2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.2第1課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE7-4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像NNN第1課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念．2．駕馭指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像．3．初步學(xué)會運(yùn)用指數(shù)函數(shù)來解決問題．1.通過理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用計(jì)算機(jī)軟件作指數(shù)函數(shù)的圖像，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．3．通過指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)指數(shù)函數(shù)函數(shù)__y＝ax__稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a＞0且a≠1．思索：(1)為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞0，且a≠1?(2)指數(shù)函數(shù)的解析式有什么特征？提示：(1)①假如a＝0，當(dāng)x＞0時，ax恒等于0，沒有探討的必要；當(dāng)x≤0時，ax無意義．②假如a＜0，例如f(x)＝(－4)x，這時對于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，該函數(shù)無意義．③假如a＝1，則y＝1x是一個常量，沒有探討的價值．為了避開上述各種狀況，所以規(guī)定a＞0，且a≠1．(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1．指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)問點(diǎn)0＜a＜1a＞1圖像定義域?qū)崝?shù)集R值域__(0，＋∞)__性質(zhì)過定點(diǎn)__(0,1)__是__減__函數(shù)是__增__函數(shù)思索：(1)對于指數(shù)函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，…，為什么肯定過點(diǎn)(0,1)?(2)對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？處y的范圍是什么？底數(shù)x的范圍y的范圍a＞1x＞0？x＜0？0＜a＜1x＞0？x＜0？提示：(1)當(dāng)x＝0時，a0＝1恒成立，即指數(shù)函數(shù)的圖像肯定過點(diǎn)(0,1)．(2)底數(shù)x的范圍y的范圍a＞1x＞0y＞1x＜00＜y＜10＜a＜1x＞00＜y＜1x＜0y＞1關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型指數(shù)函數(shù)的概念┃┃典例剖析__■典例1(1)函數(shù)y＝(a2－3a＋3)·ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為__2__．(2)指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π，e)，則f(－π)＝__eq\f(1,e)__．[分析](1)依據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式的特征列方程求解．(2)設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求f(－π)．[解析](1)由題意得a2－3a＋3＝1，即(a－2)(a－1)＝0，解得a＝2或a＝1(舍)．(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)為y＝ax(a＞0且a≠1)，則e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝eq\f(1,e)．規(guī)律方法：1.推斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法(1)把握指數(shù)函數(shù)解析式的特征：①底數(shù)a＞0，且a≠1；②ax的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1． (2)有些函數(shù)須要對解析式變形后推斷，如y＝eq\f(1,3x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指數(shù)函數(shù)．2．求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．(2)利用已知條件求底數(shù)A．(3)寫出指數(shù)函數(shù)的解析式．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■1．(1)函數(shù)f(x)＝(2a－3)ax是指數(shù)函數(shù)，則f(1)＝(D)A．8 B．eq\f(3,2)C．4 D．2(2)指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)＝__64__．[解析](1)因?yàn)閒(x)＝(2a－3)ax為指數(shù)函數(shù)，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(1)＝21＝2．(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為y＝ax(a＞0且a≠1)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，所以eq\f(1,4)＝a－2，所以a＝2，所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y＝2x，所以f(4)·f(2)＝24×22＝26＝64．題型指數(shù)函數(shù)的圖像問題┃┃典例剖析__■典例2(1)函數(shù)y＝ax，y＝x＋a在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(D)(2)要得到函數(shù)y＝23－x的圖像，只需將函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像(A)A．向右平移3個單位 B．向左平移3個單位C．向右平移8個單位 D．向左平移8個單位[分析](1)要留意對a進(jìn)行探討，分0＜a＜1和a＞1兩種狀況探討推斷．(2)先對解析式變形，再進(jìn)行推斷．[解析](1)函數(shù)y＝x＋a單調(diào)遞增．由題意知a＞0且a≠1．當(dāng)0＜a＜1時，y＝ax單調(diào)遞減，直線y＝x＋a在y軸上的截距大于0且小于1；當(dāng)a＞1時，y＝ax單調(diào)遞增，直線y＝x＋a在y軸上的截距大于1.故選D．(2)因?yàn)閥＝23－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像向右平移3個單位得到y(tǒng)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，即y＝23－x的圖像．規(guī)律方法：1.函數(shù)圖像問題的處理技巧(1)抓住圖像上的特別點(diǎn)，如指數(shù)函數(shù)的圖像過定點(diǎn)．(2)利用圖像變換，如函數(shù)圖像的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，奇偶性確定函數(shù)的對稱狀況，單調(diào)性確定函數(shù)圖像的走勢．2．指數(shù)型函數(shù)圖像過定點(diǎn)問題的處理策略求指數(shù)型函數(shù)圖像所過的定點(diǎn)時，只需令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的x與y的值，即為函數(shù)圖像所過的定點(diǎn)．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■2．(1)圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖像，則a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系是(D)A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜dB．a(chǎn)＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜dD．b＜a＜1＜d＜c(2)若函數(shù)y＝ax＋m－1(a＞0)的圖像經(jīng)過第一、三和第四象限，則(B)A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1[解析](1)過點(diǎn)(1,0)作直線x＝1，在第一象限內(nèi)分別與各曲線相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，故b＜a＜1＜d＜C．(2)y＝ax(a＞0)的圖像在第一、二象限內(nèi)，欲使y＝ax＋m－1的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，必需將y＝ax向下移動．當(dāng)0＜a＜1時，圖像向下移動，只能經(jīng)過第一、二、四象限或其次、三、四象限，故只有當(dāng)a＞1時，圖像向下移動才可能經(jīng)過第一、三、四象限．當(dāng)a＞1時，圖像向下移動不超過一個單位時，圖像經(jīng)過第一、二、三象限，向下移動一個單位時，圖像恰好經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三象限，欲使圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必需向下平移超過一個單位，故m－1＜－1，所以m＜0，故選B．題型指數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題┃┃典例剖析__■典例3(1)當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)＝(a2－1)x的值域?yàn)?1，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2)) B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)(2)函數(shù)y＝5eq\r(2x－1)的定義域?yàn)開_eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))__．[分析](1)依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像，函數(shù)值恒大于1，底數(shù)應(yīng)當(dāng)大于1可得．(2)依據(jù)根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0求解．[解析](1)當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)＝(a2－1)x的值總大于1，則底數(shù)a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞eq\r(2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)要使函數(shù)y＝5eq\r(2x－1)有意義，則2x－1≥0，所以x≥eq\f(1,2).所以函數(shù)y＝5eq\r(2x－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))．規(guī)律方法：函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．(2)值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．提示：(1)通過建立不等關(guān)系求定義域時，要留意解集為各不等關(guān)系解集的交集．(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時，在求定義域、值域時要留意分類探討．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■3．(1)已知集合A＝{x|y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))}，B＝{0,2,4}，A∩B＝____________；(2)求函數(shù)y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定義域和值域．[解析](1)要使y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))有意義需x－4≠0，則x≠4，即A＝{x|x≠4，x∈R}，所以A∩B＝{0,2}．(2)要使函數(shù)y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))有意義，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))，則t＞0，由于函數(shù)y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函數(shù)，故3t＞1.故函數(shù)y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定義域?yàn)閧x|x＞2}，值域?yàn)閧y|y＞1}．誤區(qū)警示：此題易忽視2x－4≠0，而誤認(rèn)為2x－4≥0從而造成錯誤．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4若函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，求實(shí)數(shù)a的值．[錯解]∵函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝2,a2－1＝0))，∴a＝eq\r(3)．故實(shí)數(shù)a的值為eq\r(3)．