高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)隱零點(diǎn)問(wèn)題課件

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)隱零點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多情況下是無(wú)法直接求解出來(lái)的,我們稱之為“隱零點(diǎn)”,既能確定其存在,但又無(wú)法用顯性的代數(shù)方法進(jìn)行表達(dá).這類問(wèn)題的解題思路是對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求,通過(guò)整體代換和過(guò)渡,再結(jié)合題目條件解決問(wèn)題.角度一不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題例1(2024山東威海二模)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1.(1)求f(x)的極值;(2)證明:lnx+x+1≤xex.角度二含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題例2(2024江蘇模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=ax-elogax-e,其中a>1.(1)若a=e,證明f(x)≥0;(2)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).(1)證明

當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex-eln

x-e,f'(x)=ex-,f'(1)=0,f(1)=0,又易知f'(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),所以當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,從而f(x)≥f(1)=0.設(shè)g(x)=xaxln2a-e,a>1,顯然函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)與f'(x)同號(hào),①當(dāng)a>e時(shí),g(0)=-e<0,g(1)=aln2a-e>0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0,且x∈(0,x0),g(x)<0,x∈(x0,+∞),g(x)>0,故f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn);②當(dāng)a=e時(shí),由(1)知,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn);且當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),g(x)>0,故f(x)在(0,x1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).針對(duì)訓(xùn)練1.(2024浙江杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx-x2.(1)若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a=2,f(x)的極大值為M,證明:M>0.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,故F(x)max=F(1)=0,故F(x)≤0,即ln

x≤x-1,又x>0,∴g(x)≤a,∵函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào),∴依題知f'(x)≤0在其定義域內(nèi)恒成立,∴g(x)≤0在其定義域內(nèi)恒成立,∴a≤0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0].∵在(0,x1)上,h(x)>0,即f'(x)>0,在(x1,+∞)上,h(x)<0,即f'(x)<0,∴f(x)在(0,x1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,2.(2024北京朝陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=(1-ax)ex(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>a(1-x)無(wú)整數(shù)解,求a的取值范圍.設(shè)t(x)=ex+x-2,t'(x)=ex+1>0,所以t(x)單調(diào)遞增,且t(0)=-1<0,t(1)=e-1>0,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h'(x0)=0,當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,設(shè)φ(x)=ex-x-1,則φ'(x)=ex-1,當(dāng)x>0時(shí),