離散型隨機(jī)變量的方差（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

離散型隨機(jī)變量的方差（1）

復(fù)習(xí)引入1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)平均水平2.兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝____.p3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(aX＋b)＝__________.aE(X)＋b一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)的方差為s2＝

=

，標(biāo)準(zhǔn)差為s＝

.4.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義說明：標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的

程度或

幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越

；標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越

．問題：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平?由于兩個(gè)均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.評(píng)價(jià)射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.探究：離散型隨機(jī)變量的方差X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03

,

.通過計(jì)算可得，為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.0671098P0.10.20.30.4X0671098P0.10.20.30.4Y比較兩個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定.思考：怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的.一個(gè)自然的想法是，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？Xx1x2???xnPp1p2???pn設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.隨機(jī)變量X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方為(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，???，(xn－E(X))2.Xx1x2???xnPp1p2???pn設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.隨機(jī)變量X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方為(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，???，(xn－E(X))2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均（即偏差平方的平均值），來度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度.(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋???＋(xn－E(X))2pn.我們把隨機(jī)變量X的這個(gè)平均值稱為隨機(jī)變量X的方差，用D(X)表示.一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱離散型隨機(jī)變量的方差：為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).歸納總結(jié)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.問題：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03解：∴隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定.例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解：隨機(jī)變量X的分布列為例題課本69頁在方差的計(jì)算中，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)化，還可以用下面的結(jié)論：證明：解法2：隨機(jī)變量X的分布列為說明:方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法．例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.課本69頁求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟反思?xì)w納練習(xí)則D(X)等于（

）1.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：課本70頁隨堂檢測(cè)A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：X的可能取值為1,2,3,4，四種情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，A選項(xiàng)的方差D(X)＝0.65；B選項(xiàng)的方差D(X)＝1.85；C選項(xiàng)的方差D(X)＝1.05；D選項(xiàng)的方差D(X)＝1.45.所以選項(xiàng)B的情形對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大.現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，應(yīng)派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好（

）A.甲 B.乙

C.甲、乙均可 D.無法確定2.由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的得分情況為：X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4解析：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，故派甲運(yùn)動(dòng)員參加較好.4.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表所示.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數(shù)Y的期望是

，工期延誤天數(shù)Y的方差為_____.解析：由已知條件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.5.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ).解：這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，ξ的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上