【模塊2】（方程（組）與不等式（組））教師版

模塊二方程（組）與不等式（組）

第一講一次方程（組）及其應(yīng)用

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：方程的相關(guān)概念及等式的性質(zhì)

1、方程的相關(guān)概念

含有未知數(shù)的叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的過程叫做解方程;只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)(或除以同一個不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對稱性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

知識點2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有個未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是，等號兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時應(yīng)抓住以下兩點：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

2、解一元一次方程的一般步驟

1x4x1若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括號，則先去小括號，再去中

去括號：33x8x26

括號，最后去大括號。若去括號時括號前

去括號

移項：8x3x263是負(fù)號，去掉括號后，括號內(nèi)的各項均

合并同類項：11x11要。

系數(shù)化為1：

x1把含有未知數(shù)的項移到等式的一邊，其他

移項項移到另一邊。一般把含的項移到

注：本題中去分母時，方程右側(cè)的-1等式左邊。移項要改變符號。

易漏乘最小公倍數(shù)；移項時易忘變

合并同類項把方程化成axb（a0）的形式。

號。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識點3：二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無數(shù)組解

方程知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程。個未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個二元一一般地，二元一次方程組的兩個方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另

一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過適當(dāng)變形后可以

使同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去這個未知數(shù)，

第1頁共57頁.

化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時依據(jù)方程自身特點，靈活運用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時，選擇代入消元法較簡

單。

當(dāng)二元一次方程組中兩個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時，選擇加減消元法較簡單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡，快速解題。

知識點4：*三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的

次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

知識點5：一次方程（組）的實際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗：檢驗所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

行程問題相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

追及問題:同地不同時出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路

程.

儲蓄問題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤

銷售問題總價=單價×數(shù)量,利潤率=×100%,利潤=售價-成本(或進(jìn)價)=利潤率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長率問

已知基礎(chǔ)量為a,增長后為b,若設(shè)增長率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問題十位a，個位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個位c，表示為100a+10b+c

直擊中考勝券在握

1．（四川省南充市2019年中考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元一次方程2xa2m4的解為x1，則am的值為（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．

【詳解】

解：因為關(guān)于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1，

可得：a-2=1，2+m=4，

解得：a=3，m=2，

第2頁共57頁.

所以a+m=3+2=5，

故選C．

【點睛】

此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答．

11

2．解一元一次方程(x1)1x時，去分母正確的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

【答案】D

【分析】

根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．

【詳解】

解：方程兩邊都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

故選：D．

【點睛】

本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．

2xy3①

3．（湖南省益陽市2021年中考數(shù)學(xué)真題）解方程組時，若將①-②可得（）

2x3y4②

A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

【答案】D

【分析】

根據(jù)加減消元法即可得．

【詳解】

解：①-②得：2xy(2x3y)34，

即4y1，

故選：D．

【點睛】

本題考查了加減消元法，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵．

xya1

4．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，則a的值為（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

【答案】D

【分析】

解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得到關(guān)于a的方程，解方程即可．

【詳解】

第3頁共57頁.

xya1①

解：，

xy3a5②

①+②得

2x=2a+6，

x=a+3，

把代入①，得

a+3+y=-a+1，

y=-2a-2，

∵x＋2y＝﹣1

∴a+3+2(-2a-2)=-1，

∴a=0，

故選D．

【點睛】

本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得

到關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．

2

5．已知5xy3xy10，則（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

【詳解】

xy30

解：由題意可知：

xy10

x2

解得：，

y1

故選：B．

【點睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．

6．某種商品的標(biāo)價為120元，若以九折降價出售，相對于進(jìn)貨價仍獲利20%，該商品的進(jìn)貨價為（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

【答案】C

【解析】

試題分析：商品的實際售價是標(biāo)價×90%=進(jìn)貨價+所得利潤（20%?x）．設(shè)該商品的進(jìn)貨價為x元，根據(jù)題意列方

程得x+20%?x=120×90%，解這個方程即可求出進(jìn)貨價．

第4頁共57頁.

解：設(shè)該商品的進(jìn)貨價為x元，

根據(jù)題意列方程得x+20%?x=120×90%，

解得x=90．

故選C．

考點：一元一次方程的應(yīng)用．

7．（2021·四川南充·中考真題）端午節(jié)買粽子，每個肉粽比素粽多1元，購買10個肉粽和5個素粽共用去70元，

設(shè)每個肉粽x元，則可列方程為（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意表示出肉粽和素粽的單價，再列出方程即可．

【詳解】

設(shè)每個肉粽x元，則每個素粽的單價為（x-1）元，

由題意：10x5(x1)70，

故選：A．

【點睛】

本題考查列一元一次方程，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

8．（2021·黑龍江·中考真題）為迎接2022年北京冬奧會，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動，計劃拿出180

元錢全部用于購買甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），獎勵表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎品每件15元，乙種

獎品每件10元，則購買方案有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

【答案】A

【分析】

設(shè)購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得15x10y180，進(jìn)而求解即可．

【詳解】

解：設(shè)購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得：

15x10y180，

3

∴y18x，

2

∵x0,y0，且x、y都為正整數(shù)，

∴當(dāng)x2時，則y15；

當(dāng)x4時，則y12；

當(dāng)x6時，則y9；

當(dāng)x8時，則y6；

當(dāng)x10時，則y3；

∴購買方案有5種；

第5頁共57頁.

故選A．

【點睛】

本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．

9．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【答案】B

【分析】

設(shè)可以購買x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為

正整數(shù)即可得出小明有4種購買方案．

【詳解】

解：設(shè)可以購買x支康乃馨，y支百合，

依題意，得：2x+3y＝30，

2

∴y＝10﹣x．

3

∵x，y均為正整數(shù)，

x3x6x9x12

∴，，，，

y8y6y4y2

∴小明有4種購買方案．

故選：B．

【點睛】

本題考查了二元一次方程應(yīng)用中的整數(shù)解問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

10．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)生，學(xué)校計劃用200元錢

購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用

完的情況下，有多少種購買方案（）

A．12種B．15種C．16種D．14種

【答案】D

【分析】

設(shè)購買A、B、C三種獎品分別為x,y,z個，根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，化簡后根據(jù)x,y,z均為正

整數(shù)，結(jié)合C種獎品不超過兩個分類討論，確定解的個數(shù)即可．

【詳解】

解：設(shè)購買A、B、C三種獎品分別為x,y,z個，

根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，

即x2y3z20，

由題意得x,y,z均為正整數(shù)．

①當(dāng)z=1時，x2y17

17y

∴x，

2

第6頁共57頁.

∴y分別取1，3，5，7，9，11，13，15共8種情況時，x為正整數(shù)；

②當(dāng)z=2時，x2y14

14y

∴x，

2

∴y可以分別取2，4，6，8，10，12共6種情況，x為正整數(shù)；

綜上所述：共有8+6=14種購買方案．

故選：D

【點睛】

本題考查了求方程組的正整數(shù)解，根據(jù)題意列出方程，并確定方程組的解為正整數(shù)是解題關(guān)鍵．

11．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級期中）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)甲

得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如

2

果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50，問：甲、乙兩人

3

各帶了多少錢？設(shè)甲、乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

【答案】A

【分析】

根據(jù)“如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的三分之二，那么乙也共有錢50”，

即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【詳解】

1

xy50

2

解：依題意，得：，

2

yx50

3

故選：A．

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

1

12．（2021·湖南懷化·中考真題）定義ab2a，則方程3x42的解為（）

b

1234

A．xB．xC．xD．x

5555

【答案】B

【分析】

根據(jù)新定義,變形方程求解即可

【詳解】

1

∵ab2a,

b

第7頁共57頁.

11

∴3x42變形為2324,

x2

2

解得x，

5

2

經(jīng)檢驗x是原方程的根，

5

故選B

【點睛】

本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關(guān)鍵

13．（2020·四川南充·中考真題）筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學(xué)購買筆記本和鋼筆恰好用去100元，那

么最多可以購買鋼筆_______支．

【答案】10

【分析】

首先設(shè)某同學(xué)買了x支鋼筆，則買了y本筆記本，根據(jù)題意購買鋼筆的花費+購買筆記本的花費=100元，可得

7x

y=20-，根據(jù)x最大且又能被5整除，即可求解．

5

【詳解】

100-7x7x

設(shè)鋼筆x支，筆記本y本，則有7x+5y=100，則y==20-，

55

∵x最大且又能被5整除，y是正整數(shù)，

∴x=10，

故答案為：10．

【點睛】

此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的相等關(guān)系．

14．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得

甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢，若乙把自己一半

2

的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把自己的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50．問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲持

3

錢數(shù)為x，乙持錢數(shù)為y，可列方程組為________．

y

x50

2

【答案】

2

xy50

3

【詳解】

2

【分析】甲持錢數(shù)為x，乙持錢數(shù)為y，根據(jù)題意可得：甲的錢+乙的錢的一半=50，乙的錢+甲所有錢的=50，

3

據(jù)此列方程組即可.

【詳解】由題意可得，

第8頁共57頁.

y

x50

2

，

2

xy50

3

y

x50

2

故答案為．

2

xy50

3

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2x3y5a

15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿足xy0，則a的取值

x4y2a3

范圍是____．

【答案】a1．

【分析】

根據(jù)題目中方程組的的特點，將兩個方程作差，即可用含a的代數(shù)式表示出xy，再根據(jù)xy0，即可求得a

的取值范圍，本題得以解決．

【詳解】

2x3y5a①

解：

x4y2a3②

①-②，得xy3a3

∵xy0

∴3a30，

解得a1，

故答案為：a1．

【點睛】

本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

3xmy5x1

16．（山東省濱州市2018年中考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程組的解是_______．

2(ab)n(ab)6

3

a

2

【答案】

1

b

2

【分析】

3xmy5x1

方法一：利用關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是可得m、n的數(shù)值，代入關(guān)于a、b的方程組

2xny6y2

即可求解；

3(ab)m(ab)=5ab1

方法二：根據(jù)方程組的特點可得方程組的解是，再利用加減消元法即可求出a,b．

2(ab)n(ab)6ab2

第9頁共57頁.

【詳解】

3xmy5x1

詳解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，

2xny6y2

x13xmy5

∴將解代入方程組

y22xny6

可得m=﹣1，n=2

3abmab=54a2b5

∴關(guān)于a、b的二元一次方程組整理為：

2abnab64a6

3

a

2

解得：

1

b

2

3xmy5x1

方法二：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5ab1

∴方程組的解是

2(ab)n(ab)6ab2

3

a

ab12

解得

ab21

b

2

3

a

2

故答案為：．

1

b

2

【點睛】

本題考查二元一次方程組的求解，重點是整體考慮的數(shù)學(xué)思想的理解運用在此題體現(xiàn)明顯．

1016

17．（2021·廣東·九年級專題練習(xí)）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

【答案】1

【分析】

觀察已知條件可得兩式中a與b的系數(shù)的差相等，因此把兩式相減即可得解．

【詳解】

1016

解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案為：1．

【點睛】

此題主顧考查了二元一次方程組的特殊解法，觀察條件的結(jié)構(gòu)特征得出2a+2b=2是解答此題的關(guān)鍵．

第10頁共57頁.

ab(ab)

．（浙江浙江七年級期中）對于實數(shù)，，定義運算※：a※，例如※，因為，

182021··ab“”222323

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y滿足方程組，則x※y____．

2xy29

【答案】13

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及新定義運算法則即可求出答案．

【詳解】

x4y8

解：由題意可知：，

2xy29

x12

解得：，

y5

∵x＞y，

∴原式=1225213，

故答案為：13．

【點睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解法以及正確理解新定義運算法則，

本題屬于基礎(chǔ)題型．

3xy4

19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：.

x2y3

x1

【答案】.

y1

【詳解】

分析:（1）根據(jù)代入消元法，可得答案.

3xy4①

詳解:

x2y3②

由②得：x=-3+2y③，

把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，

解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1，

x1

則原方程組的解為：.

y1

點睛:此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

20．（2021·四川·石室中學(xué)八年級期中）解方程組：

x2y10

（1）；

y2x

第11頁共57頁.

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

x2x3

【答案】（1）；（2）

y4y5

【分析】

（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；

3(xy)2(xy)10

（2）先整理原方程得然后把xy和xy當(dāng)做一個整體利用加減消元法求出

xy2xy14

xy2③，xy8④，然后利用加減消元法求解即可．

【詳解】

x2y10①

解：（1），

y2x②

把②代入①中得：x4x10，解得x2，

把x2代入②中得，y4，

x2

∴方程組的解集為；

y4

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7

422

3(xy)2(xy)10①

整理得：，

xy2xy14②

用①-②得：2xy4，解得xy2③，

把③代入①得：62xy10，解得xy8④，

用③+④得：2x6，解得x3，

把x3代入③得y5，

x3

∴方程組的解為．

y5

【點睛】

本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解二元一次方程組的方法．

ax23y103xy2

21．（廣東省2020年中考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x2axb0的解．試判斷該三角形

的形狀，并說明理由．

【答案】（1）43；12（2）等腰直角三角形，理由見解析

【分析】

第12頁共57頁.

ax23y103xy2

（1）關(guān)于x，y的方程組與的解相同．實際就是方程組

xy4xby15

xy4

的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；

xy2

（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個解與26為邊長，判斷三

角形的形狀．

【詳解】

解：由題意列方程組：

xy4x3

解得

xy2y1

將x3，y1分別代入ax23y103和xby15

解得a43，b12

∴a43，b12

（2）x243x120

434848

解得x23

2

這個三角形是等腰直角三角形

理由如下：∵(23)2(23)2(26)2

∴該三角形是等腰直角三角形．

【點睛】

本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是

得出正確答案的關(guān)鍵．

22．（2021·陜西·中考真題）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價相同）時，按這種服裝每件標(biāo)價的8折銷售

10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價．

【答案】這種服裝每件的標(biāo)價是110元

【分析】

設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是x元，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解即可．

【詳解】

解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是x元，根據(jù)題意，得

100.8x11x30，

解得x110；

答：這種服裝每件的標(biāo)價是110元．

【點睛】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

23．（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識競答活動，

第13頁共57頁.

并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎品的三種物品，回到學(xué)校

后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．

請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金

額．

【答案】購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元

【分析】

根據(jù)題意可知鋼筆和筆記本一共50個，兩種物品的金額1000-600=400元，再根據(jù)題意列二元一次方程組即可

【詳解】

解：設(shè)鋼筆買了x支，筆記本買了y本

根據(jù)題意可得：鋼筆和筆記本一共56-6=50個

鋼筆和筆記本兩種物品的金額一共1000-600=400元

xy50

則有

15x5y400

x15

解得：

y35

則購置筆記本金額為：35×5=175元

購置鋼筆金額為：15×15=225元

答：購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元

【點睛】

本題考查列二元一次方程組解決實際問題，根據(jù)已知條件正確的找出等量關(guān)系是關(guān)鍵

24．（2021·貴州安順·中考真題）為慶?！爸袊伯a(chǎn)黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動

的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時間和利潤如

下表：

產(chǎn)品展板宣傳冊橫幅

11

制作一件產(chǎn)品所需時間（小時）1

52

制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310

第14頁共57頁.

（1）若制作三種產(chǎn)品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量；

（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．

【答案】（1）制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；（2）制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

【分析】

（1）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，根據(jù)等量關(guān)系，列出二元一次方程組，即可求解；

1007x

（2）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，可得y，結(jié)合x，y取正整數(shù)，可得制作三

2

種產(chǎn)品總量的最小值．

【詳解】

（1）解：設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，

20x35x10y450

x10

根據(jù)題意得：11，解得：，

x5xy25y10

52

5×10=50，

答：制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；

（2）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，制作三種產(chǎn)品總量為w，

由題意得：20x35x10y700，即：7x2y100，

1407x

∴y，

2

1407x1405x5

∴w=x5xy6x70x，

222

∵x，y取正整數(shù)，

∴x可取的最小整數(shù)為2，

5

∴w=70x的最小值=55，即：制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

2

【點睛】

本題主要考查二元一次方程組以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出方程組以及一次函數(shù)的解析式，是

解題的關(guān)鍵．

25．（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5

輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．

（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？

（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿

載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指

出哪種運輸方案費用最少．

【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用

A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租

用A型車8輛，B型車2輛最少．

【分析】

第15頁共57頁.

（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90

噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸”列方程組求解可得；

（2）設(shè)貨運公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，

n均為正整數(shù)，即可得出各運輸方案．再根據(jù)方案計算比較得出費用最小的數(shù)據(jù)．

【詳解】

解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，

3x2y90

根據(jù)題意可得：，

5x4y160

x20

解得：，

y15

答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；

（2）設(shè)安排A型車m輛，B型車n輛，

383n

依題意得：20m+15n=190，即m，

4

又∵m，n均為正整數(shù)，

m8m5m2

∴或或，

n2n6n10

∴共有3種運輸方案，

方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；

方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；

方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．

方案1所需費用：5008+4002=4800(元)；

方案2所需費用：5005+4006=4900(元)；

方案3所需費用：5002+40010=5000(元)；

∵4800＜4900＜5000，

∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運輸費用為4800元．

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元

一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費用=500×安排A型車的輛數(shù)+400×B型車的

輛數(shù)分別求出三種運輸方案的總費用．

模塊二方程（組）與不等式（組）

第二講一元二次方程及其應(yīng)用

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：一元二次方程及其解法

定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式）

第16頁共57頁.

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次項的系數(shù)；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意實數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知識點2：一元二次方程根的判別式

0方程實數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實數(shù)根

易錯點：因忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。

如：已知關(guān)于x的一元二次方程ax23x10有兩個實數(shù)根,求a的取值范圍.

知識點3：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

知識點4：一元二次方程的應(yīng)用

實際數(shù)量-基準(zhǔn)數(shù)量

（1）增長率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

基準(zhǔn)數(shù)量-降低后達(dá)到數(shù)量

（2）降低率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

變化率問題

（3）設(shè)a為原來的量,m為平均增長率,n為增長次數(shù),b為增

n

長后的量,則a1mb；當(dāng)m為平均下降率,b為下降后的

n

量時,a1mb

本息和=本金+利息

利率問題

利息=本金×利率×期數(shù)

毛利潤=銷售總額-進(jìn)貨總額

純利潤=銷售總額-進(jìn)貨總額-其他費用

銷售利潤問題利潤率=利潤÷成本×100%

銷售總額=售價×銷量

進(jìn)貨總額=進(jìn)價×進(jìn)貨數(shù)量

若共有n個隊，每個隊都與其他隊比賽一場，則一共比賽

單循環(huán)問題nn1

場

2

第17頁共57頁.

直擊中考勝券在握

1．（2021·臨沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項．

【詳解】

解：∵x2x56，

∴x2x560，

∴x7x80，

∴x+7=0，x-8=0，

∴x1=-7，x2=8．

故選：C．

【點睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩

個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了．

2．（2021·麗水中考）用配