新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布綜合訓(xùn)練新人教A版選擇性

第七章綜合訓(xùn)練(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)一、選擇題(本題共8小題,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.[2023浙江金東期中]已知隨機(jī)變量ξ~B(16,0.5),若ξ=2η+3,則D(η)等于()A.1 B.2C.4 D.62.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6C.2+3m D.2.43.現(xiàn)在分別有A,B兩個(gè)容器,在容器A里有7個(gè)紅球和3個(gè)白球,在容器B里有1個(gè)紅球和9個(gè)白球.現(xiàn)從這兩個(gè)容器里任意抽出一個(gè)球,則在抽到的是紅球的情況下,是來自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7C.0.875 D.0.354.[2023江西青原期末]若某校高二年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(90,152),則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(105,120]上的學(xué)生大約有()A.477人 B.136人C.341人 D.131人5.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,假設(shè)每局比賽甲勝的概率是23,各局比賽是相互獨(dú)立的,采用5局3勝制,則乙以3∶1戰(zhàn)勝甲的概率為(A.827 B.C.881 D.6.[2023廣東龍華校級(jí)模擬]泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布,由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列為P(X=k)=λkk!eλ(k=0,1,2,…),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),λ是泊松分布的均值.已知某線路每個(gè)公交車站臺(tái)的乘客候車相互獨(dú)立,且每個(gè)站臺(tái)候車人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>A.1e4C.94e7.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?并且向上、向右移動(dòng)的概率都是12.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率為(A.1B.CC.CD.C8.某超市為慶祝開業(yè)舉辦酬賓抽獎(jiǎng)活動(dòng),凡在開業(yè)當(dāng)天進(jìn)店的顧客,都能抽一次獎(jiǎng),每位進(jìn)店的顧客得到一個(gè)不透明的盒子,盒子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共6個(gè),其中紅球2個(gè),黃球3個(gè),藍(lán)球1個(gè),除顏色外,小球的其他方面,諸如形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,每個(gè)小球上均寫有獲獎(jiǎng)內(nèi)容,顧客先從自己得到的盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球,然后再依據(jù)取出的2個(gè)小球上的獲獎(jiǎng)內(nèi)容去兌獎(jiǎng).設(shè)X表示某顧客在一次抽獎(jiǎng)時(shí),從自己得到的那個(gè)盒子里取出的2個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.35 B.12 C.2二、選擇題(本題共4小題,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求)9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,則()A.P(X>4)=0.2B.P(X≥0)=0.6C.P(0≤X≤2)=0.3D.P(0≤X≤4)=0.410.[2023北京昌平期中]在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)小球.設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()A.P(X=1)=8B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.E(X)=811.下列說法正確的是()A.已知隨機(jī)變量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=2B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變C.設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(1≤ξ≤0)=12D.某人在10次射擊中,擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),則當(dāng)X=8時(shí)概率最大12.[2023江蘇南京期中]“信息熵”是信息論中的一個(gè)重要概念,設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=∑i=1n(pilog3A.當(dāng)n=1時(shí),H(X)=0B.當(dāng)n=3且pi=13(i=1,2,3)時(shí),H(X)=C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.當(dāng)n=2時(shí),H(X)隨著p1的增大而減小三、填空題(本題共4小題)13.按照國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,500g袋裝奶粉每袋質(zhì)量X必須服從正態(tài)分布N(500,σ2),經(jīng)檢測(cè)某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一個(gè)月內(nèi)共賣出這種品牌的奶粉400袋,則賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上的袋數(shù)大約為.

14.若隨機(jī)變量X~B(4,p),且E(X)=2,則D(2X3)=.

15.某企業(yè)將生產(chǎn)出的芯片依次進(jìn)行智能檢測(cè)和人工檢測(cè)兩道檢測(cè)工序,經(jīng)智能檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰,合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行人工檢測(cè).已知某批芯片智能檢測(cè)顯示合格率為90%,最終的檢測(cè)結(jié)果的次品率為310,則在智能檢測(cè)結(jié)束并淘汰了次品的條件下,人工檢測(cè)一枚芯片恰好為合格品的概率為16.一個(gè)盒子里有1個(gè)紅色、1個(gè)綠色、2個(gè)黃色,共四個(gè)球,每次拿一個(gè),不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=,E(ξ)=.

四、解答題(本題共6小題,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.有三個(gè)同樣的箱子,甲箱中有2個(gè)紅球、6個(gè)白球,乙箱中有6個(gè)紅球、4個(gè)白球,丙箱中有3個(gè)紅球、5個(gè)白球.(1)隨機(jī)從甲、乙、丙三個(gè)箱子中各取一球,求三球都為紅球的概率;(2)從甲、乙、丙中隨機(jī)取一箱,再從該箱中任取一球,求該球?yàn)榧t球的概率.18.[2023山東濰坊月考]某校為緩解學(xué)生壓力,舉辦了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),其中有一個(gè)項(xiàng)目為籃球定點(diǎn)投籃,比賽分為初賽和復(fù)賽.初賽規(guī)則為:每人最多投3次,每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分,否則得0分.將學(xué)生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定為通過初賽,立即停止投籃,否則應(yīng)繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.現(xiàn)甲先在A處投一球,以后都在B處投,已知甲同學(xué)在A處投籃的命中率為14,在B處投籃的命中率為45,求他初賽結(jié)束后所得總分X19.某學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué),其中4名同學(xué)從來沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),2名同學(xué)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).(1)現(xiàn)從該小組中任選2名同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),求恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率;(2)若從該小組中任選2名同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),活動(dòng)結(jié)束后,該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值.20.甲、乙二人進(jìn)行一次象棋比賽,每局勝者得1分,負(fù)者得0分(無平局),約定一方得4分時(shí)就獲得本次比賽的勝利并且比賽結(jié)束.設(shè)在每局比賽中,甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;(2)設(shè)從第4局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及均值.21.[2023陜西西安檢測(cè)]設(shè)有3個(gè)投球手,其中一人命中率為q,剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為p(p,q∈(0,1)),每位投球手均獨(dú)立投球一次,記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量ξ.(1)當(dāng)p=q=12時(shí),求數(shù)學(xué)期望E(ξ)及方差D(ξ(2)當(dāng)p+q=1時(shí),將ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)用p表示.22.一次大型考試后,某年級(jí)對(duì)某學(xué)科進(jìn)行質(zhì)量分析,隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績(jī),分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從抽取的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[50,60)內(nèi)和區(qū)間[90,100]上的學(xué)生中,隨機(jī)選擇三名學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查分析,記X為這三名學(xué)生中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[50,60)內(nèi)的人數(shù),求X的分布列及均值E(X).(2)①求該年級(jí)全體學(xué)生的平均成績(jī)x與標(biāo)準(zhǔn)差s的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(精確到1)②如果該年級(jí)學(xué)生該學(xué)科的成績(jī)服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ分別近似為①中的x,s,那么從該年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)選三名學(xué)生做分析,求這三名學(xué)生中恰有兩名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[62,95]上的概率.(精確到0.01)附:29≈5.385.

參考答案第七章綜合訓(xùn)練1.A∵隨機(jī)變量ξ~B(16,0.5),∴D(ξ)=16×0.5×0.5=4.∵ξ=2η+3,∴η=12ξ3∴D(η)=122D(ξ)=14×4=1.2.D依題意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故選D.3.C設(shè)A=“抽到的是紅球”,B=“抽到的是來自容器A里面的球”,則AB=“抽到的是來自容器A里面的紅球”.由題意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(4.B根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性P(105<X≤120)=12×[P(60<X≤120)P(75<X≤105)]≈12×(0.95450.6827)=0.1359,則1000×0.1359=135.5.B由題意知,前3局乙勝2局,第4局乙勝,故所求概率P=C3故選B.6.D由題可知P(X=2)=P(X=3),即λ22eλ=λ36eλ,解得λ=3,故P(X=k)=3kk!e3(k=0,1,2,…),P(X=1)=37.B依題意,質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過程中向右移動(dòng)2次,向上移動(dòng)3次,因此質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率P=C58.C由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C∴E(X)=0×25+1×815+2×9.AC∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1P(X<0)=0.8,∴P(0≤X≤2)=12P(0≤X≤4)=0.310.ACD由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,故B錯(cuò)誤,C正確;X的可能取值分別為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C64C104=114P(X=2)=C42C62C104P(X=4)=C4∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+11.BCD對(duì)于A,因?yàn)閄~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1p)=20,所以p=13易知B正確;對(duì)于C,因?yàn)棣蝵N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=12p,所以P(1≤ξ≤0)=12對(duì)于D,擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),令C10k0.8k0.210k≥C10k+10.8k+10.29k,且C10k0.8k0.210k≥C10k-1·0.8k10.211k,解得395≤k12.ABC若n=1,則p1=1,故H(X)=p1log3p1=1×log31=0,故A正確;當(dāng)n=3且pi=13(i=1,2,3)時(shí),H(X)=3×13×log313=若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)=n·1n·log31n=log3n,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,H(X若n=2,則p1+p2=1,H(X)=(p1log3p1+p2log3p2)=[p1log3p1+(1p1)log3(1p1)],設(shè)f(p)=[plog3p+(1p)log3(1p)],0<p<1,則f'(p)=log3p+p·1p·ln3log3(1p)+(1p)·-1(1-令f'(p)<0,解得12<p<1,此時(shí)函數(shù)f(p令f'(p)>0,解得0<p<12,此時(shí)函數(shù)f(p)單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤13.10因?yàn)閄~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上袋數(shù)大約為400×014.4由隨機(jī)變量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,則D(X)=4×12故D(2X3)=4D(X)=4.15.79設(shè)該批芯片中一枚芯片由智能檢測(cè)合格為事件A,經(jīng)智能檢測(cè)合格的芯片進(jìn)入流水線并由人工檢測(cè),一枚芯片恰好為合格品為事件B,則P(A)=910,P(AB)=1則在智能檢測(cè)結(jié)束并淘汰了次品的條件下,人工檢測(cè)一枚芯片恰好為合格品的概率P(B|A)=P(16.131依題意,ξ則P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24P(ξ=2)=113故E(ξ)=0×13+1×13+2×1317.解(1)根據(jù)題意,記事件A1:從甲箱中取一球?yàn)榧t球,事件A2:從乙箱中取一球?yàn)榧t球,事件A3:從丙箱中取一球?yàn)榧t球,記事件B:取得的三球都為紅球,且事件A1,A2,A3相互獨(dú)立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=14×3(2)記事件C:該球?yàn)榧t球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.因?yàn)镻(C|D1)=14,P(C|D2)=35,P(C|D3)=所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=13所以該球?yàn)榧t球的概率為4912018.解設(shè)甲同學(xué)在A處投中為事件A,投不中為事件A,在B處投中為事件B,投不中為事件B,由已知得P(A)=14,P(B)=45,則P(A)=34,P(B)=15,X的可能取值為0,2,3,4,P(X=0)=34×15×15=3100,P(X=2)=34×4X0234P3611219.解(1)記“恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件A,則P(A)=C4故恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率為815(2)依題意,隨機(jī)變量ξ的取值可能為2,3,4,則P(ξ=2)=C42C62=25,P(ξ=3)=C故隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.解(1)設(shè)“甲獲得這次比賽勝利”為事件A,則P(A)=23故甲獲得這次比賽勝利的概率為1627(2)依題意,X的取值可能為2,3,4,則P(X