2025屆新疆哈密石油高級(jí)中學(xué)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含解析2

2025屆新疆哈密石油高級(jí)中學(xué)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．2．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．33．已知實(shí)數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．4．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．5．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．6．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對(duì)于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．8．若，則的虛部是A．3 B． C． D．9．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．210．如圖，拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線與以為圓心，線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定11．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為__________．14．已知隨機(jī)變量，且，則______15．若x，y滿足，則的最小值為________.16．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.18．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對(duì)任意的有．22．（10分）己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無(wú)解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點(diǎn)的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來(lái)求解.3、A【解析】

可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由圓過原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒法求解．5、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.6、C【解析】分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3，根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點(diǎn)可求得解析式為，依次判斷各選項(xiàng)的正確與否．詳解：因?yàn)闉閷?duì)稱中心，且最低點(diǎn)為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯(cuò)誤，②正確，③當(dāng)時(shí)，，所以與有6個(gè)交點(diǎn)，設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．7、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

因?yàn)?，所以的虛部?故選B．9、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，據(jù)，得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點(diǎn)，故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可，即，當(dāng)設(shè)切點(diǎn)，則，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.12、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.14、0.1【解析】

根據(jù)原則，可得，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機(jī)變量，則期望為所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.15、5【解析】

先作出可行域，再做直線，平移，找到使直線在y軸上截距最小的點(diǎn)，代入即得?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，如圖，令，則，作出直線，平移直線，由圖可得，當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，由，可得，因此的最小值為.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，是基礎(chǔ)題。16、【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，若，；若，；故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則==，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，，故對(duì)于時(shí)，總有.由此得【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.18、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時(shí)，，滿足題意．（iii）若時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.又由上式得，當(dāng)時(shí)，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以．②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（由（*）知）；當(dāng)時(shí)，（由（*）知）．故對(duì)于任意，．綜上述：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分類討論求解絕對(duì)值不等式即可；（2）由（1）中所得函數(shù)，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，該不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，該不等式解集為，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因?yàn)?，，，所以，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用分類討論求解絕對(duì)值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.21、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可