山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第三講邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞學(xué)案含解析

PAGE9-第三講邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一簡(jiǎn)潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∧q，(2)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∨q，(3)對(duì)一個(gè)命題p的否定記作?p，(4)命題p∧q，p∨q，?p的真假推斷真值表pq?pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假學(xué)問(wèn)點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞1．全稱量詞與全稱命題(1)短語(yǔ)“全部的”“隨意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．(3)全稱命題“對(duì)M中隨意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x).2．存在量詞與特稱命題(1)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．(3)特稱命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x0∈M，p(x0).3．含有一個(gè)量詞的命題的否定(1)命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)(2)p∨q的否定是(?p)∧(?q)；p∧q的否定是(?p)∨(?q).eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系．(1)“或”與集合的“并”親密相關(guān)，集合的并集是用“或”來(lái)定義的，命題“p∨q”為真有三個(gè)含義：只有p成立，只有q成立，p、q同時(shí)成立；(2)“且”與集合的“交”親密相關(guān)，集合的交集是用“且”來(lái)定義的，命題p∧q為真表示p、q同時(shí)成立；(3)“非”與集合中的補(bǔ)集相類似．2．常用短語(yǔ)的否定詞若給定語(yǔ)為等于大于是且或肯定都是至多有一個(gè)至少有一個(gè)至多有n個(gè)其否定語(yǔ)為不等于小于或等于不是或且肯定不不都是至少有兩個(gè)沒(méi)有至少有n＋1個(gè)eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列推斷正確的是(ABD)A．命題“2024≥2024”是真命題B．命題p和?p不行能都是真命題C．“全等三角形的面積相等”是特稱命題D．命題?(p∧q)是假命題，則命題p，q都是真命題題組二走進(jìn)教材2．(選修2－1P23T2改編)下列命題中的假命題是(C)A．?x0∈R，lgx0＝1 B．?x0∈R，sinx0＝0C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0[解析]對(duì)于C，隨意x∈R，x3∈R，故選C．3．(選修2－1P18A1(3)，改編)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題?p，?q，p∨q，p∧q中真命題的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]命題p是真命題，q是真命題，因此命題?p，?q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題，故選B．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·全國(guó)卷Ⅲ，5分)記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個(gè)命題①p∨q②(?p)∨q③p∧(?q)④(?p)∧(?q)這四個(gè)命題中，全部真命題的編號(hào)是(A)A．①③ B．①②C．②③ D．③④[解析]方法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，直線2x＋y＝9和直線2x＋y＝12均穿過(guò)了平面區(qū)域D，不等式2x＋y≥9表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x＋y＝9及其右上方的區(qū)域，所以命題p正確；不等式2x＋y≤12表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x＋y＝12及其左下方的區(qū)域，所以命題q不正確．所以命題p∨q和p∧(?q)正確．故選A．方法二：在不等式組表示的平面區(qū)域D內(nèi)取點(diǎn)(7,0)，點(diǎn)(7,0)滿意不等式2x＋y≥9，所以命題p正確；點(diǎn)(7,0)不滿意不等式2x＋y≤12，所以命題q不正確．所以命題p∨q和p∧(?q)正確．故選A．5．(2024·浙江，5分)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(D)A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?x∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2[解析]依據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選D．6．(2024·山東，5分)若“?x∈[0，eq\f(π,4)]，tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為1.[解析]由已知可得m≥tanx(x∈[0，eq\f(π,4)])恒成立．設(shè)f(x)＝tanx(x∈[0，eq\f(π,4)])，明顯該函數(shù)為增函數(shù)，故f(x)的最大值為f(eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即實(shí)數(shù)m的最小值為1.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假推斷——自主練透例1(1)在一次跳高競(jìng)賽前，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各試跳了一次．設(shè)命題p表示“甲的試跳成果超過(guò)2米”，命題q表示“乙的試跳成果超過(guò)2米”，則命題p∨q表示(D)A．甲、乙兩人中恰有一人的試跳成果沒(méi)有超過(guò)2米B．甲、乙兩人中至少有一人的試跳成果沒(méi)有超過(guò)2米C．甲、乙兩人中兩人的試跳成果都沒(méi)有超過(guò)2米D．甲、乙兩人中至少有一人的試跳成果超過(guò)2米(2)若命題“p∨q”是真命題，“?p”為真命題，則(B)A．p真，q真 B．p假，q真C．p真，q假 D．p假，q假(3)(多選題)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為假命題的是(ACD)A．p∧q B．p∧(?q)C．(?p)∧q D．(?p)∧(?q)(4)(2024·四川成都雙流中學(xué)模擬)在射擊訓(xùn)練中，某戰(zhàn)士射擊了兩次，設(shè)命題p是“第一次射擊擊中目標(biāo)”，命題q是“其次次射擊擊中目標(biāo)”，則命題“兩次射擊中至少有一次沒(méi)有擊中目標(biāo)”為真命題的充要條件是(A)A．(?p)∨(?q)為真命題 B．p∨(?q)為真命題C．(?p)∧(?q)為真命題 D．p∨q為真命題[解析](1)因?yàn)槊}p表示“甲的試跳成果超過(guò)2米”，命題q表示“乙的試跳成果超過(guò)2米”，所以命題p∨q表示“甲、乙兩人中至少有一人的試跳成果超過(guò)2米”，故選D．(2)“?p”為真命題，所以p為假命題；又因?yàn)槊}“p∨q”是真命題，所以q為真命題．(3)∵x>0，∴x＋1>1，∴l(xiāng)n(x＋1)>ln1＝0，∴命題p為真命題．當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，a>b成立，但a2>b2不成立．∴命題q為假命題．∴命題p∧(?q)為真命題，其余三個(gè)都是假命題．故選A、C、D．(4)∵命題p是“第一次射擊擊中目標(biāo)”，命題q是“其次次射擊擊中目標(biāo)”，則命題?p是“第一次射擊沒(méi)擊中目標(biāo)”，命題?q是“其次次射擊沒(méi)擊中目標(biāo)”，∴命題“兩次射擊中至少有一次沒(méi)有擊中目標(biāo)”是(?p)∨(?q)，故選A．名師點(diǎn)撥?“p∨q”“p∧q”“?p”形式命題真假的推斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式．(2)推斷其中命題p、q的真假．(3)確定“p∧q”“p∨q”“?p”等形式命題的真假．p∧q中p、q有一假為假，p∨q中，p、q有一真為真，p與?p必定是一真一假．考點(diǎn)二含有一個(gè)量詞的命題——多維探究角度1全稱命題、特稱命題的真假例2(多選題)(2024·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上期中改編)下列命題中，假命題是(ABD)A．?x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)B．?x∈(0，π)，sinx>cosxC．?x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1[解析]對(duì)于A，由同角三角函數(shù)和平方關(guān)系，我們知道?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，所以A為假命題；對(duì)于B，取特別值，當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，sinx＝cosx＝eq\f(\r(2),2)，所以B為假命題；對(duì)于C，一元二次方程根的判別式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以C為真命題；對(duì)于D，判別式Δ＝1－4＝－3<0，所以D錯(cuò)誤．故選A、B、D．角度2含一個(gè)量詞的命題的否定例3(1)(2024·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高三測(cè)試)已知p：?x0∈R,3x0<xeq\o\al(3,0)，那么?p為(C)A．?x∈R,3x<x3 B．?x0∈R,3x0>xeq\o\al(3,0)C．?x∈R,3x≥x3 D．?x0∈R,3x0≥xeq\o\al(3,0)(2)(2024·陜西部分學(xué)校摸底)命題“?x∈R，eq\f(x,x－1)≥0”的否定是(D)A．?x∈R，eq\f(x0,x0－1)<0 B．?x∈R,0<x0<1C．?x∈R，eq\f(x,x－1)≤0 D．?x∈R,0<x0≤1[解析](1)因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，所以?p：?x∈R,3x≥x3，故選C．(2)?x∈R，eq\f(x,x－1)≥0的否定是?x0∈R，使eq\f(x,x－1)不大于等于0，包括小于零和無(wú)意義，即?x0∈R,0<x0<1或x0＝1，故選D．名師點(diǎn)撥?全(特)稱命題真假的推斷方法全稱命題特稱命題真假真假真假法一證明全部對(duì)象使命題為真存在一個(gè)對(duì)象使命題為假存在一個(gè)對(duì)象使命題為真證明全部對(duì)象使命題為假法二否定為假否定為真否定為假否定為真注：當(dāng)推斷原命題的真假有困難時(shí)，可通過(guò)推斷它的逆否命題的真假來(lái)實(shí)現(xiàn)．角度3含參命題中參數(shù)的取值范圍例4(1)(2024·湖南邵陽(yáng)高三上10月聯(lián)考)若命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2mx0＋m＋2<0”為假命題，則m的取值范圍是(C)A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．[－1,2] D．(－1,2)(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m，若對(duì)于?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A)A．[eq\f(1,4)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,4)]C．[eq\f(1,3)，＋∞) D．(－∞，eq\f(1,3)][解析](1)由已知得不等式，xeq\o\al(2,0)＋2mx0＋m＋2<0無(wú)解，所以Δ≤0即(2m)2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2，故選C．(2)當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝0，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).[例4(2)引申1]把本例中“?x2∈[1,2]”改為：“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,2).[解析]當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝0，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由f(x)min≥g(x)max得0≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2).[例4(2)引申2]把本例中，?x1∈[0,3]改為?x1∈[0,3]其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,4)－ln10.[解析]當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)max＝f(3)＝ln10，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)max≥g(x)min得ln10≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4)－ln10.答案：m≥eq\f(1,4)－ln10[例4(2)引申3]把本例中，?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]改為?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,2)－ln10.[解析]當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)max＝f(3)＝ln10，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由f(x)max≥g(x)max，得ln10≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2)－ln10.答案：m≥eq\f(1,2)－ln10名師點(diǎn)撥?依據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)先求出每個(gè)簡(jiǎn)潔命題為真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍．(2)再依據(jù)復(fù)合命題的真假確定各個(gè)簡(jiǎn)潔命題的真假狀況(有時(shí)不肯定只有一種狀況)．(3)最終由(2)的結(jié)論求出滿意條件的參數(shù)取值范圍．變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)下列命題中為假命題的是(B)A．?x∈R，ex>0 B．?x∈N，x2>0C．?x0∈R，lnx0<1 D．?x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1(2)(角度2)(2024·江西南昌蓮塘一中10月月考)命題p：?x0∈N，xeq\o\al(2,0)<1，則?p是(D)A．?x0∈N，xeq\o\al(2,0)≥1 B．?x0∈N，xeq\o\al(2,0)>1C．?x∈N，x2>1 D．?x∈N，x2≥1(3)(角度3)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”．若命題“(?p)∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A．(－∞，－2)∪{1} B．(－∞，－2]∪[1,2]C．(1，＋∞) D．[－2,1](4)(角度3)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a和g(x)＝2x＋eq\r(x＋1)，對(duì)?x1∈[－1，＋∞)，?x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1].[解析](1)對(duì)于選項(xiàng)A，由函數(shù)y＝ex的圖象可知，?x∈R，ex>0，故選項(xiàng)A為真命題；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，故選項(xiàng)B為假命題；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x0＝eq\f(1,e)時(shí)，lneq\f(1,e)＝－1<1，故選項(xiàng)C為真命題；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x0＝1時(shí)，sineq\f(π,2)＝1，故選項(xiàng)D為真命題，故選B．(2)特稱命題的否定是全稱命題，所以?p是?x∈N，x2≥1.故選D．(3)命題p為真命題時(shí)a≤1；命題q：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”為真命題，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實(shí)根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(?p)∧q為真命題，即?p真且q真，所以a>1，即a的取值范圍為(1，＋∞)．故選C．(4)因?yàn)閒(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因?yàn)間(x)＝2x＋eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)∈[－2，＋∞)．由題意得a－1≤－2，所以a≤－1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升簡(jiǎn)易邏輯的綜合應(yīng)用例5