2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之計數(shù)原理（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之計數(shù)原理（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 D．602．（1+1x2）（1+x）6展開式中A．15 B．20 C．30 D．353．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24 B．18 C．12 D．94．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種5．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種6．已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A．212 B．211 C．210 D．297．（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A．12 B．16 C．20 D．248．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種9．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個 B．120個 C．96個 D．72個10．（x2+2x）5的展開式中xA．10 B．20 C．40 D．80二．填空題（共5小題）11．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有種不同的選法．（用數(shù)字作答）12．4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種．13．（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝．14．用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個．（用數(shù)字作答）15．（1-yx）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為三．解答題（共5小題）16．一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？17．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止．（1）若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？（2）若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？18．一場晚會有5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）前4個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？（2）3個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？19．設(shè)（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）設(shè)（1+3）n＝a+b3，其中a，b∈N*，求a2﹣3b220．有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)（結(jié)果用數(shù)字表示）．（1）共有多少種放法？（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？（3）恰有一個盒內(nèi)放2個球，有多少種放法？（4）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之計數(shù)原理（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 D．60【考點】二項式定理．【專題】計算題；二項式定理．【答案】C【分析】利用展開式的通項，即可得出結(jié)論．【解答】解：（x2+x+y）5的展開式的通項為Tr+1=C令r＝2，則（x2+x）3的通項為C3令6﹣k＝5，則k＝1，∴（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為C52故選：C．【點評】本題考查二項式定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定通項是關(guān)鍵．2．（1+1x2）（1+x）6展開式中A．15 B．20 C．30 D．35【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法．【答案】C【分析】直接利用二項式定理的通項公式求解即可．【解答】解：（1+1x2）（1+x若（1+1x2）＝（1+x﹣2）提供常數(shù)項1，則（1+x）6提供含有x2的項，可得展開式中若（1+1x2）提供x﹣2項，則（1+x）6提供含有x4的項，可得展開式中由（1+x）6通項公式可得C6可知r＝2時，可得展開式中x2的系數(shù)為C6可知r＝4時，可得展開式中x2的系數(shù)為C6（1+1x2）（1+x）6展開式中x2的系數(shù)為：15+15故選：C．【點評】本題主要考查二項式定理的知識點，通項公式的靈活運用．屬于基礎(chǔ)題．3．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24 B．18 C．12 D．9【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；方程思想；綜合法；排列組合．【答案】B【分析】從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31＝3種走法，利用乘法原理可得結(jié)論．【解答】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選：B．【點評】本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題4．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】讓場館去挑人，甲場館從6人中挑一人有：C61=6種結(jié)果；乙場館從余下的5人中挑2人有：C52【解答】解：因為每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，甲場館從6人中挑一人有：C61乙場館從余下的5人中挑2人有：C52余下的3人去丙場館；故共有：6×10＝60種安排方法；故選：C．【點評】本題考查排列組合知識的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【考點】簡單排列問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】5名志愿者先選2人一組，然后4組全排列即可．【解答】解：5名志愿者選2個1組，有C52種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有共有C52故選：C．【點評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6．已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A．212 B．211 C．210 D．29【考點】二項式定理．【專題】二項式定理．【答案】D【分析】直接利用二項式定理求出n，然后利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，可得Cn3=Cn7，可得（1+x）10的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為：12×2故選：D．【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運用以及計算能力．7．（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A．12 B．16 C．20 D．24【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】利用二項式定理、排列組合的性質(zhì)直接求解．【解答】解：（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為：1×C43×故選：A．【點評】本題考查展開式中x3的系數(shù)的求法，考查二項式定理、排列組合的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；排列組合．【答案】B【分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．【解答】解：最左端排甲，共有A55=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有根據(jù)加法原理可得，共有120+96＝216種．故選：B．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個 B．120個 C．96個 D．72個【考點】數(shù)字問題．【專題】應(yīng)用題；排列組合．【答案】B【分析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；進(jìn)而對首位數(shù)字分2種情況討論，①首位數(shù)字為5時，②首位數(shù)字為4時，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類加法原理，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43＝24種情況，此時有3×24＝72個，②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43＝24種情況，此時有2×24＝48個，共有72+48＝120個．故選：B．【點評】本題考查計數(shù)原理的運用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析出滿足題意的五位數(shù)的首位、末位數(shù)字的特征，進(jìn)而可得其可選的情況．10．（x2+2x）5的展開式中xA．10 B．20 C．40 D．80【考點】二項式定理．【專題】計算題；方程思想；定義法；二項式定理．【答案】C【分析】由二項式定理得（x2+2x）5的展開式的通項為：Tr+1=C5r（x2）5﹣r（2x）r=2rC5rx10-3r，由10﹣3r＝4【解答】解：由二項式定理得（x2+2x）Tr+1=C5r（x2）5﹣r（2x由10﹣3r＝4，解得r＝2，∴（x2+2x）5的展開式中x4的系數(shù)為2故選：C．【點評】本題考查二項展開式中x4的系數(shù)的求法，考查二項式定理、通項公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）11．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有660種不同的選法．（用數(shù)字作答）【考點】從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問題．【專題】計算題；分類討論；定義法；排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意分兩類選1女3男或選2女2男，再計算即可【解答】解：第一類，先選1女3男，有C63C21＝40種，這4人選2人作為隊長和副隊有A42＝12種，故有40×12＝480種，第二類，先選2女2男，有C62C22＝15種，這4人選2人作為隊長和副隊有A42＝12種，故有15×12＝180種，根據(jù)分類計數(shù)原理共有480+180＝660種，故答案為：660【點評】本題考查了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，屬于中檔題12．4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有36種．【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】方法一：先從4人中選出2人作為一組有C42種方法，再與另外2人一起進(jìn)行排列有方法二：三個小區(qū)必有1個小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個小區(qū)，相乘可得．【解答】解：方法一：因為有一小區(qū)有兩人，則不同的安排方式共有C42方法二：三個小區(qū)必有1個小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個小區(qū)，故有C3故答案為：36．【點評】本題考查排列組合及分步計數(shù)原理的運用，屬于基礎(chǔ)題．13．（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝3．【考點】二項式定理．【專題】計算題；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】給展開式中的x分別賦值1，﹣1，可得兩個等式，兩式相減，再除以2得到答案．【解答】解：設(shè)f（x）＝（a+x）（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x＝1，則a0+a1+a2+…+a5＝f（1）＝16（a+1），①令x＝﹣1，則a0﹣a1+a2﹣…﹣a5＝f（﹣1）＝0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）＝16（a+1），所以2×32＝16（a+1），所以a＝3．故答案為：3．【點評】本題考查解決展開式的系數(shù)和問題時，一般先設(shè)出展開式，再用賦值法代入特殊值，相加或相減．14．用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有1080個．（用數(shù)字作答）【考點】數(shù)字問題．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，要求四位數(shù)中至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個偶數(shù)數(shù)字，②、四位數(shù)中只有一個偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個，組成一共四位數(shù)即可，有A54＝120種情況，即有120個沒有一個偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；②、四位數(shù)中只有一個偶數(shù)數(shù)字，在1、3、5、7、9種選出3個，在2、4、6、8中選出1個，有C53?C41＝40種取法，將取出的4個數(shù)字全排列，有A44＝24種順序，則有40×24＝960個只有一個偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960＝1080個；故答案為：1080．【點評】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意要分類討論．15．（1-yx）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為﹣28【考點】二項式定理．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】﹣28．【分析】由題意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5項的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通項公式為Tr+1＝C8rx8﹣ryr，當(dāng)r＝6時，T7=C86x2∴（1-yx）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為故答案為：﹣28．【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）16．一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，取4個紅球，沒有白球，有C44種，取3個紅球1個白球，有C43C61種；取2個紅球2個白球，有C42C62，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．（2）設(shè)出取到白球和紅球的個數(shù)，根據(jù)兩個未知數(shù)的和是5，列出方程，根據(jù)分?jǐn)?shù)不少于7，列出不等式，根據(jù)這是兩個整數(shù)，列舉出結(jié)果．【解答】解（1）由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，將取出4個球分成三類情況取4個紅球，沒有白球，有C44種取3個紅球1個白球，有C43C61種；取2個紅球2個白球，有C42C62，∴C44+C43C61+C42C62＝115種（2）設(shè)取x個紅球，y個白球，則x∴x∴符合題意的取法種數(shù)有C42C63+C43C62+C44C61＝186種【點評】本題考查分類加法原理，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是對于分類要做到不重不漏，準(zhǔn)確的表示出結(jié)果．17．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止．（1）若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？（2）若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；應(yīng)用題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）本題是一個分別計數(shù)問題，先排前4次測試，只能取正品，有A64種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有C42?A22種測法，再排除余下4件的測試位置有A44種，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．（2）恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，表示第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，利用組合數(shù)寫出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知本題是一個分別計數(shù)問題，先排前4次測試，只能取正品，有A64種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有C42?A22＝A42種測法，再排余下4件的測試位置有A44種測法．∴共有不同排法A64?A42?A44＝103680種．（2）第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)．∴共有不同測試方法A41?（C61?C33）A44＝576種．【點評】本題考查分步計數(shù)問題，考查排列組合的實際應(yīng)用，考查用排列組合數(shù)表示方法數(shù)，本題是一個易錯題，易錯點在第二問的對于第5次測試恰為最后一件次品的理解．18．一場晚會有5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）前4個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？（2）3個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？【考點】排列及排列數(shù)公式；排列組合的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先不考慮限制條件，8個節(jié)目全排列有A88種方法，前4個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個節(jié)目全是唱歌有（2）要把3個舞蹈節(jié)目要排在一起，則可以采用捆綁法，把三個舞蹈節(jié)目看作一個元素和另外5個元素進(jìn)行全排列，不要忽略三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列．（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，即先把5個唱歌節(jié)目排列，形成6個位置，選三個把舞蹈節(jié)目排列．【解答】解（1）∵8個節(jié)目全排列有A88若前4個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個節(jié)目全是唱歌有A5∴前4個節(jié)目中要有舞蹈有A8（2）∵3個舞蹈節(jié)目要排在一起，∴可以把三個舞蹈節(jié)目看作一個元素和另外5個元素進(jìn)行全排列，三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列有A66（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，先把5個唱歌節(jié)目排列，形成6個位置，選三個把舞蹈節(jié)目排列，有A55【點評】本題是一個排列組合典型，文科在高考時能考到，理科近幾年單獨考查排列組合的題目都是以選擇和填空出現(xiàn)，實際上所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題．19．設(shè)（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）設(shè)（1+3）n＝a+b3，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）運用二項式定理，分別求得a2，a3，a4，結(jié)合組合數(shù)公式，解方程可得n的值；（2）方法一、運用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)公式求得a，b，計算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1-3）5＝a﹣b3【解答】解：（1）由（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2可得a2=Cn2=n(n-1)a32＝2a2a4，可得（n(n-1)(n-2)6）解得n＝5；（2）方法一、（1+3）5=C50+C513+C52（3）2+C53（3）3由于a，b∈N*，可得a=C50+3C52+9C54=1+30+45＝可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+3）5=C50+C513+C52（3）2+C53（3）3（1-3）5=C50+C51（-3）+C52（-3）2+C=C50-C513+C52（3）2-C53由于a，b∈N*，可得（1-3）5＝a﹣b3可得a2﹣3b2＝（1+3）5?（1-3）5＝（1﹣3）5＝﹣【點評】本題主要考查二項式定理、組合數(shù)公式的運用，考查運算能力和分析問題能力，屬于中檔題．20．有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)（結(jié)果用數(shù)字表示）．（1）共有多少種放法？（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？（3）恰有一個盒內(nèi)放2個球，有多少種放法？（4）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；應(yīng)用題；排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，即可得到；（2）先從四個盒子中任意拿出去1個，再將4個球分成2，1，1的三組，然后再排，運用分步乘法計數(shù)原理，即可；（3）“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，即可得到；（4）先從四個盒子中任意拿走兩個，問題即為：4個球，放入兩個盒子中，每個不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，2）．分別求出種數(shù)，由兩個計數(shù)原理，即可得到．【解答】解：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有：44＝256種．（2）為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，再將4個球分成2，1，1的三組，有C4其余兩個球放兩個盒子，全排列即可．由分步乘法計數(shù)原理，共有放法：C41?C42?（3）“恰有一個盒內(nèi)放2個球”，即另外三個盒子中恰有一個空盒．因此，“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．（4）先從四個盒子中任意拿走兩個有C42種，然后問題轉(zhuǎn)化為：4個球，放入兩個盒子中，每個不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，第一類，可從4個球選3個，然后放入一個盒子中，即可，有C43?第二類，有C4共有C43?C由分步計數(shù)原理得，恰有兩個盒不放球，共有6×14＝84種放法．【點評】本題考查排列組合應(yīng)用題，考查兩個計數(shù)原理的運用，注意做到不重不漏，同時考查運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．?dāng)?shù)字問題數(shù)字問題2．排列及排列數(shù)公式【知識點的認(rèn)識】1．定義（1）排列：一般地，從n個不同的元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號An2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝3．簡單排列問題簡單排列問題4．從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問題從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問題5．排列組合的綜合應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化．對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）