專題37 中考命題核心元素含60°角的問(wèn)題的解題思路（原卷版）

專題37含60°角的問(wèn)題的解題思路（原卷版）

模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練

模型一共頂點(diǎn)雙等邊三角形模型

1．（2021秋?監(jiān)利市校級(jí)期中）如圖1，B，C，E三點(diǎn)在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，

BD與AC交于點(diǎn)M，AE與CD交于點(diǎn)N．

（1）求證：AE＝BD；

（2）如圖2，連接MN，試探究MN與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022秋?前郭縣期中）如圖①，點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB

同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)P．

（1）觀察猜想：

①AE與BD的數(shù)量關(guān)系為．

②∠APD的度數(shù)為；

（2）數(shù)學(xué)思考：

如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成

立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．

（3）拓展應(yīng)用：

如圖③，點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE．對(duì)角線AC，

BD交于點(diǎn)P，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為．

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模型二半角模型(120°＋60°)

典例2（2021秋?富縣期中）如圖①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E在斜邊BC

上，∠DAE＝45°，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接EF．

（1）求證：△ADE≌△AFE；

（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的

長(zhǎng)．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2011?天津二模）如圖，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)

作一個(gè)60°角，使角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．

①當(dāng)MN∥BC時(shí)，求證：MN＝BM+CN；

②當(dāng)MN與BC不平行時(shí)，則①中的結(jié)論還成立嗎？為什么？

③若點(diǎn)M、N分別是射線AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖

③中畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．

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模型三含60°角的對(duì)角互補(bǔ)模型

典例3（2022?薊縣模擬）已知，點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)A，將射線

PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B，且使∠APB+∠MON＝180°．

（1）利用圖1，求證：PA＝PB；

（2）如圖2，若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，當(dāng)S△POB＝3S△PCB時(shí)，求PB與PC的比值；

（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射線AP交ON于點(diǎn)D，且滿足∠PBD＝∠ABO，求OP的長(zhǎng)．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2019秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，在∠BAC所對(duì)弧BC上，任

取一點(diǎn)D，連接AD，BD，CD．⊙

（1）如圖1，∠BAC＝，求∠ADB的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；

（2）如圖2，如果∠BAαC＝60°，求證：BD+CD＝αAD；

（3）如圖3，如果∠BAC＝120°，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫(xiě)出猜測(cè)并加以證明．

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2．（2020?棗莊一模）如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的

頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與射線OA，OB相交于點(diǎn)D，E．

（1）如圖1，當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，請(qǐng)猜想OD+OE與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理

由；

（3）如圖3，當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D位于OA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段OD，OE與OC之間又

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

1．在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，以DE為邊向右作等邊△DEF．如圖，若AD＝2BE．

①求證：∠CEF＝∠BDE；

②連接CF，求∠ECF的度數(shù)．

2．（2022?通許縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)．F是線段BC延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，且CF＝AE，連接BE．

（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

如圖①，若E是線段AC的中點(diǎn)，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系；

（2）探究問(wèn)題．

如圖②，若E是線段AC上任意一點(diǎn)，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系是什么？

請(qǐng)證明你的猜想；

（3）解決問(wèn)題：

如圖③，若E是線段AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，且∠EBC＝30°，AB＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AF

的長(zhǎng)度．

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3．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直線AB上一點(diǎn)．以CD為

斜邊作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．

4．（2022春?重慶校級(jí)月考）如圖1，等邊△ABC中，CE平分∠ACB，D為BC邊上一點(diǎn)，且DE＝CD，連

接BE．

（1）若CE＝4，BC，求線段BE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，取BE=中6點(diǎn)3P，連接AP，PD，AD，求證：AP⊥PD且APPD；

（3）如圖3，把圖2中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，然后連接=BE，3點(diǎn)P為BE中點(diǎn)，連接AP，

PD，AD，問(wèn)第（2）問(wèn)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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5．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2a，把邊DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接AF并延長(zhǎng)

交BC于E，AF平分∠BAD．求△EFC的面積．

6．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)月考）已知O的直徑為10，點(diǎn)A、B、C在O上，∠CAB的平分線交O于點(diǎn)

D．⊙⊙⊙

（1）如圖1，若BC為O的直徑．

①求證：△BCD是等腰⊙直角三角形；

②直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)為；

（2）如圖2，若∠CAB＝60°，求BD的長(zhǎng)．

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7．（2022?福田區(qū)模擬）問(wèn)題背景

如圖（1），△ABD，△AEC都是等邊三角形，△ACD可以由△AEB通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心、

旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。?/p>

嘗試應(yīng)用

如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊，作等邊△ACD和等邊△ABE，連接

ED，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．若BD⊥BC，求的值．

??

拓展創(chuàng)新??

如圖（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°