山東專用2025版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第一講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖學案含解析

PAGE1-第七章立體幾何第一講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形結構特征①有兩個面相互__平行且全等__，其余各面都是__四邊形__．②每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互__平行__有一個面是__多邊形__，其余各面都是有一個公共頂點的__三角形__的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，__截面__和__底面__之間的部分側棱__平行且相等__相交于__一點__但不肯定相等延長線交于__一點__側面形態(tài)__平行四邊形____三角形____梯形__學問點二旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，__垂直__于底面相交于__一點__延長線交于__一點__軸截面全等的__矩形__全等的__等腰三角形__全等的__等腰梯形____圓__側面展開圖__矩形____扇形____扇環(huán)__學問點三三視圖與直觀圖三視圖三視圖包括__正(主)視圖__、__側(左)視圖__、__俯視圖__畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測面法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面__垂直__．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍__平行于坐標軸__，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度__不變__，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為__原來的一半__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．三視圖的正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長度和高度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度；由此得到：主俯長對正，主左高平齊，俯左寬相等．2．一個平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．三變：坐標軸的夾角變更，與y軸平行線段的長度變更(減半)，圖形變更．三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結論中錯誤的是(ABD)A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分D．用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱題組二走進教材2．(必修2P19T2)下列說法正確的是(D)A．相等的角在直觀圖中仍舊相等B．相等的線段在直觀圖中仍舊相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍舊平行[解析]由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能變更，而線段的平行關系不變．題組三考題再現(xiàn)3．(2024·山東德州質檢)如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側視圖是(C)[解析]此幾何體側視圖是從左邊向右邊看．故選C．4．(2024·北京春季中學模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體是(A)A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．四棱柱[解析]對應三視圖的幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，故選A．5．(2024·全國Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在側視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(B)A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2[解析]先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖①所示．圓柱的側面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．|ON|＝eq\f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，∴|MN|＝eq\r(|OM|2＋|ON|2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一空間幾何體的結構特征——自主練透例1(1)(多選題)給出下列四個命題，其中錯誤命題是(ABCD)A．有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱B．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．側面都是矩形的直四棱柱是長方體D．若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱(2)下列結論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用隨意一個平面截一個幾何體，所得截面都是圓面，則這個幾何體肯定是球．其中正確結論的序號是__⑤__．[解析](1)相識棱柱一般要從側棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形態(tài)兩方面去分析，故A、C錯誤，對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明，故B錯誤，平行六面體的兩個相對側面也可能與底面垂直且相互平行，故D錯誤，故選A、B、C、D．(2)①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，②錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，③錯誤；④中假如用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺，④錯；只有球滿意隨意截面都是圓面，⑤正確．名師點撥?空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結構特征進行辨析．考點二空間幾何體的三視圖——多維探究角度1由幾何體的直觀圖識別三視圖例2(2024·課標Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(A)[解析]由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A．角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例3(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由該四棱錐的三視圖，得其直觀圖如圖，由正視圖和側視圖都是等腰直角三角形，知PD⊥平面ABCD，所以側面PAD和PDC都是直角三角形，由俯視圖為直角梯形，易知DC⊥平面PAD．又AB∥DC，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，所以側面PAB也是直角三角形.易知PC＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(5)，PB＝3，從而△PBC不是直角三角形，故選C．角度3由三視圖的兩個視圖推想另一視圖例4(2024·衡水金卷)某幾何體的正視圖與側視圖如圖所示，則它的俯視圖不行能是(C)[解析]若幾何體為兩個圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B；若幾何體為兩個四棱錐的組合體，則俯視圖為D；不行能為C，故選C．名師點撥?1．由幾何體的直觀圖求三視圖．留意主視圖、左視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實線表示，看不到的部分用虛線表示．2．由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)，要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖．3．由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，再找其剩下部分三視圖的可能形式，當然作為選擇題，也可將選項逐項檢驗，看看給出的部分三視圖是否符合．〔變式訓練1〕(1)(角度1)(2024·東北四市聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是線段CD的中點，則三棱錐P－A1B1(2)(角度2)(2024·溫州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(A)(3)(角度3)一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項中，不行能是該錐體的俯視圖的是(C)[解析](1)畫出原正方體的側視圖，明顯對于三棱錐P－A1B1A，B(C(2)利用解除法求解．B的側視圖不對．C圖的俯視圖不對，D的正視圖不對，解除B，C，D，A正確，故選A．(3)若俯視圖為選項C，側視圖的寬應為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不行能是選項C．考點三空間幾何體的直觀圖——師生共研例5(2024·寧夏石嘴山三中模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(D)A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2[解析]如圖①、②所示的實際圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a．∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2．[引申]若已知△ABC的平面直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為eq\f(\r(6),2)a2．[解析]在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2．名師點撥?1．在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段的位置，留意“三變”與“三不變”；平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系是S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．2．在原圖形中與x軸或y軸平行的線段，在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點后，用平滑的曲線連接而畫出．〔變式訓練2〕一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(B)A．eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2C．eq\f(\r(2),2)a2 D．eq\f(2\r(2),3)a2[解析]由題意可知原平行四邊形一邊長為a，此邊上的高為2eq\r(2)a，故其面積為2eq\r(2)a2.故選B．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升三視圖識圖不準致誤例6(2024·福建福州模擬)如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應的側視圖可以是(B)[錯因分析](1)不能正確把握投影方向致誤；(2)不能正確判定上表面橢圓投影形態(tài)致誤；(3)不能正確判定投影線的虛實致誤．[解析]圓柱被不平行于底面的平面所截得的截面為橢圓，結合正視圖，可知側視圖最高點在中間，故選B．名師點撥?對于簡潔幾何體的組合體，在畫其三視圖時首先應分清它是由哪些簡潔幾何體組成的，再畫其三視圖．另外要留意交線的位置，可見的輪廓線