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文檔簡介
第7章三維圖形處理技術7.2三維圖形的幾何變換7.3平行投影變換7.4透視投影變換7.6三維幾何造型基礎7.2三維圖形的幾何變換7.2.1幾何變換矩陣三維圖形的幾何變換是二維圖形幾何變換的擴展。三維空間點同樣用齊次坐標表示為[xyz1];
相應的變換矩陣應是T4×4的方陣。比例、旋轉反射、錯切透視平移整體比例7.2.2基本變換
1.平移變換
空間點沿X、Y、Z方向分別平移l、m、n后坐標變?yōu)?/p>
x*
=x+ly*=y+mz*=z+n
其變換矩陣為(a)圖是平移前(b)圖是平移后。2.比例變換1)局部比例變換把空間點的坐標分別沿X、Y、Z方向按比例放縮a、e、j倍后變?yōu)閤*=axy*=eyz*=jz其變換矩陣為:2)整體比例變換當主對角線a=e=j=1,s≠1時:當s>1時,使立體縮??;當s<1時,使立體放大。S為全局比例變換因子正?;?/p>
比例變換
3.旋轉變換
旋轉變換就是物體繞某個三維軸線旋轉。轉軸可以是坐標軸,也可以是任意位置直線。(1)轉軸是坐標軸:基本旋轉變換在旋轉過程中,由于空間點沿坐標軸(轉軸)方向的坐標不變,故其實質仍是二維旋轉變換。(2)轉軸是任意位置直線:組合變換繞X旋轉繞Y旋轉繞Z旋轉
規(guī)定:旋轉方向按右手法則確定。用大拇指指向轉軸正向(箭頭方向),其余四指的方向為正向旋轉,其轉角取正值;反之為負向旋轉,轉角取負值。1)繞X軸旋轉a1角
空間點繞X軸正向旋轉a1角后,x坐標不變,y、z坐標變化,即x*=xy*=Lcos(a1+a)=Lcosa1cosa-Lsina1sinaz*=Lsin(a1+a)=Lsina1cosa+Lcosa1sina
x*=xy*=ycosa1-zsina1z*=ysina1
+zcosa1繞X軸旋轉θx角,其旋轉變換矩陣為:x*=xy*=ycosθx-zsinθxz*=ysinθx
+zcosθx
2)繞Y軸旋轉θy角
空間點繞Y軸旋轉θy角后,y坐標不變,x、z
坐標改變:
x*=xcosθy+zsinθyy*=yz*=-xsinθy+zcosθy其旋轉變換矩陣為:
3)繞Z軸旋轉θz角空間點繞Z軸旋轉θz角后,z坐標不變,x、y坐標改變:
x*=xcosθz-ysinθzy*=xsinθz+ycosθzz*=z其旋轉變換矩陣為:立方體繞各坐標軸的旋轉變換(a)繞X軸旋轉90°;(b)繞Y軸旋轉90°;(c)繞Z軸旋轉90°
7.2.3組合變換
1.轉軸為過原點的一般位置直線設轉軸為ON,空間點P繞ON旋轉θ角到P*點。轉軸ON與X、Y、Z坐標軸的夾角分別是α、β、γ。三根坐標軸的方向余弦分別為:
n1=
cosαn2=
cosβn3=
cosγ
(1)ON軸繞Z軸旋轉-φz角,變成ON1;(2)ON1軸繞Y軸旋轉-ωy角,變成ON2;(3)P2點繞ON2(Z軸)旋轉θ角,轉到P3點;(4)步驟2逆變換;(5)步驟1逆變換
(1)ON軸繞Z軸旋轉-φz角。使ON軸轉到XOZ坐標面上的ON1位置。此時P點隨之轉到P1處。由圖中的幾何關系:變換矩陣為
(2)在XOZ坐標面上把ON1繞Y軸旋轉-ωy角,與Z軸重合在ON2處,此時P1點隨之轉到P2位置。由圖可得:變換矩陣為(3)P2點繞ON2(Z軸)旋轉θ角,轉到P3點。
變換矩陣為
(4)對步驟(2)作逆變換,返回位置ON1處.
其變換矩陣為
(5)對步驟(1)作逆變換,返回原位置ON處.
其變換矩陣為
投影使用平面圖形表達空間物體的一種方法。
投影圖:平行投影圖、透視投影圖(中心投影法)平行投影圖:正平行投影圖、斜平行投影圖透視投影圖:一點透視、兩點透視、三點透視7.3平行投影變換
計算機產(chǎn)生投影圖有兩種方法:①透射方向和投影面不動,通過旋轉來改變物體方位,得到不同效果投影圖;②物體不動,改變透射方向和投影面而得到不同效果投影圖。
7.3.1正投影變換
物體三視圖的形成
1.主視圖(正面投影)的變換矩陣
主視圖是將物體向V面進行正投影得到的。這時y=0,其他坐標不變。其變換矩陣為:02.俯視圖(水平投影)的變換矩陣
俯視圖可以將物體向H面進行正投影,再把H面繞X軸旋轉-90°與V面攤平,然后沿Z軸平移-n(使俯視圖與主視圖拉開距離)。俯視圖也可以是將物體繞X軸旋轉-90°,再向V面作正投影,然后沿Z軸平移-n。
3.左視圖(側面投影)的變換矩陣
左視圖是將物體繞Z軸旋轉90°,再向V面作正投影,然后沿X軸平移-L(使左視圖與主視圖保持一定距離)得到的。左視圖也可以將物體向W面進行正投影,再把W面繞Z軸旋轉90°與V面攤平,然后沿X軸平移-L。
7.3.2正軸測投影變換
正軸測圖的形成原理:以V面為軸測投影面,空間物體相對V面放正作為初始位置。先把物體繞Z軸旋轉θz,再繞X軸旋轉-θx,最后向V面作正投影得到正軸測圖。其變換矩陣為:
1)正等軸測圖的變換矩陣正等軸測圖形成時,θz=45°,θx=35°16′=35.26°,將它們代入T中,則變換矩陣為:
2)正二等軸測圖的變換矩陣正二等軸測圖形成時,θz=20°42′=20.7°,θx=19°28′=19.47°,代入T中得變換矩陣為:
作業(yè)三維圖形幾何變換矩陣的一般形式是什么?包括哪些基本變換?寫出各基本變換的矩陣形式。用矩陣形式寫出主視圖、俯視圖、左視圖的變換過程。用矩陣形式描述軸測圖的生成過程。7.4透視投影變換目的:表達透視感和立體感強的效果圖(透視圖)投影法:中心投影法7.4.1透視圖的性質及分類透視圖的生成
進行透視投影時,一般把投影面放在視點(觀察者)與物體之間,由視點向物體發(fā)出的投射線與投影面的交點,便形成物體的透視圖。
投影面物體視點
1.透視投影特性(1)空間線段的透視投影均被縮短。距投影面越遠,縮短得越厲害。(2)空間相交兩直線,其透視投影必相交。投影的交點就是空間直線交點的投影。(3)任何一束平行線,若不平行于投影面,它們的透視投影將匯集于一點,該點稱為滅點;若平行于投影面,其透視投影也平行。
2.主滅點與透視投影的種類
在透視投影中,物體上與坐標軸平行的輪廓線的滅點被稱為主滅點。主滅點最多可以有三個。按主滅點數(shù)目的多少,透視投影分為:
一點透視兩點透視三點透視
相應的透視圖分別稱為一點透視圖、兩點透視圖和三點透視圖。
7.4.2點的透視變換
變換矩陣推導如下:投射線PVP的參數(shù)方程為
X=0+(x-0)tY=yVP+(y-yVP)tZ=0+(z-0)t投射線與XOZ投影面交于P*點,此時Y=0,代人:
Y=yVP+(y-yVP)t,得到:
把t代入投射線方程得:寫成變換矩陣為
上式可看作先進行透視變換,再向XOZ投影面作正投影變換的組合變換:透視變換矩陣
7.4.3立體的透視圖1.一點透視(平行透視)變換在實際產(chǎn)生透視圖時,為方便地輸入物體的數(shù)據(jù),一般將物體的初始位置放在原點,其主要表面與投影面平行。
一點透視圖:
為增強透視圖的立體感,做一點透視變換時,先把物體平移到合適的位置,然后進行透視變換。這時物體上只有一組棱線不平行于投影面,這組棱線的透視投影出現(xiàn)滅點,便形成一點透視。其變換矩陣為:其變換矩陣為:
Y向輪廓線滅點:[0-yVP01]
2.兩點透視(成角透視)變換
為了使物體的透視投影產(chǎn)生兩個滅點,應使物體在初始位置的基礎上繞Z軸轉θ角,使物體上的X、Y向輪廓線與投影面傾斜。
為獲得較好的投影效果,兩點透視變換為先平移物體,再旋轉,最后進行透視變換。其變換矩陣為其變換矩陣為
X向輪廓線滅點:[-yVPcot-yVP01]
Y向輪廓線滅點:[-yVPtan-yVP01]
三點透視圖3.三點透視(斜透視)變換
三點透視變換是物體先繞Z軸轉θ角,再繞X軸轉φ角,然后適當平移,再作透視變換而得到。三個軸上的無窮遠點經(jīng)T3變換得到三個滅點:X向輪廓線滅點
Y向輪廓線滅點Z向輪廓線滅點
O3(0,yVP
cotφ)
作業(yè)什么是滅點?什么是主滅點?透視圖按照
的個數(shù)分為一點透視、兩點透視、三點透視?寫出透視變換的矩陣形式。采用矩陣形式寫出一點透視、兩點透視、三點透視圖的形成過程?透視圖與軸測圖異同點有哪些?7.6三維幾何造型基礎
7.6.1幾何造型技術
1.線框造型技術線框造型就是將客觀物體看成是三維空間中線段的集合,即用輪廓邊描述幾何形體。線框的數(shù)據(jù)存儲量最小,操作靈活,響應速度快,從它產(chǎn)生二維視圖和工程圖也比較方便。該方法定義過程簡單,符合人們思維習慣。很多復雜的產(chǎn)品設計中往往先用線條勾畫出基本輪廓,然后逐步細化。例如軸測圖。
2.表面造型技術用三維空間中若干多邊形平面的集合來逼近空間物體的輪廓面,從而描述它的幾何形狀。實際上表面造型是在線框造型基礎上增加了面的信息。在數(shù)據(jù)結構上增加了面表。表面造型中的表面可以是平面、規(guī)則曲面(如圓柱面、圓錐面、圓球面、一般二次曲面、旋轉曲面、直紋曲面、掃移曲面等)、自由曲面、分形曲面等。
3.實體造型技術在表面造型基礎上,對三維圖形實體存在的一側給出明確定義。外法矢量方向相反的一側為實體存在的半空間。若干半空間
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