2024 年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

2024年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.g^-+i=（）

i

A.-2iB.}c.0D.2i

2.已知雙曲線C:4-與=l（a>0,b>0）的焦距為8,一條漸近線方程為ySx，則C為（）

a2b2

x2_y2±-t-

*1648,4816

3.已知函數(shù)f（x）=lnx,g（x）=（2m+3）x+n，若vxe（Q+偽）總有f（x）vg（x）恒成立記（2m+3）n的最小值

為F（m,n）,則F（m,n）的最大值為（）

11

A1B-CD

,,e,e2

4.設(shè)RWmn皿，則匕=b?是?logb=logg*（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.體育教幣指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部0朝正南方向站成T非訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

6.sin8Ocos5Q+coslOsinlO,=()

A..9B.0C.-1D?

2222

7.已知數(shù)列｛a。｝滿足log?七+l=log?an+1(neN)且a2+a4+備=9KUlogi(a3+a5+a7)的值是()

9

A.5B.-3C.4D.—

91

8.函數(shù)f(x)=ax-2與g(x)二ex的圖象上存在關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn),貝S的取值范圍是()

B.。(士哇C.(-me]D.(-m,e2]

9.若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能是(

\G+XzX1-X2\W?X,xx+l

A.f(x)=^-B.fr(x)=——c,f(x)=——D,fr(x)=—

AAAA

10.關(guān)于圓周率TT，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，某同學(xué)通

過下面的隨機(jī)模擬方法來估計(jì)n的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)數(shù)對(duì)(x,y),其中x,y都是區(qū)間(0,1)上的均勻隨機(jī)

數(shù),再統(tǒng)計(jì)x,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)m：最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)n的值若m=435,

則口的估計(jì)值為()

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

11.若2m>2"1,?J()

A.1B.7Tmn>l

mn

C.In(m-n)>0Dlog1m>log1n

22

12.祖晅原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”.意思是說：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.

設(shè)A、B為兩個(gè)同高的幾何體，p：A、B的體積不相等，q：A、B在等高處的截面積不恒相等根據(jù)祖晅原理可知，

P是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人進(jìn)行

問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為36,那么高三被抽取的人數(shù)為.

14.若X且X豐0時(shí)，不等北px2?x?a|之？X恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

15.i瞰！J{a0}加n噴口為S,已知2S-a+1=n(a+1)fia=5.§m>,貝！J竣m的取糜圍為

nnnnr2Zn

2

16.過M(-2,0)第4率為3的直線|交拋物線Uy2=2px(p>0)于AB兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)若MFB的解只等于

MFA的面積的2倍，則p的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

y2v2□3

17.(12分)已知鞠圓(：：；+[2=1(a>b>0)的離心瘁為3,點(diǎn)p(||(-l,在新i圜Lb.

aD

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(口)設(shè)直線y=kx+m交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線x=1±,求證：線段AB的中垂線恒過定

點(diǎn).

18.(12分)已知2件次品和3件正品混放在現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，

直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

(2)已知每檢測(cè)T牛產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單

位：元)，求X的分布列.

19.(12分)如圖,直線，二2-29物線、?’2init)〃j交于兩點(diǎn)，直線v:與、軸交于點(diǎn)/,且直線卜,恰好平

(1)求的值;

(2)設(shè)是直線，,上一點(diǎn),直線?."交拋物線于另一點(diǎn)M,直線」“交直線?”于點(diǎn)3,求與切廂值

20.(12f(x)=x3-x2-(a-16)x,g(x)=alnx,aeR.函數(shù)h(x)=g(x)的導(dǎo)函數(shù)h,(x)

x

-5]

在心巧|上存在零點(diǎn)?

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)xe[0,b]時(shí)，函數(shù)f(x)在x=0時(shí)取得最大值,求正實(shí)數(shù)b的最大值；

(3)若直線I與曲線y=f(x)和y=g(x)都相切，且I在y軸上的截距為-12,求實(shí)數(shù)a的值.

R+r

21.(12分)在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且8cos2口2cos2A=3

2

(1)求A;

(2)若a=2,且ABC面積的最大值為百，求ABC局長(zhǎng)的取值范圍.

22.(10分)已知數(shù)列｛aJ滿足對(duì)任意neN*都有Za.i=a。+an+2,其前n項(xiàng)和為S。，且S7二49,心是a1與a1？的等

比中項(xiàng)，ai<a2.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為；

(2)已知數(shù)列｛>｝滿足0=2*,cn=anbn,蹣冽9｝的前n項(xiàng)和為T-求'二一20大于的最小的正嬲如

6n-5

的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】略

2、A

【解析】

由題意求得C與的值，結(jié)合隱含條件式求得a2,b2,則答案可求.

a

【詳解】

由題意，2c=8,則c=4,

又b=y/i，且a2+ty=c2,

a

解得a2=4,5=12.

x2v2

二雙曲線C的方程為x-y=1.

412

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考杳雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

根據(jù)vxe(0,+機(jī))總有f(x)<g(x)恒成立可構(gòu)造函數(shù)h(x)=Inx-(2m+3)x-n，求導(dǎo)后分情況討論h(x)的最大

r\

值可得最大值最大值h---=-ln(2m+3)-1-n,

k2m+3J

即-In(2m+3)-1-n<0根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得(2m+3)n>(2m+3)[-ln(2m+3)-1],求得

F(m,n)=(2m+3)[-ln(2m+3)-1]，再換元求導(dǎo)分析最大值即可.

【詳解】

由題vxe(0,+機(jī))總有Inx<(2m+3)x+n即Inx-(2m+3)x-n<

設(shè)h(x)=Inx-(2m+3)x-n，則h(x)的最大值小于等于0.

又h1(x)=l-(2m+3),

x

若2m+3VORiJh'(x)>0,h(x)在(0,+機(jī))上單調(diào)遞增，h(x)無最大值.

若2m+3>0,則當(dāng)x>k二時(shí)h'(x)<0,h(x)在i—,+機(jī))h單調(diào)遞減，

2m+312團(tuán)+3廠

當(dāng)0<x<1時(shí)h'(x)>0,h(x)在(|0,1上單調(diào)遞增.

2m+3(2m+3)1

故在x=5三處h(x)取得最大值^=ln-^-^-1-n=-ln(2m+3)-l-n.

故-In(2m+3)-l-n<0化簡(jiǎn)得(2m+3)n之(2m+3)[-ln(2m+3)-1].

故令可令

F(m,n)=(2m+3)|_-ln(2m+3)-11,t=2m+3z(t>0),k(t)=-t(Int+1),

故二當(dāng)時(shí)，

k'(t)?lnt?2,tk,(t)<0,k(t)a^z+m|遞減;

當(dāng)0<t<g時(shí)，k(t)>0,k(t)在曾.

故在t=」處h（t）取得極大值為k—+i=一

故F（m,n）的最大值為1.

e

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍，再分析函數(shù)的最值，進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造

敏求解（2m+3）n的最大值.屬于難題.

4、A

【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證0-2,h-得出不必要，得到答案.

【詳解】

￡（〃/）?■，當(dāng)％A時(shí)，卜沙1陽(yáng)《充分性；

當(dāng)k唱/,取」-2,h-二驗(yàn)證成立，故不必要.

故選：』

【點(diǎn)睛】

本題考直了充分不必要條件，意在考直學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.

5、B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

ar漏am出『分S蠅"八""V"表示

利用列舉法，RJ得卜表,

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳的懇求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙,可誦過列舉的方法直9感受，屬干基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

利用=90-80,140=90+50，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得sin80cos50-cos8Osin50，然后用兩角

差的正弦定理，可得結(jié)果.

【詳解】

由80'=90'-10；"0=90,+50

所以sinlO=sin（90-80）=coslQ

coslO'=cos（90+50）=-sin5Q,

所=sin80,cos5O-cos80sin50,=sin（80-50）

1

所以原式二sin30=4

2

故sin80"os50+cosl40sinlO*=一

2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

由嚙3an+l=log3an+1,可得=弭,所微列｛a0｝是公比為3的等比數(shù)列，

9

所以a2+a4+a=馬+M+81%=9珥=9，則a2=一,

91

貝!Jlog1（a3+^+a7）=log1（3a2+27%+24叫）=log=-3，媲B

333

點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試

題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在

使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.

8、C

【解析】

由題可知，曲線f(x)二2乂-2與丫=InX有公共點(diǎn)，即方程ax-2=Inx有解，可得a=？+Inx有解令

x

h(x)==要，則h,(x)=f,和分類討論，得出x二;斑，h(x)取得極大值h(|若卜e,也即為最大值,

進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：由題可知，曲線f(x)=ax-2與y=Inx有公共點(diǎn)，即方程ax-2=Inx有解，

2+lnx-八/\2+Inx./\-1-lnx

即Dna二有解，令h(x)=，則nilh,(x)=，

xxx2

貝西Ovx<-1時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h，(x)〈O,

ee

故x=3時(shí)，h?取得極大值h(|4)=e,也即為最大值，

當(dāng)x趨近于0時(shí)，h(x)趨近于-偽，所以a<e滿足條件.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考杳化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解符5學(xué)能力，

屬于難題.

9、A

【解析】

由函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合特殊值驗(yàn)證，通過排除法求得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=J”為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤；

X

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)X<-1時(shí)，f(X)=eJX<0，可判斷C錯(cuò)誤；

x

對(duì)于選項(xiàng)D,f(X)二X±l=2+F可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；

X2XX

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題，通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，難度一般.

10、B

【解析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出X,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，然后再利用隨機(jī)模擬方法得到X,y

能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，二者概率相等即可估計(jì)出R.

【詳解】

因?yàn)閤,y都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機(jī)數(shù)，所以有0<x<1,0<y<1,若x,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)，

（x+y>l1根

則《24v，由幾何雌的概率計(jì)箕^次lp=4-i.TL-m-435f

僅V1根14n2ooo

435

所以TI=4根Q----）=313.

2000

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一個(gè)中檔題.

11、B

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.

【詳解】

若2m>2>1=2°-m>n>0,.mm-"7ro=i,故B正確；

而當(dāng)m=1n=±時(shí)，檢驗(yàn)可得，ACD者杯正確，

24

姍：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)指數(shù)幕的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)幕或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)

函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).

12、A

【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.

【詳解】

解：由題意，若A、B的體積不相等，則A、B在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高處的

截面積不恒相等，但A、B的體積可能相等，例如A是f正放的正四面體，B-H到放的正四面體，必要性不成立，

所以P是q的充分不必要條件，

腌：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、24

【解析】

2400

由分層抽樣的知識(shí)可得————根90=36,即n=1600,所以高三諭由取的疑為

2400+2000+n

1600根90=24，應(yīng)填^24

2400+2000+1600

14、(例-2][2,+偽)

【解析】

將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形，然后得到對(duì)應(yīng)不等式組，對(duì)a的取值進(jìn)行分類，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間

r1)(1]

|匚2丹與(化恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍，列出對(duì)應(yīng)不等式組，即可求解出a的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)閍x|2-x-a|>2x,所以(ax2-x-a)2>(2x1)2,所以(ax2-x-a)2>(2x)2,

22

/n2°2\Jax-3x-a>0fax-3x-a<0

PJrlU(ax-x-a-2x)(ax-x-a+2x)>0,fJfUZ(2人或《2八，

]ax2+x-a>0ax2+x-a<0

當(dāng)a=0時(shí)，W>2x對(duì)x||<；且x豐。不成立，

22

1(ax-3x-a>0(ax-3X.a<0

當(dāng)a>0時(shí)，取x=：(2顯然不滿足，所以(2人，

2|ax+x-a>0|ax+x-a<0

((1

a.；+2-a<0

UJ2

a，K|-2-a<0

豳/:，解得a>2;

削(彳J+3-a

1(ax2-3x-a之0(ax2-3x-a之0

當(dāng)a<0時(shí)，取x=-,〈2顯然不滿足，所以(2

2|ax+x-a之0|ax+x-a之0

a”之。

所以〈；；，解得a<-2,

土鏟a"

3at0

綜上可得a的取值范圍是：（偽-2][2,+偽）.

故霹gH為,閣[2,+偽）.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論

法：分析參數(shù)的臨界值,對(duì)參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨(dú)分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)

系求解出參數(shù)范圍.

15、（2+偽）

【解析】

5

根據(jù)遞推公式，以及an，Sn之間的關(guān)系，即可容易求得an，&,再根據(jù)數(shù)列蘇的單調(diào)性，求得具最大值，則參數(shù)的范

圍可求.

【詳解】

當(dāng)n=2時(shí)，2$2?22+1=2（4+1）,解得$2=8.所以21=3.

因?yàn)槎?+1）,

!JiiJ2Sn+1-an+1+1=（n+1）（an+l+l）,

兩式相減,可得2ae=（n+2）an+1-（n+1）^+1,

即na?i?(n+1區(qū)+1=0,

則(n+1)3n+2?(n+2)，+|+1=0.兩式相;成，

可得a?2-2an+1+斗=0.

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

Sn2+2n

所以3n=2n+1，則」■=9n?

令，=bn，則bm?bn=今;?

當(dāng)n>2時(shí)，*bn0,嬲」｛0｝單調(diào)遞減，

3,o15

而4=[“2=2,b3=--

乙O

故m>2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2,+機(jī)）.

故（2+機(jī)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.

16、2

【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.

【詳解】

如圖,設(shè)A（x1，）,B（x2,丫2）,由SMFB=2SMFA，則丫2=",

2

V=（x+2）,A八16

由《3可得9-3py+4P=0,由A>0,則p>一,

lly2=2px9

2

所以y,+y2=3p,丫仇=2p=4p，得p=2>

J/

【點(diǎn)睛】

此題考杳了拋物線的性質(zhì)，屬丁中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（I）x2+y2=1;（口）詳見解析.

4

【解析】

（I）把點(diǎn)P代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可；

（II）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段AB的中垂線方程即

可證明.

【詳解】

（四

（I）由已知橢圓過點(diǎn)P|-1,ER得,

a24b2

又，常注咚’得八行

乂2

所以22=4,=1,即橢圓方程為“+/=1.

4

（11湎月：由（~+丫-1,得（1+豕,2+8kmx+4nf-4=0,

Iy=4+〃1

22222222

由A二64km-4（1+4k）（4m-4）=-16m+64k+16>0，得m<1+4k,

由韋達(dá)窟里可得，%+%=-8km,

1+*

設(shè)AB的中點(diǎn)M為（Xo,y°）,得x°二-二四二=1，即1+4R2=-4km,

1+4k

,m1

:%二kx#m二w

111（3）

：AB的中垂線方程為y+4k=-卜僅7），即丫=-k［（x-4）l'

（3）

故AB得中垂線恒過點(diǎn)N|（4，°“

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜

合運(yùn)用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義止確表小出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

18(1)&；(2)見解析

、10

【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有200、300、400，計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機(jī)變量X的分布列.

【詳解】

(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A,則P(A)=1根z=—；

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為200、300、400.

則P（X=200）=李二白，P（X=300）=4+產(chǎn)；=白，

A41U1U

133

1=

P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=-10~105-

故X的分布列為

X200300400

133

P

10105

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)p4\(2)04OB20.

【解析】

試題分析：(1)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程上二一；〃；，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，由于直線V’；平分4//"，，所

血,代入點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)得/>。，結(jié)合跟魚系數(shù)關(guān)系，可求得力；(2)設(shè)島，初，

Bla.21,由口〃△〃三點(diǎn)共線得息,再次代入點(diǎn)的坐標(biāo)并化簡(jiǎn)得一一，同理由艮"<"三點(diǎn)趣,

可得的+旬化簡(jiǎn)得m/外，故Qi，09一a-4一.j

試題解析：

―卜=2x-2.

(1)由2/v?得-4t).\*-4v0?

A-16/?16p>0

設(shè)山由則x,4A-4p,

X1X2-Jp

因?yàn)橹本€V工平分

所以八仁?勺r=0,得,滿足3。，所以P=J.

(2)由(1)知拋物線方程為』Sv,fitx/x：16，”"二,'；)/

設(shè)"八,I心),lUa,2\，由.L〃三點(diǎn)共線得“V燈”，

所以，.」為即.?馬馮一&+看)=W-16

8

整理得：心.?心」?X.”?叫①

由從TA."三點(diǎn)共線,可得wW"M16,②

②式兩邊同乘?'得：v/.v;.v.J6V/.V?AMI)-l(^x：,

即：I6xi-u(l6A;.\d-I6x：,③

由?導(dǎo):XJIImK”-1，代入幼導(dǎo)：KA<16alalx：A?)I(XI-16X>

即：/6"?xdat(x：xtl,所以〃16

所以O(shè).iOBat41642。

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)晴】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.閱讀題目后明顯發(fā)現(xiàn)，所有的點(diǎn)都是由直線和拋物線相交或者直線與

2

直線相交所得.故第一步先聯(lián)立卜J\py,相當(dāng)于得到?的坐標(biāo)，但是設(shè)而不求.根據(jù)直線r'平分々/產(chǎn)"L有

卜"Q這樣我們根據(jù)斜率的計(jì)算公式kX:，;a，，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以計(jì)算出7的值.第二問主要利用三點(diǎn)共線

來求解.

20、⑴[10,28];⑵4;(3)12.

【解析】

⑴由！旃知，h(x)=x2-x-alnx-a+16，求導(dǎo)函數(shù)h,(x),方程2x2-x-a=0在區(qū)間,4上有實(shí)數(shù)解，求

出實(shí)數(shù)a的取值范圍;

322

(2)由f(x)=x-x-(a-16)x，則f,(x)=3x-2x-a+16f分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實(shí)數(shù)b的最大值；

(3)設(shè)戢I(xiàn)與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(X1,x：-x”(a?16)xJ,因?yàn)閒,(x)=3x2-2x-(a-16),所以切線斜率

k=3xf-2x1-(a-16),切線方程為y=(24-a)x-12,設(shè)直線I與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(x2,alnx2),因?yàn)?/p>

g,(x)=，所以切線斜率k，即切線方程為y="（x-x2）+alnx2,

X2

xx2

（a

a.|=24-a5/、1

整理得y=：■x+alnxz-a.所以《小一，求得x2之;，設(shè)G（x）/x+，則

lain而a—127”

廠/、112.v-l

G'（x）=R2x2=寸n

所以G(x)在p+m上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)a的值.

⑴口，h(x)=x2-x-alnx-a+16，則h,(x)=2乂-1-2=2x?-x-a

xx

即方程2x2-x-a=0在區(qū)間|聲4上有實(shí)數(shù)解，解得ae［10,28］；

(2)因?yàn)閒(x)=x3-x2-(a-16)x,則f,(x)=3x2-2x-a+16,

@^A=4-12(-a+16)<0，即10<a<：時(shí)f,?)之

所以f(x)在［0,b］上單調(diào)遞增，不符題意；

2

②當(dāng)［<a<16時(shí)，令f,(x)=3x-2x-a+16=0；

蹣：乂二2*412(七十16)二！±7^\

63

當(dāng)xe(||(0,1-勺⑷)時(shí),f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以不存在b>0,使得f(x)在［0,b］上的最大值為f(O),不符題意；

③^16<a<28時(shí)，f(x)=3x2-2x-a+16=0,

解導(dǎo)：%=1■扃<0,-=1+J3a-4?>o

33

且當(dāng)xe(0,X2)時(shí)，f,(x)<0,當(dāng)xe(x2，+m為寸，f,(x)>0,

所以f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減，在(％,+m)上單調(diào)遞增，

制<b<X?,則f(X)在［0,b］上單調(diào)遞減，所以f々Lx=f(0),

若b>x?,則f(x)(OzX?)上單調(diào)遞減，在(X2，b)上單調(diào)遞增，

睡的口，f(b)<f(O),即b?-b2-(a-16)b<0,

整理得b?-b<a-16,

因?yàn)榇嬖赼e[16,28],符合上式，所以b??b<12,解得0<b<4,

綜上，b的最大跌4；

⑶設(shè)馥I與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(xpxf-xf-(a-16)xJ,

因?yàn)閠(x)=3x2-2x-(a-16),所以切=3x：--(a-16),

即切線方程y=[3xf-2xi-(a-16》(x-xj+x?-xf-(a-16)Xi

客里得：y=[3xf-2xx-(a-16)Jx-2xJ+xf

由西雄口，-2x；+x：=-12，即2x；-x；-12=0,

即8-2)(2xf+3x1+6)=0,解得％=2

所以切線方程為y=(24-a)x-12,

設(shè)直線I與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(x2,alnx2),

因?yàn)間，(x)=2,所以切線斜率k=，即切線方程為y=[a(x-X2)+alnx2,

a

整理得y=—x+alnx2-a

=24-a11c

所以〈X?一，消去a,整理得lnxz+加-T=0,

laln,v2a-12%2

且因?yàn)槎?24-a(ae[lQ28]),解得X2之J,

X//

單調(diào)遞增，

因?yàn)镚(l)=0,所以X2=1,所以a=24-a,即a=12.