《電磁場與電磁波》課件101

第一章矢量分析1.1場的概念1.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度1.3矢量場的通量和散度1.4矢量場的環(huán)量和旋度1.5圓柱坐標系與球坐標系1.6亥姆霍茲定理小結(jié)

1.1場的概念

1.1.1矢性函數(shù)

數(shù)學上,實數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a都可以稱為標量,因為它只能代表該代數(shù)量的大小。在物理學中,任意一個代數(shù)量一旦被賦予物理單位,則成為一個具有物理意義的標量,即所謂的物理量,如電壓u、電流i、面積S、體積V等等。

在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點P是一個既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量,故稱為實數(shù)矢量,實數(shù)矢量可用黑體A表示,而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示,實數(shù)矢量是從原點出發(fā)的一條帶有箭頭的直線段,直線段的長度表示矢量A的模,箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位,便成為具有物理意義的矢量,如電場強度E、磁場強度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運動的速度v等。

設(shè)t是一數(shù)性變量，A(t)為變矢，對于某一區(qū)間G[a，b]內(nèi)的每一個數(shù)值t，A都有一個確定的矢量A(t)與之對應，則稱A(t)為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為

A=A(t)

而G[a，b]為A(t)的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標系中的三個坐標分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標表示為

A=Ax(t)ex+Ay(t)ey+Az(t)ez其中，ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸的正向單位矢量。

在矢量代數(shù)中，已經(jīng)學習過矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性，矢性函數(shù)的導數(shù)和微分，矢性函數(shù)的積分。由于篇幅所限我們不再討論，但是它們的運算法則我們必須掌握，這樣才能學好后面的內(nèi)容。1.1.2標量場和矢量場

在許多科學問題中，常常需要研究某種物理量在某一空間區(qū)域的分布情況和變化規(guī)律,為此,在數(shù)學上引入場的概念。

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無限集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應該是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數(shù)學上只需用一個代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標量函數(shù))所確定的場稱為標量場，如溫度場T(x，y，z)、電位場j(x，y，z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。1.1.3標量場的等值面和矢量場的矢量線

在研究場的特性時，以場圖表示場變量在空間逐點分布的情況具有很大的意義。對于標量場，常用等值面的概念來描述。所謂等值面，是指在標量場j(x，y，z)中，使其函數(shù)

j取相同數(shù)值的所有點組成的集合，這些點組成一個曲面，該曲面稱為等值面。如溫度場的等值面，就是由溫度相同的點所組成的一個曲面，此曲面稱為等溫面。等值面在二維空間就變?yōu)榈戎稻€。如地圖上的等高線，就是由高度相同的點連成的一條曲線。

標量場j(x，y，z)的等值面方程為

j(x，y，z)=const.對于矢量場A(x，y，z)，則用一些有向線來形象地表示矢量A（x，y，z)在空間的分布，這些有向線稱為矢量線，如圖1-1所示。矢量線上任一點的切線方向表示該點矢量A(x，y，z)的方向。在直角坐標系中，其矢量線方程可寫成(1-1)按照一定的規(guī)則，繪制出矢量線，既可根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的方向，又可根據(jù)矢量線的疏密程度，判別出矢量場中各點矢量的大小和變化趨勢。因此，矢量線在分析矢量場特性時是十分有用的。圖1-1矢量場的矢量線例1-1

求數(shù)量場j=(x+y)2－z通過點M(1，0，1)的等值面方程。

解：點M的坐標是x0=1，y0=0，z0=1，則該點的數(shù)量場的場值為

j=(x0+y0)2－z0=0

其等值面方程為

(x+y)2－z=0或z=(x+y)2

例1-2

求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。

解：矢量線應滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程C1和C2是積分常數(shù)。

1.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度

1.2.1標量場的方向?qū)?shù)

在標量場中，標量j=j(M)的分布情況可以由等值面或等值線來描述，但這只能大致地了解標量j在場中的整體分布情況。而要詳細地研究標量場，還必須對它的局部狀態(tài)進行深入分析，即要考察標量j在場中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。

設(shè)M0是標量場j=j(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引入一條射線l，在l上M0點的鄰近取一點M，其長度M0M=ρ，如圖1-2所示。若當M0點趨于M點時(即長度ρ趨于零時)，即圖1-2方向?qū)?shù)的定義

的極限存在，則稱此極限為函數(shù)j(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為，即(1-2)在直角坐標系中，方向?qū)?shù)可按下述公式計算。若函數(shù)j=j(x，y，z)在點M0(x0，y0，z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)j=j(x，y，z)在點M0(x0，y0，z0)處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為(1-3)證明：M點的坐標為M(x0+Δx，y0+Δy，z0+Δz)，由于函數(shù)j在M0處可微，故式中Δ為高階無窮小。上述等式兩邊除以ρ，可得當ρ趨于零時對上式取極限，可得

證畢

例1-3

求數(shù)量場u=在點M(1，1，2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

解：l方向的方向余弦為而其數(shù)量場對坐標的偏導數(shù)為數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)為1.2.2標量場的梯度

方向?qū)?shù)可以描述標量場中某點處標量沿某方向的變化率。但從場中某一點出發(fā)有無窮多個方向，通常不必要更不可能研究所有方向的變化率，而只是關(guān)心沿哪一個方向變化率最大，此變化率是多少?我們從方向?qū)?shù)的計算公式來討論這個問題。標量場j(x，y，z)在l方向上的方向?qū)?shù)為在直角坐標系中，令則

矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點處的一常矢量。由上式顯然可見，當l與G的方向一致時，即cos(G，l°)=1時，標量場在點M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說，沿矢量G的方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為(1-4)(1-5)這樣，我們找到了一個矢量G，其方向是標量場在M點處變化率最大的方向，其模值即為最大的變化率。在標量場j(M)中的一點M處，其方向為函數(shù)j=j(M)在M點處變化率最大的方向，其大小又恰好等于最大變化率矢量G的模，該最大變化率矢量G稱為標量場j=j(M)在M點處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標系中，梯度的表達式為(1-6)梯度用哈密爾頓微分算子表示的表達式為

(1-7)下面給出梯度的基本運算法則。u(M)和v(M)為標量場，c為一常數(shù)。很容易證明下面的梯度運算法則成立。

gradc=0或c=0

(1-8)

grad(cu)=cgradu

或(cu)=c

u

(1-9)

grad(u±v)=gradu±gradv

或(u±v)=u±v

(1-10)

grad(uv)=vgradu+ugradv

或(uv)=v

u+u

v

(1-11)

(1-12)或(1-13)或例1-4

標量函數(shù)r是動點M(x，y，z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：gradr=

=r°。

證：因為所以例1-5

求r在點M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

解：由例1-4得知點M處的坐標為x=1，y=0，z=1，而，所以r在M點處的梯度為r在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)為而所以例1-6

已知位于原點處的點電荷q在點M(x，y，z)處產(chǎn)生的電位為j=，其中矢徑r為r=xex+yey+zez，且已知電場強度與電位的關(guān)系是E=－j，求電場強度E。解：根據(jù)f(u)=f′(u)·u的運算法則，又由例1-4得知，

，所以

1.3矢量場的通量和散度

1.3.1矢量場的通量

在分析和描繪矢量場的特性時，矢量穿過一個曲面的通量是一個很重要的基本概念。將曲面的一個面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向，其大小為dS，即

dS=ndS

(1-14)

n是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對開曲面上的面元，設(shè)這個開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如圖1-3(a)所示；對封閉曲面上的面元，n取為封閉曲面的外法線方向，如圖1-3(b)所示。圖1-3法線方向的取法若面元dS位于矢量場A中，由于面元dS很小，且面元上各點的場值可以認為是相同的，矢量場A和面元dS的標量積A·dS便稱為矢量A穿過面元dS的通量。例如在流速場中，流速v是一個矢量，v·dS就是每秒鐘通過面元dS的通量。通量是一個標量。

將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場A穿過整個曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：

Ψ=∫SA·dS=∫SA·ndS

(1-15)

如果曲面是一個封閉曲面，則Ψ=∮SA·dS

(1-16)該積分表示矢量A穿過封閉曲面S的通量。若Ψ>0，表示有凈通量流出，這說明封閉曲面S內(nèi)必定有矢量場的源；若Ψ<

0，表示有凈通量流入，說明封閉曲面S內(nèi)有洞(負的源)。在大學物理課程中我們已知，通過封閉曲面的電通量Ψ等于該封閉曲面所包圍的自由電荷Q。若電荷Q為正電荷，Ψ為正，則表示有電通量流出；若電荷Q為負電荷，Ψ為負，則表示有電通量流入。1.3.2矢量場的散度

上述通量是一個大范圍面積上的積分量，它反映了在某一空間內(nèi)場源總的特性，但它沒有反映出場源分布的特性。為了研究矢量場A在某一點附近的通量特性，我們把包圍某點的封閉曲面向該點無限收縮，使包含這個點在內(nèi)的體積元ΔV趨于零，取如下極限：稱此極限為矢量場A在某點的散度，記為divA，即散度的定義式為(1-17)此式表明，矢量場A的散度是一個標量，它表示從該點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量A的通量(即通量密度)。它反映出矢量場A在該點通量源的強度。顯然，在無源區(qū)域中，矢量場A在各點的散度均為零。

矢量場A的散度可表示為哈密爾頓微分算子與矢量A的

標量積，即(1-18)計算·A時，先按標量積規(guī)則展開，再做微分運算。在直角坐標系中有(1-19)利用哈密爾頓微分算子，讀者可以證明，散度運算符合下列規(guī)則：(1-20)(1-21)1.3.3散度定理

矢量A的散度代表的是其通量的體密度，因此可直觀地知道，矢量場A散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量，即(1-22)上式稱為散度定理，也稱為高斯定理。證明這個定理時，將閉合曲面S圍成的體積V分成許多體積元dVi(i=1，2，…，n)，計算每個體積元的小封閉曲面Si上穿過的通量，然后疊加。由散度的定義可得由于相鄰兩體積元有一個公共表面，這個公共表面上的通量對這兩個體積元來說恰好是等值異號，求和時就互相抵消了。除了鄰近S面的那些體積元外，所有體積元都是由幾個相鄰體積元間的公共表面包圍而成的，這些體積元的通量總和為零。而鄰近S面的那些體積元，它們中有部分表面是在S面上的面元dS，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和剛好等于從封閉曲面S穿出的通量。因此有故得到例1-7

已知矢量場r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H

所圍成的封閉曲面的通量。

解：根據(jù)題意（見圖1-4）可把封閉曲面分成S1面，即Z=H所圍成的平面，S2面也就是圓錐面。則所圍成的封閉曲面的通量為因為在圓錐側(cè)面上r處處垂直于dS，所以因此圖1-4圓錐面與平面圍成的封閉曲面例1-8

在坐標原點處點電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點處的電位移矢量為求穿過原點為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖1-5)。解：穿過以原點為球心，R為半徑的球面的電通量為由于球面的法線方向與dS的方向一致，因此圖1-5例1-8圖例1-9

原點處點電荷q產(chǎn)生的電位移矢量,試求電位移矢量D的散度。

解：所以

例1-10

半徑為R的球面S上任意點的位置矢量為r=xex+yey+zez，求r·dS。解：根據(jù)散度定理知而r的散度為所以

1.4矢量場的環(huán)量和旋度

1.4.1矢量場的環(huán)量

在力場中，某一質(zhì)點沿著指定的曲線l運動時，力場所做的功可表示為力場F沿曲線l的線積分，即

W=∫lF·dl=∫Fcosθdl

(1-23)

其中dl是曲線l的線元矢量，方向是該線元的切線方向，θ角為力場F與線元矢量dl的夾角。在矢量場A中，若曲線l是一閉合曲線，其矢量場A沿閉合曲線l的線積分可表示為

∮lA·dl=∮lAcosθdl

(1-24)

此線積分稱為矢量場A的環(huán)量(或稱旋渦量)，如圖1-6所示。圖1-6矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量與矢量場的通量一樣都是描述矢量場特性的重要參量。我們知道，若矢量穿過封閉曲面的通量不為零，則表示該封閉曲面內(nèi)存在通量源。同樣，矢量沿閉合曲線的環(huán)量不為零，則表示閉合曲線內(nèi)存在另一種源——旋渦源。例如在磁場中，在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不等于零，其電流就是產(chǎn)生該磁場的旋渦源。1.4.2矢量場的旋度

從式(1-24)中可以看出，環(huán)量是矢量A在大范圍內(nèi)閉合曲線上的線積分，它反映了閉合曲線內(nèi)旋渦源分布的情況，而從矢量場分析的要求來看，我們需要知道每個點附近的旋渦源分布的情況。為此，我們把閉合曲線收縮，使它包圍的面積元ΔS趨于零，并求其極限值：(1-25)此極限值的意義就是環(huán)量的面密度，或稱為環(huán)量強度。由于面元是有方向的，它與閉合曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系，因此在給定點上，上述的極限對于不同的面元是不同的。為此，引入如下定義，稱為矢量場A的旋度，記為rotA：

矢量場A的旋度可用哈密爾頓微分算子與矢量A的矢量

積來表示，即

rotA=×A

(1-27)

計算時，可先按矢量積的規(guī)則展開，然后再作微分運算。在直角坐標系中可得(1-26)(1-28)即(1-29)利用哈密爾頓微分算子可以證明旋度運算符合如下規(guī)則：(1-30)(1-31)(1-32)(1-33)(1-34)(1-35)式(1-33)說明，任意矢量場的旋度的散度恒等于零。式(1-34)表明任一標量場的梯度的旋度恒等于零。式(1-35)中2稱為拉普拉斯算子，在直角坐標系中有(1-36)(1-37)1.4.3斯托克斯定理

因為旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線l上的環(huán)量等于閉合曲線l所包圍曲面S上旋度的總和，即

(1-38)

此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分轉(zhuǎn)換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。斯托克斯定理的證明，與散度定理的證明相類似，這里就不再敘述了。

例1-11

求矢量A=－yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線l:(x－2)2+y2=R2、z=0的環(huán)量(見圖1-7)。圖1-7例1-11圖解：由于在曲線l上z=0，因此dz=0。環(huán)量的計算通常利用曲線的參數(shù)方程。例1-12

求矢量場A=x(z－y)ex+y(x－z)ey+z(y－x)ez在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：矢量場A的旋度

在點M(1，0，1)處的旋度

×A|M=ex+2ey+ezn方向的單位矢量則沿n方向的環(huán)量面密度為例1-13

在坐標原點處放置一點電荷q，它在自由空間產(chǎn)生的電場強度矢量為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度×E。解：這說明點電荷產(chǎn)生的電場為無旋場。

1.5圓柱坐標系與球坐標系

1.5.1圓柱坐標系

在圓柱坐標系(簡稱柱坐標系)中，任意一點P的位置用ρ、φ、z三個量來表示，如圖1-8所示。

各量的變化范圍是圖1-8圓柱坐標系P點的三個坐標單位矢量為eρ、eφ、ez，分別指向ρ、φ、z的增加方向。值得注意的是與直角坐標系的不同點，即除ez外，eρ和eφ都不是常矢量，它們的方向隨P點位置的不同而變化，但eρ、eφ、ez三者總保持正交關(guān)系，并遵循右手螺旋法則。

eρ×eφ=ez

矢量A在球面坐標系中可表示為

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

以坐標原點為起點，指向P點的矢量r稱為P點的位置矢量或矢徑。在圓柱坐標系中P點的位置矢量是

r=ρeρ+zez式中未顯示角度φ，但角度φ將影響eρ的方向。對任意增量dρ、dφ、dz，P點位置沿ρ、φ

、z方向的長度增量(長度元)分別為

dlρ=dρ，dlφ

=ρdφ

，dlz=dz

它們的拉梅系數(shù)(它們同各自坐標增量之比)分別為與三個單位矢量相垂直的三個面積元以及體積元分別是哈密爾頓微分算子的表示式為(1-39)拉普拉斯微分算子的表示式為(1-40)在圓柱坐標系中標量場的梯度、矢量場的散度和旋度的表示式，可以根據(jù)上面介紹的關(guān)系自行導出，也可以從附錄中查出。1.5.2球面坐標系

在球面坐標系(簡稱球坐標系)中，任意P點的位置用r、θ、φ三個量來表示，如圖1-9所示。

它們分別稱為矢徑長度、高低角和方位角，它們的變化范圍是

0≤r<∞

0≤θ≤π

0≤φ≤2π圖1-9球面坐標系球面坐標系中P點的位置矢量是r=rer，但坐標eθ和eφ都將影響r的方向。P點的位置沿er、eθ、eφ方向的長度增量（長度元）分別是

dlr=dr，dlθ=rdθ，dlφ=rsinθdφ

故它們的拉梅系數(shù)（它們同各自坐標增量之比）分別為哈密爾頓微分算子的表示式為(1-41)拉普拉斯微分算子的表示式為(1-42)例1-14

在一對相距為l的點電荷+q和－q的靜電場中，當距離r>>l時，其空間電位的表達式為

求其電場強度E(r，θ，φ)。

解：在球面坐標系中，哈密爾頓微分算子的表達式為因為

所以

1.6亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理的簡單表達是：若矢量場F在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和，即

F=－j+×A

(1-43)

亥姆霍茲定理的嚴格的表述和證明這里不再給出，讀者可參考其它文獻。簡化的證明如下：

假設(shè)在無限空間中有兩個矢量函數(shù)F和G，它們具有相同的散度和旋度，但這兩個矢量函數(shù)不相等，可令

F=G+g

(1-44)由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根據(jù)矢量場由其散度和旋度唯一確定，那么矢量g應該為零矢量，也就是矢量F與矢量G是同一個矢量?，F(xiàn)在我們來證明矢量g為零矢量。對式(1-44)兩邊取散度，得

·F=·(G+g)=·G+·g

因為·F=·G，所以

·g=0

(1-45)對式(1-44)兩邊取旋度，得×F=×(G+g)=×G+×g同樣由于×G=×F，因此×g=0由矢量恒等式×j

=0，可令

g=j

(1-46)

j是在無限空間取值的任意標量函數(shù)，將式(1-46)代入式

(1-45)，可得

·j

=2

j=0

(1-47)

已知滿足拉普拉斯方程的函數(shù)不會出現(xiàn)極值，而j又是無限空間上取值的任意函數(shù)，因此它只能是一個常數(shù)(j=c)，從而求得g=j=0，于是式(1-44)變成F=G。由此可以得出，已知矢量的散度和旋度所決定的矢量是唯一的。因此，亥姆霍茲定理得證。在無限空間中一個既有散度又有旋度的矢量場，可表示為一個無旋場Fd(有散度)和一個無散場Fc(有旋度)之和

F=Fd+Fc

(1-48)

對于無旋場Fd來說，×Fd=0，但這個場的散度不會處處為零。因為任何一個物理場必然有源來激發(fā)它，若這個場的旋渦源和通量源都為零，那么這個場就不存在了。因此無旋場必然對應于有散場，根據(jù)矢量恒等式×j=0，可令(負號是人為加的)

Fd=－j

(1-49)

對于無散場Fc來說，·Fc=0，但這個場的旋度不會處處為零，根據(jù)矢量