【八年級下冊】第1章三角形的證明單元測試【基礎(chǔ)卷】（含答案）

第1章三角形的證明單元測試（基礎(chǔ)卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．等腰三角形的周長為26cm，一邊長為6cm，那么腰長為（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm2．下列說法中：①兩個全等三角形一定成軸對稱；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線；③等邊三角形一邊上的高所在的直線就是這邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，已知AB∥CD，OA、OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于點(diǎn)M，且OM＝3，則AB、CD之間的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．285．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BAD＝50°，則∠C的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．50°6．到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形（）的交點(diǎn)．A．三個內(nèi)角平分線 B．三邊垂直平分線 C．三條中線 D．三條高7．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三角形，下列結(jié)論不正確的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC8．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A．4 B．5 C．6 D．79．如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．以下結(jié)論：①PA＝PC；②∠BPC＝90°+12∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，連接AE，∠AEB的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．35°二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．把命題“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是．12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為6，則其底邊上的高是．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，則CD的長為．14．如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為．15．如圖，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠FAC＝65°，則∠B的度數(shù)為．16．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，則∠ABC的度數(shù)為．17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．若∠CAD＝20°，則∠EDB的度數(shù)是．18．如圖，MN是△ABC中邊AB的垂直平分線，垂足為F，AD是∠CAB的平分線，且MN與AD交于點(diǎn)O．連接BO并延長交AC于點(diǎn)E．某同學(xué)分析圖形后得出下列結(jié)論：①AF＝BF；②OE＝OF；③OA＝OB；④∠CAD＝∠ABE．上述結(jié)論一定正確的是（填序號）．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝2cm，求高AD的長和△ABC的面積．20．已知：如圖，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．求證：AD＝AE．21．如圖，已知∠AOB及點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，請利用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到射線OA、OB的距離相等，且P點(diǎn)到點(diǎn)C、D的距離也相等．22．如圖，已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線，∠C＝90°，求證：AB＝AC+CD．23．如圖，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝60°，CD是角平分線，在CB上截取CE＝CA．（1）求證：DE＝BE；（2）若AC＝1，AD=3?1，試求△24．如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD與∠BCE都是銳角，且∠ACD＝∠BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD相交于點(diǎn)P，連接PC．求證：（1）△ACE≌△DCB；（2）∠APC＝∠BPC．25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動，點(diǎn)D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．26．已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝AC；（2）求證：CE=1第1章三角形的證明單元測試（基礎(chǔ)卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．等腰三角形的周長為26cm，一邊長為6cm，那么腰長為（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm【分析】題中給出了周長和一邊長，而沒有指明這邊是否為腰長，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析求解．【解析】①當(dāng)6cm為腰長時，則腰長為6cm，底邊＝26﹣6﹣6＝14cm，因?yàn)?4＞6+6，所以不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)6cm為底邊時，則腰長＝（26﹣6）÷2＝10cm，因?yàn)?﹣6＜10＜6+6，所以能構(gòu)成三角形；故選：B．2．下列說法中：①兩個全等三角形一定成軸對稱；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線；③等邊三角形一邊上的高所在的直線就是這邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題軸對稱的性質(zhì)，對題中條件進(jìn)行一一分析，排除錯誤答案．【解析】①兩個全等三角形不一定成軸對稱，因?yàn)樗鼈儾灰欢P(guān)于某直線對稱，故①的結(jié)論錯誤；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在的直線，故②結(jié)論錯誤；③等邊三角形一邊上的高所在的直線就是這邊的垂直平分線，正確；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形，符合軸對稱性質(zhì)，正確．所以正確的有2個．故選：B．3．如圖，已知AB∥CD，OA、OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于點(diǎn)M，且OM＝3，則AB、CD之間的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作OF⊥AB，延長FO與CD交于G點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，OM＝OF＝OG，即可求得AB與CD之間的距離．【解析】作OF⊥AB，延長FO與CD交于G點(diǎn)，∵AB∥CD，∴FG垂直CD，∴FG就是AB與CD之間的距離．∵∠ACD平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC交AC于M，∴OM＝OF＝OG，∴AB與CD之間的距離等于2OM＝6．故選：C．4．如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再等量代換即可求得三角形的周長．【解析】∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10厘米+8厘米＝18厘米，故選：B．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BAD＝50°，則∠C的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一定理可得AD⊥BC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形中等邊對等角即可求解．【解析】∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又∵∠BAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°．故選：C．6．到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形（）的交點(diǎn)．A．三個內(nèi)角平分線 B．三邊垂直平分線 C．三條中線 D．三條高【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等解答．【解析】到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：B．7．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三角形，下列結(jié)論不正確的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一，即可一一判斷．【解析】∵△ABC是等邊三角形，△AED是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，∵∠DAB＝∠DAC＝30°，∴AD⊥BC，故①正確，∠EAB＝∠BAD＝30°，∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正確∴BE＝BD，故③正確，無法得出AC＝AE，故④錯誤；故選：D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形；②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形；④以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI和△ACI是等腰三角形．【解析】如圖，可以畫出7個等腰三角形；故選：D．9．如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．以下結(jié)論：①PA＝PC；②∠BPC＝90°+12∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB＝PC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)即可．【解析】∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，PB＝PC，∴PA＝PC，①正確；∵PA＝PB，PA＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，∴∠BPC＝2∠BAC，故②錯誤；同理：∠APC＝2∠ABC，故④正確；∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；③正確；故選：C．10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，連接AE，∠AEB的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．35°【分析】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到答案．【解析】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．把命題“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是如果兩個角是等角的補(bǔ)角，那么它們相等．【分析】命題中的條件是兩個角相等，放在“如果”的后面，結(jié)論是這兩個角的補(bǔ)角相等，應(yīng)放在“那么”的后面．【解析】題設(shè)為：兩個角是等角，結(jié)論為：它們的補(bǔ)角相等，故寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個角是等角的補(bǔ)角，那么它們相等．故答案為：如果兩個角是等角的補(bǔ)角，那么它們相等．12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為6，則其底邊上的高是3或33．【分析】分①三角形是鈍角三角形時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=12AB，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABC＝30°，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等解答，②三角形是銳角三角形時，判斷出△【解析】①三角形是鈍角三角形時，如圖1，∵∠ABD＝30°，∴AD=12AB∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12∠BAD∴∠ABD＝∠ABC，∴底邊BC上的高AE＝AD＝3；②三角形是銳角三角形時，如圖2，∵∠ABD＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴底邊上的高為32×6＝3綜上所述，底邊上的高是3或33．故答案為：3或33．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，則CD的長為3．【分析】由角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD＝30°，結(jié)合已知條件和對角對等邊推知AD＝BD＝6，所以在含有30度角的直角△ACD中來求CD的長度即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，又AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝6，∴CD=12故答案是：3．14．如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為19cm．【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD＝CD，AC＝2AE，結(jié)合周長，進(jìn)行線段的等量代換可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周長＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案為19cm．15．如圖，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠FAC＝65°，則∠B的度數(shù)為65°．【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠CAD＝∠BAD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．【解析】∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，設(shè)∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FDA＝∠FAD，∵∠FAC＝65°，∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案為：65°．16．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，則∠ABC的度數(shù)為48°．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC＝∠ABD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF＝CF，進(jìn)而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度數(shù)．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48°，∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案為：48°17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．若∠CAD＝20°，則∠EDB的度數(shù)是40°．【分析】根據(jù)角平分線的定義得∠CAB＝40°，由直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【解析】∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案為：40°．18．如圖，MN是△ABC中邊AB的垂直平分線，垂足為F，AD是∠CAB的平分線，且MN與AD交于點(diǎn)O．連接BO并延長交AC于點(diǎn)E．某同學(xué)分析圖形后得出下列結(jié)論：①AF＝BF；②OE＝OF；③OA＝OB；④∠CAD＝∠ABE．上述結(jié)論一定正確的是①③④（填序號）．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷出A、B的正誤；再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷B、C的正誤即可．【解析】∵M(jìn)N是邊AB的垂直平分線，∴AF＝BF，OA＝OB，∴①③正確；∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD＝∠BAD，∴④正確；∵BE不一定垂直AC，∴無法判斷OE、OF是否相等，∴②錯誤；正確的有①③④，故答案為：①③④．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝2cm，求高AD的長和△ABC的面積．【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，則D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，根據(jù)勾股定理即可求AD的值，根據(jù)AD、BC即可計(jì)算△ABC的面積．【解析】∵等邊三角形三線合一的性質(zhì)，∴D為BC中點(diǎn)，BD＝DC＝1cm，∵AD⊥BC，∴AD=AB∴△ABC的面積為S=12BC?AD=12×2cm×答：高AD的長為3cm，△ABC的面積為3cm2．20．已知：如圖，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．求證：AD＝AE．【分析】求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，結(jié)合本題，證△ADB≌△AEB即可．【解析】證明：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥EB，∴∠E＝∠ADB＝90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2；在△ADB和△AEB中，∠E=∠ADB=90°∠1=∠2∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD＝AE．21．如圖，已知∠AOB及點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，請利用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到射線OA、OB的距離相等，且P點(diǎn)到點(diǎn)C、D的距離也相等．【分析】利用角平分線的作法作出角平分線，再作出線段CD垂直平分線進(jìn)而得出P點(diǎn)即可．【解析】如圖所示：P點(diǎn)即為所求．22．如圖，已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線，∠C＝90°，求證：AB＝AC+CD．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明DE＝BE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，證明△CAD≌△EAD，得到AC＝AE，得到答案．【解析】證明：作DE⊥AB于E，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，又DE⊥AB，∴DE＝BE，∵AD為△ABC的底角的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC，則CD＝BE，在△CAD和△EAD中，∠C=∠AED∠CAD=∠EAD∴△CAD≌△EAD，∴AC＝AE，AB＝AE+EB＝AC+CD．23．如圖，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝60°，CD是角平分線，在CB上截取CE＝CA．（1）求證：DE＝BE；（2）若AC＝1，AD=3?1，試求△【分析】（1）證明△ACD≌△ECD，可得∠CAD＝∠CED＝60°，則結(jié)論證得；（2）求出BE的長，則BC可求出，由三角形的面積公式可求出答案．【解析】證明：（1）已知CD是角平分線，∴∠ACD＝∠ECD在△ACD和△ECD中：CA=CE∠ACD=∠ECD∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，又∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠EDB＝30°，∴DE＝BE，（2）解：∵△ACD≌△ECD，∴CE＝AC＝1，DE＝AD=3又∵DE＝BE，∴BE=3∴BC＝CE+BE=3∴S△ABC=124．如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD與∠BCE都是銳角，且∠ACD＝∠BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD相交于點(diǎn)P，連接PC．求證：（1）△ACE≌△DCB；（2）∠APC＝∠BPC．【分析】（1）由已知可得∠ACE＝∠DCB，然后根據(jù)SAS即可證明△ACE≌△DCB；（2）由（1）證得的△ACE≌△DCB可知AE＝BD，根據(jù)全等三角形的面積相等，從而證得AE和BD邊上的高相等，即CH＝CG，最后根據(jù)角的平分線定理的逆定理即可證得∠APC＝∠BPC．【解析】（1）證明：∵∠ACD＝∠BCE