèi)容與證明過程.2.能夠運(yùn)用費(fèi)馬小定理和歐拉定理簡(jiǎn)化數(shù)論中的一些計(jì)算問題.情感態(tài)度與價(jià)值觀過程與方法1.通過舉例對(duì)比總結(jié)費(fèi)馬小定理和歐拉定理的定義.2.由以前學(xué)過的知識(shí)，對(duì)費(fèi)馬小定理和歐拉定理進(jìn)行證明.

認(rèn)識(shí)費(fèi)馬小定理和歐拉定理的歷史及地位和作用.教學(xué)重難點(diǎn)1.歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì).

費(fèi)馬小定理和歐拉定理的證明過程，以及靈活運(yùn)用這兩個(gè)定理簡(jiǎn)化數(shù)論中的一些計(jì)算.

重點(diǎn)難點(diǎn)2.歐拉定理、Fermat小定理，循環(huán)小數(shù)的判定條件.科普知識(shí)

瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉,是數(shù)學(xué)史上的最多的數(shù)學(xué)家,他畢生從事數(shù)學(xué)研究,他的論著幾乎涉及18世紀(jì)所以的數(shù)學(xué)分支.比如數(shù)學(xué)中的歐拉公式,歐拉方程.歐拉常數(shù),歐拉方法.歐拉猜想等.歐拉晚年不幸雙目失明，失明后的17年，他還口述署了幾本書和約400篇論．費(fèi)馬生于法國(guó)南部

，貢獻(xiàn)包括：與笛卡爾共同創(chuàng)立了解析幾何；創(chuàng)造了作曲線切線的方法

.最有名的是費(fèi)馬大定理，即不可能有滿足xn+yn=zn，n>2的正整數(shù)x，y，z，n存在.費(fèi)馬小定理是費(fèi)馬在1640年提出.科普知識(shí)

通過觀察一，我們得到模7剩余環(huán)、模5剩余環(huán)、模3剩余環(huán)的規(guī)律，又由于3、5、7都是素?cái)?shù)，我們猜想：

費(fèi)馬小定理設(shè)m為素?cái)?shù)，ɑ為任意整數(shù)，實(shí)例例一、若a=3，m=7，則am-1≡1（modm）成立否.解：有以前的知識(shí)我們知道3×1≡3（mod7）3×2≡6（mod7）3×3≡2（mod7）3×4≡5（mod7）3×5≡1（mod7）3×6≡4（mod7）則：36×6！≡6?。╩od7）.(1)又因?yàn)椋?6!,5)=1(2)所以：36≡1（mod7）即：am-1≡1（modm）分析在例一的解析中我們用到了以前學(xué)習(xí)的知識(shí).(1)中用到了等式左邊相乘等于等式右邊相乘.(2)中用到了同余的性質(zhì)“若ɑb≡ɑc（modn），且（ɑ，n）=1，則b≡c（modn）”.

例一的解析符合費(fèi)馬小定理，下面我們用通式對(duì)費(fèi)馬小定理給予證明.設(shè)An=a,2a,3a,4a……(p-1)a

假設(shè)An中有2項(xiàng)ma,na

被p除以后余數(shù)是相同得ma=na(modp)即a(m-n)=0(modp)因?yàn)閍和p互質(zhì),所以m-n=0(modp)又因?yàn)閙,n屬于集合{1,2,3..p-1}且m不等于n

所以m-n不可能是p的倍數(shù).推出和假設(shè)產(chǎn)生矛盾.證明所以An中任意2項(xiàng)被p除得到的余數(shù)都不同又因?yàn)閷?duì)于任一個(gè)整數(shù)被p除以后的余數(shù)最多有p-1個(gè),分別是1,2,3,….p-1而數(shù)列An中恰好有p-1個(gè)數(shù),所以數(shù)列中的數(shù)被p除以后的余數(shù)一定正好包含所有的1,2,3,4,5….

p-1所以

a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4…*(p-1)(modp)對(duì)兩邊進(jìn)行化簡(jiǎn),即可以得到a(p-1)=1(modp)鞏固1、11x≡1（mod3），則x=（）.2、114≡1（modx），則x=（）.3、116≡x（mod7），則x=（）.4、x6≡1（mod7），1-10之內(nèi)x可能為（）.521、2、3、4、5、6、8、9、101

我們看到在費(fèi)馬小定理中針對(duì)的是m為素?cái)?shù)的情況，對(duì)于其它數(shù)能否找到類似的性質(zhì)呢，這就是下面要講的歐拉定理.拓展

歐拉定理

設(shè)m為正整數(shù)，ɑ為任意整數(shù)，且（ɑ，m）=1，則(1)

令

則Zn=S.

①因?yàn)閍

與n

互質(zhì)，xi(1≤i≤φ(n))與n

互質(zhì)，所以a*xi

與n

互質(zhì)，所以a*ximodn∈Zn.

②若i

≠j

，那么xi≠xj，且由a,n互質(zhì)可得a*ximodn≠a*xjmodn

（消去律）.證明：

對(duì)比等式的左右兩端，因?yàn)閤i(1≤i≤φ(n))與n

互質(zhì)，所以aφ(n)≡1modn

（消去律）.

（2）《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)課堂小結(jié)1、費(fèi)馬小定理

設(shè)m為素?cái)?shù)，a為任意整數(shù)，且（a，m）2、歐拉定理

設(shè)m為正整數(shù)，ɑ為任意整數(shù)，且（ɑ，m

）=1，則其中

(m)

表示1，2，…，m中與m互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)針對(duì)性練習(xí)一、設(shè)a，b，c，m是正整數(shù)，m>1，(b,m)=1，并且b

a

1(modm)，b

c

1(modm)，記d=(a,c)，則bd

1(modm).解利用輾轉(zhuǎn)相除法可以求出整數(shù)x，y，使得ax

cy=d，顯然xy<0.若

x>0，y<0，由式(4)知

1

b

ax=b

db

cy=b

d(b

c)

y

b

d(modm)。若

x<0，y>0，由式(4)知

1

b

cy=b

db

ax=b

d(ba)

x

b

d(modm)?！顿M(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)

二、設(shè)p是素?cái)?shù)，p

bn

1，n

N，則下面的兩個(gè)結(jié)論中至少有一個(gè)成立：(ⅰ)p

bd

1對(duì)于n的某個(gè)因數(shù)d<n成立；(ⅱ)p

1(modn).p>2，則(ⅱ)中的modn可以改為mod2n.解記d=(n,p

1)，由bn

1，bp

1

1(modp)，及題一，有bd

1(modp).《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)

若d<n，則結(jié)論(ⅰ)得證.

若d=n，則n

p

1，即p

1(modn)，這就是結(jié)論(ⅱ).

p>2，則p

1(mod2).由此及結(jié)論(ⅱ)，并利用同余的基本性質(zhì)，得到p

1(mod2n).

這是一種解題方法好好掌握吆.《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)解由題二知

若p

235

1

則p是25

1=31或27

1=127的素因數(shù)

或者p

1(mod70)

由于31和127是素?cái)?shù)

并且235

1=31*127*8727391

所以，235

1的另外的素因數(shù)p只可能在數(shù)列三、將235

1=34359738367分解因數(shù).《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)71，211，281，

(5)中

經(jīng)檢驗(yàn)，得到8727391=71*122921.顯然，122921的素因數(shù)在31，127或者數(shù)列(5)中說明，122921不能被31和127整除，也不能被數(shù)列(5)中的不超過的數(shù)整除，所以122921是素?cái)?shù)于是

235

1=31*127*71*122921.《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)課堂練習(xí)1、313159被7除的余數(shù)（）.6(mod7)

2、132005被17除的余數(shù)（）.13(mod17)3、17x≡1（mod5），則x=（）.A.5B.6C.4D.7C4、5x≡1（mod6），則x=（）.A.5B.6C.4D.2D《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)5、設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，證明：pq

1

qp

1

1(modpq).由費(fèi)馬定理：

qp

1

1(modp)，

pq

1

1(modq)

pq

1

qp

1

1(modp)

pq

1

qp

1

1(modq)

故pq

1

qp

1

1(modpq).證明：《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)《費(fèi)馬小定理和歐拉定理》完整版人教版1-精品課件ppt(實(shí)用版)

612

1=(63

1)(63

1)(66

1)=5*43*7*31*46657