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文檔簡介

安徽省淮北市濉溪中學2025屆高三第二次診斷性檢測數學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.國家統計局服務業(yè)調查中心和中國物流與采購聯合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經理指數(PMI)如下圖所示.則下列結論中錯誤的是()A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個月的PMI值的平均值低于50%C.12個月的PMI值的眾數為49.4%D.12個月的PMI值的中位數為50.3%2.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.103.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關4.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.5.我國古代有著輝煌的數學研究成果,其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》,有豐富多彩的內容,是了解我國古代數學的重要文獻.這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.6.函數f(x)=lnA. B. C. D.7.偶函數關于點對稱,當時,,求()A. B. C. D.8.函數的部分圖像大致為()A. B.C. D.9.已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.11.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.12.已知平面向量,,,則實數x的值等于()A.6 B.1 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內角所對的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為___.14.已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上,,,,,E,F分別為,的中點,,則球O的體積為______.15.已知復數,其中為虛數單位,則的模為_______________.16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實數的值是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.18.(12分)的內角的對邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長19.(12分)已知橢圓:的兩個焦點是,,在橢圓上,且,為坐標原點,直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點.連接、與軸交于點,.(1)求橢圓的標準方程;(2)求證:為定值.20.(12分)設函數(其中),且函數在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數,求證:恒成立.21.(12分)已知.(Ⅰ)當時,解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.22.(10分)已知關于的不等式有解.(1)求實數的最大值;(2)若,,均為正實數,且滿足.證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計、眾數、中位數,從而得到答案.【詳解】對A,從圖中數據變化看,PMI值不低于50%的月份有4個,所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對C,12個月的PMI值的眾數為49.4%,故C正確,;對D,12個月的PMI值的中位數為49.6%,故D錯誤故選:D.【點睛】本題考查頻率、平均值的估計、眾數、中位數計算,考查數據處理能力,屬于基礎題.2、D【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數的幾何意義為,可行域內點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數形結合思想,屬于中檔題.3、B【解析】

根據三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵,屬于基礎題.4、B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出,進而可得出結果.【詳解】,所以,.故選:B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率,屬于基礎題.5、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》,這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發(fā)生.6、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=7、D【解析】

推導出函數是以為周期的周期函數,由此可得出,代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱,則,,,則,所以,函數是以為周期的周期函數,由于當時,,則.故選:D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值,推導出函數的周期性是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8、A【解析】

根據函數解析式,可知的定義域為,通過定義法判斷函數的奇偶性,得出,則為偶函數,可排除選項,觀察選項的圖象,可知代入,解得,排除選項,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以的定義域為,則,∴為偶函數,圖象關于軸對稱,排除選項,且當時,,排除選項,所以正確.故選:A.【點睛】本題考查由函數解析式識別函數圖象,利用函數的奇偶性和特殊值法進行排除.9、D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數研究的單調性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調遞減;在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數形結合的方式來進行求解.10、B【解析】

由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.11、A【解析】

根據焦點到漸近線的距離,可得,然后根據,可得結果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點,一條漸近線則點到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關系,識記常用的結論:焦點到漸近線的距離為,屬基礎題.12、A【解析】

根據向量平行的坐標表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標運算,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由正弦定理,結合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因為,所以由正弦定理可得,所以;所以,當,即時,三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點睛】本題主要考查解三角形的問題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎題型.14、【解析】

可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據體積公式計算可得.【詳解】解:,,,因為為的中點,所以為的外心,因為,所以點在內的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設,則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,屬于中檔題.15、【解析】

利用復數模的計算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查復數模的求法,屬于基礎題.16、1【解析】

把向量進行轉化,用表示,利用基本不等式可求實數的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積應用,綜合了基本不等式,側重考查數學運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)(2)11【解析】

(1)利用二倍角公式將式子化簡成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數量積可得,從而可求周長.【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長為【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎題.19、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)根據橢圓的定義可得,將代入橢圓方程,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)設直線的方程,代入橢圓方程,求得直線和的方程,求得和的橫坐標,表示出,根據韋達定理即可求證為定值.【詳解】(1)因為,由橢圓的定義得,,點在橢圓上,代入橢圓方程,解得,所以的方程為;(2)證明:設,,直線的斜率為,設直線的方程為,聯立方程組,消去,整理得,所以,,直線的直線方程為,令,則,同理,所以:,代入整理得,所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法,考查直線和橢圓的位置關系,考查橢圓中的定值問題,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導得到,解得答案.(2)變形得到,令函數,求導得到函數單調區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數,,令解得,當時,時.函數在上單調遞增,在上單調遞減,,而函數在區(qū)間上單調遞增,,,即,即,恒成立.【點睛】本題考查了根據切線求參數,證明不等式,意在考查學生的計算能力和轉化能力,綜合應用能力.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)當時,令,作出的圖像,結合圖像即可求解;(Ⅱ)結合絕對值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點橫坐標為2,由對稱性知,點橫坐標為﹣

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