福建省福州十校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州十校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)(其中是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其虛部為2.故選：B2.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，此時，由，得，而，所以.故選：A3.已知和的夾角為，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】故選：C4.設(shè)，是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對A，若，，，直線可能平行、相交或異面，故錯誤；對B，若，，，平面可能相交或平行，故錯誤；對C：如圖，若，，，過直線作兩個平面，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得可得，則，因為，，則，又因為，，則，則，故C正確；對D，若，，，則，故D錯誤.故選：C.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，所以.故選：B.6.設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上焦點，點在上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令橢圓半焦距為c，依題意，，由，得，則，而點在橢圓上，于是，解得，所以的離心率為.故選：A7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的對稱軸為 B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】A【解析】對于A:令，得，故A錯誤；對于B：偶函數(shù)，故B正確；對于C：，，單調(diào)遞增，故C正確；對于D：的最小值為-2，故D正確.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】記，則所以所求解不等式為，，是奇函數(shù)在上是增函數(shù)由得，化簡得，所以的取值范圍是，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60B.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C.若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)是5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時樣本的平均數(shù)不變，方差變大D.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】AD【解析】對于A，由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，A正確；對于B，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故B錯誤；對于C，某8個數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，設(shè)此時這9個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故C錯誤．對于D，樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，故數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D正確；故選：AD．10.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成的角的大小為B.直線平面C.平面平面D.四面體外接球的體積與正方體的體積之比為【答案】ABD【解析】對于A：連接，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，，即為正三角形．又因為分別為的中點，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補角，又，所以直線與所成的角的大小為，A正確；對于B：因為，所以平面平面，故直線平面，B正確；對于C：取的中點為，連接，顯然的中點為，則，假設(shè)平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，C錯誤；對于D：不妨設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為，又因為四面體的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球即為以為棱的長方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，D正確，故選：ABD．11.已知定義域在上的函數(shù)滿足以下條件：①對于任意的x，，；②；③，其中k是正常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是偶函數(shù) D.【答案】ACD【解析】對于A，令，可得，由可得，A正確；對于B，令，可得，所以，B錯誤；對于C，令，可得，所以，C正確；對于D，將代入x，將k代入y，可得，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知函數(shù)，則________.【答案】【解析】因為，所以.13.已知點，拋物線的焦點為，線段與拋物線交于點，則_________________.【答案】【解析】易知拋物線的焦點為，線段的方程為，聯(lián)立，解得，即點，由拋物線的定義可得.14.已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，則__________.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，，記，為數(shù)列的前項和，則__________．【答案】【解析】由數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或，因為，所以，所以，則；當(dāng)時，，即，共有個，因為，所以，令，則，兩式相減得，則，所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為.已知.（1）求；（2）若點在邊上，且，，求的周長.解：（1）由，則，又B∈0,π，故（2）由（1）可知，，又，則；由題可知，，故，所以，因為，所以，，在中，，故的周長為.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點、為分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為點、E分別為、中點，所以是的中位線所以且，又因為為的中點，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中點，連結(jié)，因為，可得，且，又因為，且，所以，所以，又因為，且平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，因為為的中點，為的中點，可得，則，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)是平面的法向量，則，取，可得，所以；設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求使取得最大值時的n的值.解：（1）由，可得：兩式相減得：即，，又因為且，所以，所以，綜上，，，所以為首項和公比均為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，時，由，可得；故當(dāng)，，當(dāng)時，因此即，綜上，或時，的取得最大值.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對任意，有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，則，，，所以切線方程為．（2）當(dāng)時，，．令，，故在R上單調(diào)遞減，而，因此0是在R上的唯一零點即：0是在R上的唯一零點當(dāng)x變化時，，變化情況如下表：x00極大值的單調(diào)遞減區(qū)間為：；遞增區(qū)間為：的極大值為，無極小值（3）由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以19.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設(shè)和的面積分別為，若，求點的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜