內(nèi)蒙古自治區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，所以圍成的三角形的面積為．故選：C2.在等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.100 B.50 C.90 D.45【答案】D【解析】由題意得．故選：D.3.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得，則，，所以直線的斜率為．故選：D4.若數(shù)列滿足，則（）A.11 B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，，，因此是周期為4的數(shù)列，所以.故選：C5.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.6.如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，如下圖所示，因?yàn)?，，所以，所以．故選：A.7.現(xiàn)有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】設(shè)第天截掉的木頭長度為，則是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項(xiàng)和.由，得，得.故選：B.8.已知雙曲線的離心率為，當(dāng)時(shí)，在數(shù)列中，滿足為有理數(shù)的的最大值為（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】雙曲線離心率．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為有理數(shù)，且，所以滿足條件的的最大值為959．故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A項(xiàng)，分別把代入，即得，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，把代入即得，與數(shù)列不符，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，分別把代入，即得，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，把代入即得，與數(shù)列不符，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知是空間的一個(gè)單位正交基底，則（）A.B.構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.D.構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ACD【解析】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以均為單位向量且兩兩垂直，所以，A正確．，C正確．因?yàn)椋圆荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，該方程組無解，所以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D正確．故選：ACD.11.已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.D.當(dāng)，且取得最小值時(shí)，只能等于6【答案】ABC【解析】由題意，，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，A項(xiàng)，，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，可得，B正確；C項(xiàng)，，C正確．D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則的最小值為或，D錯(cuò)誤．故選：ABC.12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以消去得，解得．因?yàn)橹本€斜率存在為，所以，所以，顯然，解得．故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，，則__________．【答案】【解析】由題意得，則．故答案為：.14.若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，請寫出一個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________.【答案】（本題答案不唯一，任選一個(gè)即可）【解析】由題意得拋物線的準(zhǔn)線可能為直線，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為.故答案為：（答案不唯一，中任選一個(gè)即可）.15.已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，與的頂點(diǎn)不重合，分別為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的焦距為__________．【答案】【解析】如圖，因點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),故，得，則的焦距為．故答案為：.16.在數(shù)列中，，則__________．【答案】【解析】因，故有，即得，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟17.在等差數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，由，得，所以．（2）18.已知橢圓的焦距為，短半軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線l的方程．解：（1）因?yàn)?，，所以，故橢圓C方程為．（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，，，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，，所以，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.19.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，①得，②①-②得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，所以；（2）由題意得，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）證明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD．（2）過點(diǎn)P作，OP交AD于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，OE與BC交于點(diǎn)E．在中，，則，．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的法向量為，則，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一個(gè)法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值為．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為定值．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，且為定值，所以．?dāng)時(shí)，，又，所以，即，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）知，，則，所以，所以，即，故．22.設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，且焦距為8，一條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）已知是直線上一點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，其中在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線交于點(diǎn)，與軸交于