（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)11橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第第頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第11課橢圓方程及其性質(zhì)考點(diǎn)01橢圓的定義【例1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【變式1-1】已知點(diǎn)滿足方程，點(diǎn)．若斜率為斜率為，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，可得，即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且，所以點(diǎn)的軌跡為，整理得，由題意可知：，所以.故選：A.【變式1-2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】.【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：考點(diǎn)02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（多選）如果方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】焦點(diǎn)在x軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．【變式2-1】已知m、n均為實(shí)數(shù)，方程表示橢圓，且該橢圓的焦距為4，則n的取值范圍是.【答案】【分析】由橢圓的定義可得，，，再分和兩種情況討論，結(jié)合橢圓的焦距即可得解.【詳解】由題意得，，，所以，①若，即時(shí)，則焦點(diǎn)在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；②若，即時(shí)，則焦點(diǎn)在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；綜上，n的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)03橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例3】已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為6B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為【答案】D【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長(zhǎng)為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯(cuò)誤，故選:D.

【變式3-1】（多選）若是橢圓上一點(diǎn)，，為其左右焦點(diǎn)，且不可能為鈍角，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2B．3C．4D．5【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，即可列不等式求解.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，若不可能為鈍角，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸斷點(diǎn)時(shí)，則，則，即，又焦點(diǎn)在軸上，解得，所以實(shí)數(shù)的值可以是4，5，故選：CD

【變式3-2】已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為．【答案】【分析】由向量的夾角公式可得，利用余弦定理、橢圓定義可得，再由三角形面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，若，因?yàn)?，則可得，由余弦定理可得，所以，則.故答案為：.

考點(diǎn)04橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例4】曲線與曲線的（

）.A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．焦距相等C．離心率相等D．短軸長(zhǎng)相等【答案】B【詳解】曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率.曲線，由得，且，故曲線也是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率、短軸長(zhǎng)均與有關(guān)，不一定與曲線的相同；而其焦距為，與曲線的焦距相同.故選：B.【變式4-1】設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第二象限．若為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)方程求，由題意分析可得，列方程求解即可.【詳解】由題意可知：，設(shè)，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第二象限，則，，又因?yàn)闉榈妊切?，且，則，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.考點(diǎn)05求橢圓離心率【例5】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

【變式5-1】如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（

）

A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C【變式5-2】已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，分別延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)為，橢圓的離心率為.【答案】【詳解】根據(jù)，以及橢圓定義，得，設(shè)，則，根據(jù)，由勾股定理，得；在中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，在中，由勾股定理，得.，在中，由余弦定理，得，所以，離心率.故答案為：；

考點(diǎn)06求橢圓離心率的取值范圍【例6】已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓上任意點(diǎn)(與上下頂點(diǎn)不重合)作圓的切線，且，根據(jù)題意問(wèn)題化為保證時(shí)，進(jìn)而得到關(guān)于橢圓參數(shù)的不等式，結(jié)合橢圓離心率范圍及求法確定離心率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點(diǎn)處相切，橢圓上任意點(diǎn)(與上下頂點(diǎn)不重合)作圓的切線，如下圖，

若且，要所作的圓的兩條切線的夾角最小，只需最大，所以，當(dāng)與左右頂點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最小；靠近上下頂點(diǎn)時(shí)無(wú)限接近；在橢圓上存在一點(diǎn)，使得所作的圓的兩條切線的夾角為，所以，保證時(shí)，即，由題意及圖知：，故，而，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A考點(diǎn)07直線與橢圓的位置關(guān)系【例7】在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)椋獾?，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.考點(diǎn)08橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【變式8】（多選）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)可能是（

）A．1B．C．D．3【答案】BC【詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)斜率存在的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，易得，設(shè)，，則，，，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，故．故選:BC．考點(diǎn)09橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題【例9】已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法求解即可．【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．【變式9-1】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的方程，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故選：B考點(diǎn)10直線與橢圓的綜合問(wèn)題【例10】已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓外一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，斜率分別為，，若恒成立，證明：存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到這兩定點(diǎn)的距離之和為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，聯(lián)立的方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)相切得判別式為0，進(jìn)而得到，為關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，由橢圓的定義即可求解.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，則由離心率，得，所以，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，得，．所以的方程為．（2）設(shè)，直線的方程為，即，記，則的方程為，代入橢圓的方程，消去，得．因?yàn)橹本€，與橢圓相切，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以，為關(guān)于的方程的兩根，從而，整理可得，所以點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得，為定值．橢圓方程及其性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C

2．若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的中點(diǎn)在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.3.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過(guò)的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系可構(gòu)造的齊次方程，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.4.已知橢圓為橢圓的對(duì)稱中心，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所?即，即，所以，解得或（舍），故選:B.5.橢圓上的一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為是的中點(diǎn)，則等于.【答案】3【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓有定義可求出，再利用三角形的中位線定理可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，則由，知.又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故答案為：36.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率取值范圍是．【答案】【詳解】依題意不妨設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，則，設(shè)，