2024-2025學(xué)年廣東省江門市鶴山市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省江門市鶴山市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．為了弘揚(yáng)體育精神，學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得分分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為（

）A．8 B．9 C．8.5 D．9.52．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則m的值為（

）A． B．1 C． D．23．下列命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．44．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且焦距為4，則（）A．5 B．6 C．9 D．105．若樣本的平均值是5，方差是3，樣本的平均值是9，標(biāo)準(zhǔn)差是b，則（

）A． B． C． D．6．若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．97．孿生素?cái)?shù)（素?cái)?shù)是只有1和自身因數(shù)的正整數(shù)）猜想是希爾伯特在1900年正式提出的23個(gè)問(wèn)題之一，具體為：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)，在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其中能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率是（

）A． B． C． D．8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面10．伯努利試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋鄭一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記錄這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則與不互斥 B．若，則與不相互獨(dú)立C．若，則與相互獨(dú)立 D．若，則與互斥11．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為邊的中點(diǎn)，把和分別沿，折起.使得，兩點(diǎn)重合為一點(diǎn).下列四個(gè)命題正確的是（

）A．平面B．直線與直線所成的角為C．二面角的大小為D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，則.13．已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若的一個(gè)法向量為，則到平面的距離為．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，過(guò)作的垂線交軸于點(diǎn)，若，記橢圓的離心率為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，，．(1)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；(2)若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值．16．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)和，且圓心在直線上.(1)求圓C的方程：(2)若直線與圓的交點(diǎn)為兩點(diǎn)，求.17．溺水?校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問(wèn)題越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分.在競(jìng)賽中，甲?乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問(wèn)題正確與否相互之間沒(méi)有影響.(1)求甲隊(duì)總得分為1分的概率；(2)求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.18．橢圓的中心是原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)如果過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，且，求直線的方程.19．如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意可得：，解得：，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為，故選：C.2．【正確答案】B【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，所以，．故選：B．3．【正確答案】A【分析】根據(jù)互斥之間和對(duì)立事件的概念，及互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系和概率的計(jì)算，即可作出判斷，得到答案．【詳解】由題意①中，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.本題主要考查了互斥事件和對(duì)立事件的基本概念、互斥事件與對(duì)立時(shí)間的關(guān)系及其應(yīng)用，其中熟記互斥事件和對(duì)立事件的概念和關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【正確答案】C【詳解】因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上且焦距為的橢圓，所以，解得，故選：C.5．【正確答案】D【分析】設(shè)的平均值為，方差為，進(jìn)而根據(jù)公式列式求解即可.【詳解】解：設(shè)的平均值為，方差為，因?yàn)闃颖镜钠骄凳?，方差是3，所以，因?yàn)闃颖镜钠骄凳?，標(biāo)準(zhǔn)差是b，所以，，所以故選：D6．【正確答案】A【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，，故．故選：A．7．【正確答案】D【分析】根據(jù)素?cái)?shù)的定義，可知不超過(guò)20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，利用列舉法列出在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)的所有樣本，記事件表示“選取的2個(gè)數(shù)能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)”，由孿生素?cái)?shù)的定義可得出事件包含的樣本點(diǎn)，最后利用古典概型的概率求法求出結(jié)果.【詳解】解：不超過(guò)20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，則在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)的樣本空間：，共有28個(gè)樣本點(diǎn)，記事件表示“選取的2個(gè)數(shù)能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)”，則事件包含的樣本點(diǎn)有，，，，共4個(gè)，故抽取的2個(gè)數(shù)能夠構(gòu)成李生素?cái)?shù)的概率是．故選：D．8．【正確答案】B【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，根據(jù)向量的多邊形法則可知，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)向量的三角不等式等號(hào)成立條件可知，同向時(shí)，應(yīng)有，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)共線向量的定義可知，所在直線可能重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面，故D錯(cuò)誤．故選BCD.10．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件，分析和時(shí)所有的基本事件的結(jié)果，利用事件互斥和兩事件相互獨(dú)立的定義分別判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：時(shí)，若兩次實(shí)驗(yàn)中結(jié)果為一次正面，一次反面，則事件與同時(shí)發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，A正確；B選項(xiàng)：時(shí)，兩次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）種，，，，，所以與不相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)：時(shí)，三次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）種情況，，，，，所以與相互獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)：時(shí)，若三次實(shí)驗(yàn)結(jié)果為（正，正，反），則事件與同時(shí)發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．【正確答案】AC【分析】作出圖形，根據(jù)線面、線線位置關(guān)系可判斷A,B，找到二面角的平面角，根據(jù)長(zhǎng)度計(jì)算即可知C對(duì)錯(cuò)；然后作，根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】如圖，由平面圖形，可知，，又,平面∴平面，又平面可得∴A對(duì)，B錯(cuò)；取的中點(diǎn)，連接，，則，，∴為二面角的平面角，，，，∴，C對(duì)；由C選項(xiàng)知平面，∴平面平面，為交線，在平面中作，交于，則平面，由，求得，∴點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò).故選：AC12．【正確答案】2【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?即，解得.故答案為:2.13．【正確答案】1【分析】依題意求得，再利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)，所以，又的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為.故1．14．【正確答案】【詳解】如下圖所示：

因?yàn)椋?，所以，可得，即，可得；又在中，，由橢圓定義可得，即，所以，可得.故15．【正確答案】(1)實(shí)數(shù)和的值分別為和；(2).【詳解】（1）由，得，解得，向量，，則，由向量與垂直，得，則，當(dāng)時(shí)，有，矛盾；當(dāng)時(shí)，有，解得，所以實(shí)數(shù)和的值分別為和.（2）由向量與向量，共面，設(shè)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以弦的垂直平分線的方程為，即，與直線聯(lián)立解得：，所以圓心坐標(biāo)為所以圓的半徑，則圓的方程為：；（2）由（1）知，圓心到直線的距離為圓的半徑.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件B：甲隊(duì)得1分，即三人中只有1人答對(duì)，其余兩人都答錯(cuò)，其概率.∴甲隊(duì)總得分為1分的概率為.（2）記“甲隊(duì)總得分為2分”為事件C，記“乙隊(duì)總得分為1分”為事件D.事件C即甲隊(duì)三人中有2人答對(duì)，剩余1人答錯(cuò)，∴事件D即乙隊(duì)3人中只有1人答對(duì)，其余2人答錯(cuò)，∴.由題意，事件C與事件D相互獨(dú)立，∴甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.18．【正確答案】(1)(2)或.【詳解】（1）由題意得，橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為.因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為，離心率為，所以.又因?yàn)椋?所以曲線的方程為.（2）由（1）可知點(diǎn)在橢圓外，所以過(guò)該點(diǎn)的直線的斜率必然存在.可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，.由得，即，解得：，符合，所以直線的方程為或.19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，.【詳解】（1）因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，且，平面AND，平面BMC，所以平面平面BMC，又平面AND，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，?/p>