《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》課件-第4章

第4章空間力系4.1力的投影和力對(duì)軸之矩4.2空間力系的平衡方程及應(yīng)用4.3重心

4.1力的投影和力對(duì)軸之矩

4.1.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

1.直接投影法

力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影定義與在平面力系中的定義相同。若已知力F與x、y、z坐標(biāo)軸之間的夾角分別為α、β、γ，如圖4-1所示，就可以直接依照定義求出力在各坐標(biāo)軸上的投影，即

這種求解方法稱為直接投影法。圖4-1直接投影法

2.間接投影法(二次投影法)

當(dāng)力F與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角無法確定時(shí)，可把力F先投影到平面Oxy上，得到力F在平面Oxy的投影Fxy，然后再把Fxy投影到x、y軸上，分別得到在x、y軸上的投影Fx

、Fy。而力F在z軸上的投影Fz可按一次投影法求得。如圖4-2所示，已知力F與z軸的夾角為γ，力F和z軸確定的平面與x軸的夾角為j，則用二次投影法得到的Fx

、Fy

、Fz可表示如下：

于是即可得出二次投影法的表達(dá)式：

(4-2)圖4-2間接投影法如果已知力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可以求出力F的大小和方向。其形式如下

(4-3)

其中,α、β、γ分別為力F與x、y、z軸之間所夾的銳角。

例4-1已知圓柱斜齒輪所受到的嚙合力Fn＝1410N，齒輪壓力角α＝20°，螺旋角β＝25°，如圖4-3(a)所示。試計(jì)算斜齒輪所受到的圓周力Ft、軸向力Fa和徑向力Fr的

大小。

解取坐標(biāo)系如圖4-3(a)所示，使得x、y、z軸分別沿齒輪的軸向、圓周的切線方向和徑向。先把嚙合力Fn向z軸和Oxy坐標(biāo)平面投影，得

Fz=－Fr=－Fnsinα=－1410×sin20°=－482N

Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小為

Fxy=Fncosα=1410×cos20°=1325N

然后再把Fxy投影到x、y軸上，得

Fx=Fa=－Fxysinβ=－Fncos20°sin25°=－560N

Fy=Ft=－Fxycosβ=－Fncos20°cos25°=－1201N圖4-3圓柱斜齒輪受力分析4.1.2力對(duì)軸之矩

在工程中，常常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，為了度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用效果，必須掌握力對(duì)軸之矩的

概念。

如圖4-4所示，力F作用在門上，使門繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將力F分解為平行于z軸的分力Fz和與z軸垂直的平面內(nèi)的分力Fxy。由經(jīng)驗(yàn)可知，分力Fz不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只有分力Fxy才能使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，力F對(duì)z軸之矩就是分力Fxy

對(duì)O點(diǎn)之矩，即

Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxyd

(4-4)圖4-4力對(duì)軸之矩4.1.3合力矩定理

空間力系與平面力系類似，也有合力矩定理，即空間力系的合力FR對(duì)某軸之矩等于力系中各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和,可表示為

(4-5)

例4-2如圖4-5所示，手柄ABCD在平面Axy內(nèi)，力F在垂直于y軸的平面上，與鉛垂線的夾角為α，其作用點(diǎn)在D處。已知CD=b，桿BC平行于x軸，桿CD平行于y軸，桿AB和BC的長度為l，求力F分別對(duì)x、y和z軸的矩。圖4-5力對(duì)軸之矩示例

解

(1)將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx和Fz兩個(gè)分力：

Fx=Fsinα，F(xiàn)z=Fcosα

(2)根據(jù)合力矩定理求得力F對(duì)各軸的矩：

Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fz)=0－Fz(AB+CD)

=－F(l+b)cosα

My(F)=My(Fx)+My(Fz)=0－FzBC

=－Flcosα

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fz)=－Fx(AB+CD)+0

=－F(l+b)sinα

4.2空間力系的平衡方程及應(yīng)用

4.2.1空間任意力系的平衡方程

與平面任意力系一樣，利用力的平移定理，可將空間力系簡化為一個(gè)主矢FR′和一個(gè)主矩MO?？臻g任意力系的平衡條件為主矢和主矩均為零，即由此，可得到空間任意力系的平衡方程為

(4-6)

其中，第一行三個(gè)方程稱為投影方程，第二行三個(gè)方程稱為力矩方程。

1.空間匯交力系的平衡方程

空間力系中各力的作用線匯交于一點(diǎn)，稱為空間匯交力系。如選取匯交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，式(4-6)中力矩方程為恒等式，則可得到空間匯交力系的平衡條件為

(4-7)

式(4-7)稱為空間匯交力系的平衡方程。此式有三個(gè)獨(dú)立方程，可解出三個(gè)未知量。

2.空間平行力系的平衡方程

空間力系中各力的作用線相互平行，稱為空間平行力系。如選取z軸和力的作用線平行，式(4-6)中∑Fx＝0，∑Fy＝0，∑Mz(F)＝0為恒等式，則空間平行力系的平衡條件為

(4-8)

式(4-8)稱為空間平行力系的平衡方程。此式有三個(gè)獨(dú)立方程，可解出三個(gè)未知量。4.2.2空間力系平衡問題解法舉例

求解空間力系平衡問題的基本方法和步驟與平面力系平衡問題相同，也是分三個(gè)步驟：

(1)選取研究對(duì)象和適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并畫出其受力圖；

(2)根據(jù)所選坐標(biāo)系，列出平衡方程；

(3)求解所列平衡方程，求出未知量。

和求解平面問題一樣，空間問題的解題關(guān)鍵也是正確

地選取研究對(duì)象并畫出受力圖。常見的空間約束及簡化如表4-1所示。

例4-3兩桿AB、AC鉸接于A點(diǎn)，在A點(diǎn)懸掛一重物G＝1000N，并用繩子AD系于D點(diǎn)，AB、AC等長且互相垂直，

A、B、C、O在一個(gè)平面上，如圖4-6所示。求桿及繩子所受到的力。

解取銷A為研究對(duì)象，AB、AC均為二力桿，設(shè)AB、AC桿均受拉，銷A的受力圖如圖4-6所示，建立圖示空間直角坐標(biāo)系。圖4-6空間匯交力系本題為一個(gè)空間匯交力系，有三個(gè)未知量，根據(jù)方程

(4-7)列平衡方程:

∑Fx=0，－Fx－FTcos30°sin45°=0

∑Fy=0，F(xiàn)x+FTcos30°cos45°=0

∑Fz=0，F(xiàn)Tsin30°－G=0

求解以上方程得

FT＝2000N

Fx＝Fy＝－1225N

負(fù)號(hào)意義：圖中所示力的方向與實(shí)際力的方向相反，圖中假設(shè)兩桿受拉，實(shí)際兩桿均受壓。

例4-4起重絞車如圖4-7所示。已知α＝20°，R＝200,

r＝100，G＝10kN，試求勻速提升重物時(shí)，軸承A、B的反力及齒輪所受的力F。(圖中單位：mm)

解對(duì)于齒輪傳動(dòng)，通常采用平面法求解，即將空間力系分別向三個(gè)坐標(biāo)平面投影，得到三個(gè)平面力系，于是求解一個(gè)空間力系的問題被轉(zhuǎn)換成求解三個(gè)平面力系的問題，此方法稱為空間問題的平面解法。

取絞車為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系并畫受力圖，如圖4-7(a)所示。圖4-7起重絞車將此空間力系向三個(gè)坐標(biāo)平面投影，得到如圖4-7(b)、(c)、(d)所示的三個(gè)平面力系。求解時(shí)，一般從符合求解條件的那個(gè)投影圖開始。下面列平衡方程。

Axz平面：

∑MA(F)=0，G·

r－F·

R·cosα=0

Ayz平面：

∑MA(F)=0，F(xiàn)Bz·7000－G·3000－F·sinα·6000=0

Axy平面：

例4-5如圖4-8(a)所示的傳動(dòng)軸AB，已知兩齒輪的壓力角均為α=20°，齒輪1、2的分度圓直徑分別為r1=90mm，r2=60mm，齒輪1的圓周力Ft1=2.64kN。求齒輪2的圓周力Ft2及A、B兩軸承處的反力。圖4-8傳動(dòng)軸

解

(1)選軸AB及兩齒輪整體為研究對(duì)象，畫受力圖，并選取適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)軸(圖4-8(a))。

(2)將各力分別在Azx平面(圖4-8(b))、Azy平面(圖4-8(c))及Axy平面投影(圖4-8(d))，得到三個(gè)平面力系。

(3)分別對(duì)三個(gè)平面力系列相應(yīng)的平衡方程。

Azx平面：

得

Azy平面：

∑MA(F)=0，－Fr1×100－Fr2×200+NBz×300=0

∑Fz=0，NAz－Fr1－Fr2+NBz=0

因Fr1=Ft1tan20°=0.96kN，F(xiàn)r2=Ft2tan20°=1.44kN,得

NAz=Fr1+Fr2－NBz=0.96+1.44－1.28=1.12kN

Axy平面：

∑MA(F)=0，－Ft1×100+Ft2×200－NBx×300=0

∑Fx=0，NAx+Ft1－Ft2+NBx=0

得

NAx=－Ft1+Ft2－NBx=－2.64+3.96－1.76=－0.44kN負(fù)號(hào)表示力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

說明：在Azx平面，力的投影圖可以略去不畫，其方程可用空間受力圖中所有的力對(duì)y軸取矩代替，由此所列出的方程與根據(jù)Azx平面投影圖列出的方程相同，即

∑My(F)=0，F(xiàn)t1r1－Ft2r2=0

例4-6車床主軸如圖4-9(a)所示，齒輪C的分度圓半徑R=100mm，三爪卡盤D夾住一半徑r=60mm的工件。車刀

給工件的切削力Fx=260N，F(xiàn)y=505N，F(xiàn)z=1388N，齒輪

C在嚙合處所受力為F。求力F的大小及A、B兩軸承處的

反力。圖4-9車床主軸

解

(1)選主軸及工件為研究對(duì)象，畫受力圖，并選取適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)軸(圖4-9(b))。

(2)在空間受力圖中(圖4-9(b))，所有的力對(duì)y軸取矩：

∑My(F)=0，F(xiàn)tR－Fzr=0

則

(3)將各力分別在Azy平面(圖4-9(c))及Axy平面投影(圖

4-9(d))，得到兩個(gè)平面力系。

(4)分別對(duì)兩個(gè)平面力系列相應(yīng)的平衡方程。

Azy平面：

∑MA(F)=0，－Fr×50+FBz×200+Fz×300=0

∑Fz=0，F(xiàn)r+FAz+FBz+Fz=0

∑Fy=0，F(xiàn)Ay－Fy=0因Fr=Fttan20°=303.1N，得

FAz=－Fr－FBz－Fz=－303.1+2006.2－1388

=315.1N

FAy=Fy=505N

xAy平面：

∑MA(F)=0，－Ft×50－FBx×200+Fx×300－Fy×60=0

∑Fx=0，－Ft+FAx+FBx－Fx=0

得

FAx=Ft－FBx+Fx=832.8－30.3+260=1062.8N

4.3重心

4.3.1重心的概念

在日常生活與工程實(shí)際中，總會(huì)遇到重心問題。例如，當(dāng)我們用手推車推重物時(shí)，只有重物的重心正好與車輪軸線在同一鉛垂面內(nèi)時(shí)，才能比較省力。起重機(jī)吊起重物時(shí)，吊鉤必須位于被吊物體重心的上方，才能在起吊過程中保持物體的平衡穩(wěn)定。機(jī)械設(shè)備中高速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件，如電機(jī)轉(zhuǎn)子、砂輪、飛輪等，都要求它的重心位于轉(zhuǎn)動(dòng)軸線上，否則就會(huì)使機(jī)器產(chǎn)生劇烈的震動(dòng)，甚至引起破壞，造成事故。因此，重心與平衡穩(wěn)定、安全生產(chǎn)有著密切的關(guān)系。另一方面，有的機(jī)構(gòu)利用重心的偏移來制造打夯機(jī)、混凝土搗實(shí)機(jī)等，從而滿足了生產(chǎn)上的需要，提高了勞動(dòng)生產(chǎn)率。再如1975年修筑鷹夏鐵路時(shí)，廈門島與陸地之間有一段淺海，需要填海修筑長堤。當(dāng)時(shí)工期緊，裝卸石塊效率低。

為了解決這個(gè)問題，采用了快速拋石法。這個(gè)方法就是將石塊裝入竹籠，放在船上(圖4-10)運(yùn)到卸石地點(diǎn)，砍斷繩索，并推下左邊竹籠，使船體失去平衡向右傾斜，達(dá)到快速卸石的目的。由此可見，掌握重心位置的知識(shí)，在工程上是很有用的。圖4-10快速拋石法4.3.2重心坐標(biāo)公式

設(shè)一個(gè)物體由許多小塊組成，每一小塊都受到地球的吸引，其吸引力為ΔG1，ΔG2，…，ΔGn，它們組成一個(gè)空間平行力系(圖4-11)。該空間平行力系的合力為G，即該物體的重力，則

G=∑(ΔGk)

若合力作用點(diǎn)為C(xc，yc，zc)，根據(jù)合力矩定理，對(duì)y軸則有

G·xc=∑(ΔGk)·xk所以

(4-9a)

同理，對(duì)x軸，則有

(4-9b)若將物體連同坐標(biāo)系繞x軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過90°，再對(duì)x軸應(yīng)用合力矩定理，則可得

(4-9c)

點(diǎn)C為重力作用點(diǎn)，就是物體的重心。式(4-9)即重心的坐標(biāo)公式。圖4-11重心若物體為均質(zhì)體，則G=γ·V，ΔGk=γ·ΔVk，代入式

(4-9)，并消去γ，可得

(4-10)

可見，均質(zhì)物體的重心位置完全取決于物體的形狀。于是，均質(zhì)物體的重心也就改稱為形心。如果物體不僅是均質(zhì)的，而且是等厚平板，消去式(4-10)中的板厚，則其形心坐標(biāo)為

(4-11)若平面圖形處在xOy平面內(nèi)，即zc=0，則平面圖形的形心公式為

(4-12a)

(4-12b)4.3.3重心及形心位置的求法

1.對(duì)稱法(圖解法)

對(duì)于均質(zhì)物體，若在幾何形體上具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)，則該物體的重心或形心亦必在此對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)上。

若物體具有兩個(gè)對(duì)稱面，則重心在兩個(gè)對(duì)稱面的交線上；若物體有兩根對(duì)稱軸，則重心在兩根對(duì)稱軸的交點(diǎn)上。例如，球心是圓球的對(duì)稱點(diǎn)，也就是它的重心或形心；矩形的形心就在兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)上。圖4-12圖解法求形心

2.積分法(無限分割法)

在求基本規(guī)則形體的形心時(shí)，可將形體分割成無限多塊微小的形體。在此極限情況下，式(4-9a)、(4-9b)、(4-9c)均可寫成定積分形式。

重心公式為

(4-13)

3.組合法(有限分割法)

組合法是將一個(gè)比較復(fù)雜的形體分割成幾個(gè)形狀比較簡單的基本形體，每個(gè)形體的形心(重