2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：計數(shù)原理（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：計數(shù)原理（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?松江區(qū)校級模擬）設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512024+a能被13整除，則a＝．2．（2024?冀州區(qū)校級模擬）校運(yùn)會期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有種．3．（2024?攀枝花三模）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展開式中x3的系數(shù)為﹣80，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為．（以數(shù)字作答）4．（2024?松江區(qū)校級模擬）把1、2、3、4、5這五個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞減，則這樣的數(shù)列共有個．5．（2024?蘇州三模）（2+x﹣x2）（1﹣x）5的展開式中x2的系數(shù)為．6．（2024?青秀區(qū)校級模擬）已知二項式(x-5x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，n＝7．（2024?坪山區(qū)校級模擬）已知(ax-2)(x+2x)5的展開式中的常數(shù)項為240，則8．（2024?海南模擬）（x﹣2y+1）6展開式中含x2y3項的系數(shù)為．9．（2024?邵陽模擬）(2x3-1x210．（2024?河南模擬）在(x+1x2)11的展開式中，x

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：計數(shù)原理（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?松江區(qū)校級模擬）設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512024+a能被13整除，則a＝12．【考點(diǎn)】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】12．【分析】直接利用二項式的展開式解決整除問題．【解答】解：512024＝（52﹣1）2024=C由于C5252?(-1)2024=1，且故1+a能被13整除，故a＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2024?冀州區(qū)校級模擬）校運(yùn)會期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有80種．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】80．【分析】先安排鉛球工作，再安排其他兩項工作進(jìn)而求解．【解答】解：依題意，分兩步：①在甲乙之外4人中任選1人，承擔(dān)鉛球記錄工作，有4種情況；②在剩下的5人中任選2人，承擔(dān)跳高和跳遠(yuǎn)記錄工作，有A5則不同的安排方法有4×20＝80種．故答案為：80．【點(diǎn)評】本題考查排列問題，考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3．（2024?攀枝花三模）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展開式中x3的系數(shù)為﹣80，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32．（以數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】32．【分析】直接利用二項式的展開式求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)（1﹣2x）n的展開式Tr+1=Cnr?(-2)r?xr，（r當(dāng)r＝3時，-Cn3?2故所有項的二項式系數(shù)之和為25＝32．故答案為：32．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．（2024?松江區(qū)校級模擬）把1、2、3、4、5這五個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞減，則這樣的數(shù)列共有14個．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】14．【分析】根據(jù)已知條件，分從1，2，3，4中選出一個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，從1，2，3，4中選出兩個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，從1，2，3，4中選出三個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)三種情況討論，并對所求的結(jié)果求和，即可求解．【解答】解：從1，2，3，4中選出一個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有C4從1，2，3，4中選出兩個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有C4從1，2，3，4中選出三個數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有C4故滿足條件的數(shù)量總個數(shù)為C41+故答案為：14．【點(diǎn)評】本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，考查分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?蘇州三模）（2+x﹣x2）（1﹣x）5的展開式中x2的系數(shù)為14．【考點(diǎn)】二項式定理．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】14．【分析】利用二項式定理可得（1﹣x）5的展開式，進(jìn)而可求得（2+x﹣x2）（1﹣x）5的展開式中x2的系數(shù)．【解答】解：∵（1﹣x）5＝1+C51（﹣x）+C52?（﹣x）2+C53（﹣x）3+C54（﹣x）4﹣x5＝1﹣5x+10x∴（2+x﹣x2）（1﹣x）5的展開式中x2的系數(shù)為2×10+1×（﹣5）﹣1×1＝14．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查二項式定理的運(yùn)用，屬于中檔題．6．（2024?青秀區(qū)校級模擬）已知二項式(x-5x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，n＝【考點(diǎn)】二項式定理．【專題】方程思想；定義法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】10．【分析】借助二項式系數(shù)的性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)計算即可得．【解答】解：因為二項式(x-5x)n的展開式中，第4所以Cn3=Cn故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?坪山區(qū)校級模擬）已知(ax-2)(x+2x)5的展開式中的常數(shù)項為240，則【考點(diǎn)】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用二項式展開式的通項公式及給定的常數(shù)項求出a值．【解答】解：(x+2x)令5﹣2r＝﹣1得r＝3，令5﹣2r＝0，無解，所以(ax-2)(x+2x)5的展開式中的常數(shù)項為故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：二項式的展開式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?海南模擬）（x﹣2y+1）6展開式中含x2y3項的系數(shù)為﹣480．【考點(diǎn)】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣480．【分析】利用二項展開式的展開方法求解．【解答】解：（x﹣2y+1）6展開式中含x2y3的項為C6故答案為：﹣480．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：二項展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．9．（2024?邵陽模擬）(2x3-1x2【考點(diǎn)】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用二項式展開式的通項公式，求解即可．【解答】解：(2x3-令15﹣5r＝0，則r＝3，所以T3+1=(-1)3故答案為：﹣40．【點(diǎn)評】本題考查二項式定理，熟練掌握展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?河南模擬）在(x+1x2)11的展開式中，x【考點(diǎn)】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】11．【分析】直接利用二項式的展開式和組合數(shù)求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)(x+1x2)11的展開式Tr+1=C11r?x11-r令r＝1時，x3的系數(shù)為C11故答案為：11．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項式的展開式，組合數(shù)主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．排列組合的綜合應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化．對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法；（7）平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；③從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素．先C后A策略，排列；組合．2．二項式定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二項式定理又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n=i=0nCnian例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.01故答案為：1.105．這個例題考查了二項式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．例2：把(3i-x)解：由題意T8=C107×(3i)3×(-1)故答案為：3603i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點(diǎn)是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運(yùn)作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．性質(zhì)1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．注意：（1）二項展開式有n+1項；（2）二項式系數(shù)與二項展開式系數(shù)是兩個不同的概念；（3）每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題．2、二項展開式的通項公式二項展開式的第n+1項叫做二項展開式的通項公式．它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．注意：（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是Cn（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n．3、二項式系數(shù)的性質(zhì)．（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜n+12時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n為偶數(shù)時，則中間一項Cnn2的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n3．二項展開式的通項與項的系數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣二項式定理是指（a+b）n的展開形式，其展開式的通項為Tk+1=C﹣通項公式用于計算展開式中特定項的系數(shù)和冪次，特別是在涉及較大指數(shù)時，通過通項公式可以直接找到所需項．【解題方法點(diǎn)撥】﹣熟練掌握二項式定理的通項公式，并理解通項公式中各項的意義．﹣在涉及系數(shù)計算時，確定通項中k的值，并代入公式計算系數(shù)．對于較復(fù)雜的問題，可以先確定項數(shù)，再代入計算．﹣在應(yīng)用中，可能需要對展開式進(jìn)行逆運(yùn)算，即通過已知某一項的系數(shù)或冪次，反推出通項公式中的參數(shù)．【命題方向】﹣可能要求考生直接求解二項展開式中某一特定項的系數(shù)或冪次，或分析展開式中的通項規(guī)律．﹣命題可能涉及二項式定理在不完全展開中的應(yīng)用，要求考生逆向推導(dǎo)或分析已知條件．4．二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣二項式系數(shù)是二項展開式中各項的系數(shù)，其性質(zhì)包括對稱性、遞推關(guān)系以及系數(shù)和的計算．例如：系數(shù)和的性質(zhì)k=0n﹣這些性質(zhì)在二項式定理的擴(kuò)展應(yīng)用中有重要作用，特別是涉及系數(shù)和的計算與證明．【解題方法點(diǎn)撥】﹣掌握二項式系數(shù)的基本性質(zhì)，并應(yīng)用這些性質(zhì)簡化計算或證明問題．﹣在涉及系數(shù)和的計算問題中，可以直接應(yīng)用性質(zhì)公式，或通過二項展開式的求和進(jìn)行推導(dǎo)．﹣對于較復(fù)雜的系數(shù)和問題，考慮使用遞推公式或?qū)ΨQ性來簡化求解過程．【命題方向】﹣可能要求考生計算二項式系數(shù)的總和、特定