2024-2025學(xué)年廣東省中山市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省中山市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同2．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．3．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)到直線l的距離為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．7．已知直線，若無(wú)論取何值，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知直線與，過點(diǎn)的直線被截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線圍成的三角形面積為（

）A． B． C．8 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個(gè)數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C．在數(shù)列中第8個(gè)數(shù)是D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為10．如圖，在三棱柱中，M，N分別是線段上的點(diǎn)，且．設(shè)，且均為單位向量，若，則下列說法中正確的是（

）A．與的夾角為 B．C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．若動(dòng)點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，則（）A．的最小值為0B．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為C．當(dāng)?shù)闹匦脑谳S上時(shí)，的面積為D．當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知過點(diǎn)和的直線與斜率為的直線平行，則的值為．13．若圓與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則.14．已知四棱柱的底面為菱形，底面，，，，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四棱柱的表面，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求n的值；（2）求出的通項(xiàng)公式.16．已知圓．(1)若直線經(jīng)過點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長(zhǎng)度．17．如圖所示，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成角為60°.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)M在線段上，且,平面，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).18．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，該橢圓上的點(diǎn)與左焦點(diǎn)間的距離的最大值為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，射線與橢圓C交于點(diǎn)N，且，記的面積分別為，求的取值范圍.19．已知平面上的線段及點(diǎn)，任取上一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離，記作.（1）求點(diǎn)到線段的距離；（2）設(shè)是長(zhǎng)為的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形的面積為多少？（3）求到兩條線段、距離相等的點(diǎn)的集合，并在直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的軌跡.其中，，，，，.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，故A錯(cuò)誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯(cuò)誤；向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.2．【正確答案】A【詳解】由題可知，故選：A3．【正確答案】B【詳解】，則，解得或，題中應(yīng)是充分不必要條件，故選：B．4．【正確答案】D【詳解】由已知得，因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以點(diǎn)到直線l的距離為故選：D5．【正確答案】B由題意和橢圓性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.解不等式后即可得解.【詳解】由，，可得：當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得；當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)椋瑒t，顯然圓O的半徑為3，又因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A7．【正確答案】D【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得直線恒過定點(diǎn)，由點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由得：，由得：，即直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)時(shí)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，，即，又，，即的取值范圍為.故選：D.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為，且設(shè)，則由題意可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以，解得，所以，，所以,因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立：，解得的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以到直線的距離為，所以這三條直線圍成的三角形面積為.故選：A.9．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)列的定義即可判斷A,根據(jù)通項(xiàng)公式即可求解項(xiàng),可判斷B,根據(jù)規(guī)律歸納數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A,數(shù)列中的項(xiàng)與順序有關(guān)，故數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是兩個(gè)不同的數(shù)列，故A錯(cuò)，對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，又是單調(diào)遞增的數(shù)列，故110是該數(shù)列的第10項(xiàng)，故B正確，對(duì)于C,數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故第8個(gè)數(shù)是，故C正確，對(duì)于D,數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為,故D正確，故選：BCD10．【正確答案】BD【分析】由空間向量的運(yùn)算法則和空間向量的夾角公式、模長(zhǎng)公式、數(shù)量積的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，，，所以與的夾角為，又，所以與的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，，，故B正確；對(duì)于C，，，，，，，，.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，.故D正確.故選：BD.11．【正確答案】AC【詳解】依題意可得，直線AB的方程為，代入，消去得，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，．的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，

則，，所以，故A正確．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，要使得點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，則，即，且，解得，故B錯(cuò)誤．的重心坐標(biāo)為，即，當(dāng)?shù)闹匦脑谳S上時(shí)，，得，的面積為，故C正確．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，，，所以，解得．由A分析知，得為銳角或直角，當(dāng)為直角或?yàn)橹苯菚r(shí)，或，所以，，解得或，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，且，所以，，解得且，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】由題意可知，，解得．故答案為.13．【正確答案】或【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑長(zhǎng)，分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，圓的圓心為，半徑為，由題意可知，兩圓外切或內(nèi)切，且，若兩圓外切，則，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則，即，解得.綜上所述，或.故或.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)樗睦庵牡酌鏋榱庑?，底面，所以，，又因?yàn)?，所以平面，所以，故在上取點(diǎn)，使得，連接，則，，在上取點(diǎn)，使得，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，在中，，，，在中，，，，所以，故，所以，故的邊即為點(diǎn)的軌跡；而，，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故15．【正確答案】（1）或；（2）（1）直接對(duì)進(jìn)行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通項(xiàng)公式【詳解】解：（1），因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取最小值，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以16．【正確答案】(1)x=?1或(2)【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:因?yàn)?所以點(diǎn)在圓外,故過點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離所以直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即所以圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=?1或.（2）設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,因?yàn)辄c(diǎn)E在圓C上，所以,即，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,所以的軌跡的長(zhǎng)度為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2).(3)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，又平?所以.因?yàn)槭钦叫?，所以，，DE，AC都在平面，從而平面.（2）因?yàn)槭钦叫?，所?又平面，DA，DC都在平面內(nèi)，所以所以，，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)榕c平面所成角為，即，所以.由，得,所以，又，.則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則.因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴姆ㄏ蛄浚?所以.所以所求角的余弦值為.（3）點(diǎn)M是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).則.因?yàn)槠矫妫?，即，解?此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，即當(dāng)時(shí)，平面.18．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）由題意，又，橢圓C的方程為.（2）為線段的中點(diǎn)，，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由及橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)所在直線的方程為，得，則；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，如下圖所示：由，消去y，得，，即，，，，，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)，成立，線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，射線所在直線方程為，與橢圓聯(lián)立，消去y得，，，，綜上，的取值范圍為.19．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)是線段上一點(diǎn)，表示出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)楸硎驹诰€段上時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值不超過1，由此得到點(diǎn)集所表示的圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓組成，進(jìn)而可求出其面積；（3）根據(jù)題意，得到兩直線方程，確定直線之間關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，，因此，當(dāng)時(shí)，；（2）由題意，設(shè)的端點(diǎn)為，以所