山東省東營(yíng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省東營(yíng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自已的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知直線(xiàn)：，：，若，則實(shí)數(shù)（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】D【解析】已知直線(xiàn)：，：，因?yàn)?，所以故選：D2.若平面平面，直線(xiàn)，直線(xiàn)，那么的位置關(guān)系是（）A.無(wú)公共點(diǎn) B.平行C.既不平行也不相交 D.相交【答案】A【解析】由題，直線(xiàn)a，b分別含于兩個(gè)平行的平面，可能平行，可能異面，但不可能相交.故選：A3.若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，則的值為（）A.2 B.3 C.6 D.7【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，故，解得.故選：B.4.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】連接如下圖：由于是的中點(diǎn)，.根據(jù)題意知..故選：C.5.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，且拋物線(xiàn)C與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，若軸，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，且在第一象限，軸，則，又在橢圓上，故，而，故.故選：C6.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進(jìn)行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（）A.54 B.48 C.42 D.36【答案】C【解析】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況；第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；綜上可得共有種不同的情況.故選：C.7.若是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，點(diǎn)與，與都關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，且，因此四邊形是矩形，如圖，由雙曲線(xiàn)：得：，，于是，顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，所以.故答案為：8.已知，直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，由，得，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，整理可得，由題意，得，解得或，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，過(guò)直線(xiàn)作平面，使得，因?yàn)椋?，，則，因?yàn)?，，則，故，正確；對(duì)于B，若，，則，又，則，正確；對(duì)于C，若，則或與相交或與異面，錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或與相交，錯(cuò)誤.故選：AB10.現(xiàn)有帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球及四個(gè)不同的盒子，則下列表述正確的有（）A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B.全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】對(duì)于A，帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法，故A正確；對(duì)于B，帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球全部投入2個(gè)不同的盒子里，第一步選2個(gè)盒子有種選法，第二步將5個(gè)球分為兩組，若兩組球個(gè)數(shù)之比為1：4有種分法；若兩組球個(gè)數(shù)之比為2：3有種分法，第三步將兩組排給兩個(gè)盒子有種排法，因此共有，故B不正確；對(duì)于C，帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），第一步選4個(gè)球有種選法，第二步選一個(gè)盒子有種選法，共有種放法，故C正確；對(duì)于D，帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，第一步將5球分成2：1：1：1的四組共有種分法，第二步分給四個(gè)盒子有種排法，故共有種放法，故D正確；故選：ACD.11.經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，的最小值是4，則下列說(shuō)法正確的是（）AB.C.若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為D.若，則直線(xiàn)的傾斜角為或【答案】BC【解析】，由題意可知直線(xiàn)的斜率存在且不為，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，，，，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，，所以，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，C正確；，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，解得（舍去），又，故，所以，所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的傾斜角為，D錯(cuò)誤.故選：BC12.如圖甲，在矩形中，為的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折至的位置，為的中點(diǎn)，如圖乙所示，則（）A.翻折過(guò)程中，四棱錐不存在外接球B.翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置的，使得C.當(dāng)二面角為時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，以為直徑的球面被平面截得交線(xiàn)長(zhǎng)為【答案】AC【解析】由題意，對(duì)于A，由已知,直角三角形存在以為直徑的唯一外接圓,，∴點(diǎn)不在該圓上,所以四邊形不存在外接圓，∴四棱錐不存在外接球,故A正確;對(duì)于B,由已知,,,∴，∴，假設(shè)在翻折過(guò)程中,存在位置,使得,則平面,平面,平面,又平面,∴，在翻折至的位置的過(guò)程中,,顯然不成立,故假設(shè)錯(cuò)誤,翻折過(guò)程中,不存在任何位置的,使得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,取中點(diǎn),由已知,,,是二面角的平面角,當(dāng)二面角為時(shí),二面角為,即,又,到平面的距離為設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為,則,,,即點(diǎn)A到平面的距離為,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)A到平面距離的,點(diǎn)到平面的距離為,故C正確;對(duì)于D,四棱錐底面梯形的面積為定值,當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí),平面平面,平面平面平面,由B選項(xiàng)有平面,平面,,又平面點(diǎn)A到平面的距離,點(diǎn)為中點(diǎn),以為直徑的球的半徑,球心到平面的距離,易知,球面與被平面截得交線(xiàn)為圓,其半徑,該交線(xiàn)周長(zhǎng)為,故D不正確.故選：AC.第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分）13.若，則m=______.【答案】【解析】因?yàn)椋詘+3x-6=18或x=3x-6，所以x=3或6.故答案為3或614.已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_________.【答案】1【解析】變形為，故，解得，故圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，由垂徑定理得，解得，滿(mǎn)足要求.故答案為：115.如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，記平面與平面的交線(xiàn)為，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為_(kāi)____．【答案】【解析】設(shè)，連接,如下圖所示，則直線(xiàn)即為直線(xiàn)l．因?yàn)槠矫嫫叫杏?，且平面平面，平面平面，故，由，為的中點(diǎn)，得：．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)：，則得：，，，，，，所以得：，故直線(xiàn)l與直線(xiàn)所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖，作于點(diǎn)A，于點(diǎn)B．∵與圓相切，，∴，，則，．又點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，∴，整理得，即，得，由解得，∴雙曲線(xiàn)的離心率為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和分別為和，且.（1）求正整數(shù)的值；（2）求其展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，此方程無(wú)解，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，方程可化為，解得；（2）由通項(xiàng)公式，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，是有理項(xiàng)，則，所以有理項(xiàng)為．18.如圖所示，某中心接到其正西?正東?正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比觀測(cè)點(diǎn)晚4秒，假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為米/秒，各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是米，設(shè)發(fā)出巨響的位置為點(diǎn)，且均在同一平面內(nèi).請(qǐng)你確定該巨響發(fā)生的點(diǎn)的位置.解：如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由A、同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得，故在垂直平分線(xiàn)上，的方程為，因點(diǎn)比A點(diǎn)晚聽(tīng)到爆炸聲，故，由雙曲線(xiàn)定義知點(diǎn)在以A、為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上，依題意得，，，故雙曲線(xiàn)方程為，將代入上式，得，，，，即故.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北距中心米處．19.如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：（1）四邊形為矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)平面CDF的法向量為，則，取得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于四點(diǎn)，求四邊形的面積最小值解：（1）由，可得，又在拋物線(xiàn)上，所以，聯(lián)立解得，故拋物線(xiàn)方程為（2）由（1）知：設(shè)，，由得：，，設(shè)所以，，同理：，四邊形的面積：，（當(dāng)且僅當(dāng)即：時(shí)等號(hào)成立）四邊形的面積的最小值為32．21.如圖，三棱臺(tái)中，平面平面，，的面積為，且與底面所成角為.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.解：（1）因?yàn)?，作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，而平面平面，平面，所以平面，則A到平面的距離即為的長(zhǎng)，而平面，故，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，作交于?/p>

因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，故即為與底面所成角，因?yàn)榕c底面所成角為，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故為中點(diǎn)，且，故A到平面的距離為；（2）由（1）可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，所以，取中點(diǎn)為，連接，則平行，因?yàn)槠矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.22.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)與軌跡交于兩點(diǎn).線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線(xiàn)與軌跡交兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).解：