浙江金蘭教育合作組織2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江金蘭教育合作組織2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．12．在中，角的對(duì)邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知為兩條不重合直線，為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．7．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長(zhǎng)度為（）A． B．C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C．2 D．9．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則()A． B． C． D．10．一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④12．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過程中，則下列表述：①平面；②四點(diǎn)、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.14．在等差數(shù)列（）中，若，，則的值是______.15．如圖,已知，，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．16．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）.19．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值.20．（12分）已知橢圓，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過軸上的定點(diǎn).21．（12分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、（不與點(diǎn)、重合），直線與直線相交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線.22．（10分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成的角最小時(shí)，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

由，可得，化簡(jiǎn)利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A5、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對(duì)有，即，解得，再對(duì)，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，因?yàn)?，所?因?yàn)樗?在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題6、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，時(shí)，則，故不能作為的充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

設(shè)，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解：由題意知，，，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法.9、C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，令，，解得，不妨設(shè)，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；②：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)椋?，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱性，可通過替換方程中去分析證明.12、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】

連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，，平面，平面，平面，若四點(diǎn)、、、共面，則這四點(diǎn)可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，連接、，設(shè)，則，在中，，，則為等腰直角三角形，且，，，且，由余弦定理得，，，又，，平面，平面，，，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題③正確；對(duì)于命題④，假設(shè)平面與平面垂直，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，，，，，，又，平面，平面，.，平面，平面，.，，顯然與不垂直，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.14、-15【解析】

是等差數(shù)列，則有，可得的值，再由可得，計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，又，，，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，也可以由已知條件求出和公差，再計(jì)算.15、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離，利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離，屬綜合中檔題.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即.（2），.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩不等實(shí)根，即.令，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得且.又由，所以，且當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，是極值點(diǎn)，此時(shí)令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹愠闪?，所?若，取，則，所以.令，則，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即存在使得，不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識(shí)，是一道難題.19、（1）（2）【解析】

（1）由公比表示出，由成等差數(shù)列可求得，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求（1）得，然后對(duì)和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解．【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式．本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法，求和是用并項(xiàng)求和法．?dāng)?shù)列的求和除公式法外，還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組（并項(xiàng)）求和法等等．20、（1）或；（2）見解析【解析】

（1）由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為，則，由，有，所以，由在橢圓上，則，解得，此時(shí)在橢圓內(nèi)部，所以滿足直線與橢圓相交，故所求直線方程為或.（也可聯(lián)立直線與橢圓方程，由驗(yàn)證）（2）設(shè)，則，直線的方程為.由得，由，解得，，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點(diǎn)問題，計(jì)算過程較復(fù)雜，屬于難題.21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合離心率和關(guān)系，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率不為零，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，求出方程，令求出坐標(biāo)，要證、、三點(diǎn)共線，只需證，將分子用縱坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由于，將代入橢圓方程，得，由題