2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 01 雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型 教師與學(xué)生版

專(zhuān)題01雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門(mén)知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類(lèi)模型通常由問(wèn)題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫(xiě)出的線段（角度）和差種類(lèi)較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，分別求得，，，再根據(jù)線段的和與差，計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，，∴，，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B符合題意；，故選項(xiàng)C不符合題意；，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及中點(diǎn)的定義，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解決問(wèn)題．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)校考期末）如圖，線段，長(zhǎng)度為2的線段在線段上運(yùn)動(dòng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，則．【答案】7【分析】先求解，再證明，，再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵線段、的中點(diǎn)為、，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解線段的和差運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號(hào)是．【答案】①②③【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：①點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，故①正確；②點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，．故②正確；③點(diǎn)是的中點(diǎn)，．，故③正確；④，故④錯(cuò)誤．故正確的有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的概念和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類(lèi)推……，線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榫€段，是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；，所以，所以，答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．例5．（2022秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┲本€l上有三點(diǎn)A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點(diǎn)則的長(zhǎng)是．【答案】或【分析】本題沒(méi)有給出圖形，在畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)正確畫(huà)出的圖形解題．【詳解】解：第一種情況：B在線段上，如圖，則；第二種情況：B在身線上，在線段外，如圖，則．答：線段MN的長(zhǎng)是或．故答案為：1或7【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，由于B的位置有兩種情況，所以本題的值就有兩種情況，做這類(lèi)題時(shí)學(xué)生一定要思維細(xì)密．例6．（2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，又，，．（2）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，，，．（3）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義和求兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法是解題的關(guān)鍵．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算；（2）先畫(huà)出圖形，再利用線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】（1）解：點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；（2）解：如圖所示，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，的長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)．例8．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結(jié)果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后，兩種情況分類(lèi)討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例9．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出時(shí)間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時(shí)間t為4或或．【分析】（1）（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；（3）當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，可分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)；③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得方程，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，即0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，得10-2t=6-t，解得t=4；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，即5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)，2t-10=16-3t，解得t=；③當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上，即＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)，6-t=3t-16，解得t=；④當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，即6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，2t-10=t-6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時(shí)間t為4或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例3．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)、分別是、的角平分線，可得，，根據(jù)，可得，再結(jié)合，可得，問(wèn)題隨之得解．【詳解】∵、分別是、的角平分線，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，明確題意，厘清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

【答案】①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無(wú)法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】由角平分線性質(zhì)推理得，，，據(jù)此規(guī)律可解答．【詳解】解：，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．例6．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】110°或130°或【分析】A、根據(jù)角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類(lèi)討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；B、根據(jù)角的和差得到∠AOB，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類(lèi)討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、如圖，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為130°或110°，故答案為：130°或110°；B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為150°-α°或120°-α°，故答案為：150°-α°或120°-α°；【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校考期末）解答題：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個(gè)角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無(wú)法確定射線的位置，所以需要分類(lèi)討論：若射線在的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）∵，平分，∴∵分別平分，．∴∴．（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，．若射線在外部時(shí)，如圖3∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計(jì)算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例8．（2022秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫(huà)射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若這兩個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為_(kāi)_________．(2)如圖2，已知，過(guò)點(diǎn)O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）根據(jù)“3等分線”的定義分和兩種情況求解即可；（2）分為的“3等分線”和為的“3等分線”兩種情況求解即可．【詳解】（1）根據(jù)“3等分線”的定義可得，或∵∴或故答案為：或（2）①當(dāng)OA在的內(nèi)部時(shí)，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或②當(dāng)OB在的內(nèi)部時(shí)，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或此時(shí)，或綜上，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的和差倍分，熟練掌握“3等分線”的定義是解答本題的關(guān)鍵．例9．（2022·四川·成都市七年級(jí)期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫(xiě)出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數(shù)作為已知量，求得∠BPC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結(jié)論：．理由如下：設(shè)，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取，再截取，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況B，在點(diǎn)A同側(cè)時(shí)，B，在點(diǎn)A兩側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：①B，在點(diǎn)A同側(cè)時(shí)，如圖所示：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．②B，在點(diǎn)A兩側(cè)時(shí)，如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合．2．（2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)與點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)兩種情況畫(huà)出圖形求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示．，，．是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示．，，．是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．綜上所述：線段MN的長(zhǎng)度為5cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差，線段的中點(diǎn)等知識(shí)，分點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)與點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∴，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；∵，，∴，∵，，∴，故④不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差運(yùn)算，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系求解一些線段之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，……由此可得：，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，相對(duì)較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·廣西·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動(dòng)，且．下列說(shuō)法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫(huà)出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說(shuō)法；乙：畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說(shuō)法；丙：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，利用中點(diǎn)公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，，故甲的說(shuō)法錯(cuò)誤；乙：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說(shuō)法正確；丙：點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，∵O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，點(diǎn)N表示的數(shù)是，∴，故丙的說(shuō)法正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算，整式的加減等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作直角，以點(diǎn)為端點(diǎn)作一條射線．通過(guò)折疊的方法，使與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：平分，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．7．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．9．（2023吉林七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中只有兩個(gè)120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補(bǔ)角有3個(gè) D．圖中∠AOE的余角有2個(gè)【答案】C【詳解】解：∵射線OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，∴，故A選項(xiàng)不符合題意；，故B選項(xiàng)不符合題意；∠AOC與∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互為補(bǔ)角，故C選項(xiàng)符合題意；∠AOE與∠AOC、∠COD、∠BOD都是互為余角，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，余角與補(bǔ)角的定義，正確掌握角平分線的定義求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·重慶開(kāi)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個(gè)結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】結(jié)合圖形根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計(jì)算即可判斷．【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，∵平分，∴，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故②正確；③時(shí)，時(shí)，時(shí)故③正確；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論為①②③；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計(jì)算．11．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．、為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，、同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義以及點(diǎn)、可確定點(diǎn)、表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度；②由，分兩種情況討論：點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，可得到點(diǎn)表示的數(shù)，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)可得點(diǎn)表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度；③當(dāng)時(shí)，可得到、的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)、，即可得到的長(zhǎng)；④當(dāng)時(shí)，可得到、的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)、，進(jìn)而判斷．【詳解】①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，表示的數(shù)是1，∴，，即表示的數(shù)是2，∴，故①正確；②若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)是4，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，即表示的數(shù)是，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)是，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，即表示的數(shù)是，∴，綜上，，故②不正確；③當(dāng)時(shí)，，，∵、表示的數(shù)分別是，1，∴、表示的數(shù)分別是，，∴，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，，∴、表示的數(shù)分別是，，∵點(diǎn)在、的左側(cè)，不可能是線段的中點(diǎn)故④不正確；故答案為：①③【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點(diǎn)間的距離、線段的中點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．12．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．【答案】120【分析】①利用角平分線的定義可得，，易得，利用，可得結(jié)果；②由角的加減可得，可得，再利用可得結(jié)果【詳解】解：①，，，，平分，平分，，，，，故答案為120；②，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義有關(guān)知識(shí)，利用角平分線的定義找出角的數(shù)量關(guān)系是解決本題關(guān)鍵．13．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，則．【答案】或13【分析】畫(huà)出圖形，分兩種情況討論①；②．設(shè)，根據(jù)直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長(zhǎng).【詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖1設(shè)，則，，，∵直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91

②當(dāng)時(shí)，如圖2,故答案為：或13【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是要弄清楚直線l上的線段的條數(shù)，及要進(jìn)行分類(lèi)討論.14．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為b，則線段的長(zhǎng)為（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，．∵線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，∴分以下5種情況說(shuō)明：①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖1，即，，，；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，即，；③當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖3，即，；④當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得：；⑤當(dāng)在右側(cè)時(shí)，同理可得：；綜上所述：線段的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．15．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，P，Q分別是的中點(diǎn)，若，則．【答案】1【分析】先由線段中點(diǎn)定義得出，，又因?yàn)?，利用線段和差即可求得，，代入即可求解．【詳解】解∶∵，P，Q分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，，∴，故答案為∶1．【點(diǎn)睛】本題考查線段和差倍分，熟練掌握線段和差倍分的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變．所有結(jié)論正確的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】①根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據(jù)數(shù)軸可直觀得出；③如圖2，分別計(jì)算，的值可判斷；④分四種情況，根據(jù)圖形分別計(jì)算的長(zhǎng)即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；故②不正確；③如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴，∴；故③正確；④∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，∴分四種情況：1）當(dāng)C在O的左側(cè)時(shí)，如圖3，；2）當(dāng)B，C在O的兩側(cè)時(shí)，如圖4，；3）當(dāng)B，C在線段上時(shí)，如圖5，；4）當(dāng)B和C都在A的右邊時(shí)，如圖6，；∴在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，數(shù)軸和線段的中點(diǎn)，線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變．所有結(jié)論正確的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】①根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據(jù)數(shù)軸可直觀得出；③如圖2，分別計(jì)算，的值可判斷；④分四種情況，根據(jù)圖形分別計(jì)算的長(zhǎng)即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；故②不正確；③如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴，∴；故③正確；④∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，∴分四種情況：1）當(dāng)C在O的左側(cè)時(shí)，如圖3，；2）當(dāng)B，C在O的兩側(cè)時(shí)，如圖4，；3）當(dāng)B，C在線段上時(shí)，如圖5，；4）當(dāng)B和C都在A的右邊時(shí)，如圖6，；∴在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，數(shù)軸和線段的中點(diǎn)，線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線上運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由中點(diǎn)的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上，，②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵線段，∴，∴．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上，，如圖，∵，為的中點(diǎn)，∴，解得②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上，，如圖，同理：，解得綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為或20．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，理由如下：如圖，∵，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，線段中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解題意，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．19．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)校考期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應(yīng)用】如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是個(gè)定值，求m的值；②t為何值時(shí)，．【答案】(1)，(2)①；②1或8【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得出答案；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，再根據(jù)的值是個(gè)定值即可求出的值；②分點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)兩種情況分析即可．【詳解】（1）解：，，，，，，∴，∴故答案為：，；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得：，，的值是個(gè)定值，的值是個(gè)定值，；②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，，的值為1或8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．20．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點(diǎn)，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長(zhǎng)．③若，分別是，的等分點(diǎn)，即，，則______．【答案】(1)3(2)①；②；③【分析】（1）由，，得，根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，即得，，故；（2）①由，分別是，的中點(diǎn)，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故．【詳解】（1）解：，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，；故答案為：；（2）解：①，分別是，的中點(diǎn)，，，，，；故答案為：；②，，，，，，；③，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，作射線的反向延長(zhǎng)線，在的下方，且，反向延長(zhǎng)射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）通過(guò)角平分線的定義計(jì)算即可證明；（2）通過(guò)角平分線的定義計(jì)算即可證明；（3）設(shè)，，通過(guò)角平分線的定義以及垂直的定義求得，，計(jì)算得出，等，再求得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∴；（2）證明：∵平分，∴，∴=；（3）解：設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，即，，，∵，平分，∴，，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵反向延長(zhǎng)射線得到射線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的含義，垂直的定義，角的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，利用方程思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．22．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時(shí)，平分，平分，當(dāng)，時(shí)，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒(méi)有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）沒(méi)有關(guān)系，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可求，根據(jù)即可解答；（2）由題意可得進(jìn)而求出；（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，，進(jìn)而求出．【詳解】解：（1）∵平分，平分，∴，，∴，；（2）∵，，，∴，∴；（3）與的大小無(wú)關(guān)．理由：∵，，∴，∵是的平分線，是的平分線，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，以及角平分線，解決本題的關(guān)鍵是利用角的和與差．23．（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)和的位置如圖3時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再證明，，結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案；（3）設(shè)，可得，證明，，再利用角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在內(nèi)部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）設(shè)，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，熟練利用角的和差運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．24．（2023·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究【背景知識(shí)】如圖甲，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)若，則

；(2)當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；【類(lèi)比探究】(3)對(duì)于角，也有和線段類(lèi)似的規(guī)律．如圖乙，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，，分別平分和，若度，度，求．【答案】(1)(2)不變，．(3)．【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)分別求解，，從而可得的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)，再根據(jù)中點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo)即可；（3）根據(jù)再結(jié)合角平分線進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，．∴．（2）EF的長(zhǎng)度不變．理由如下：E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，．∴（3）∵，分別平分和∴，．∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段中點(diǎn)的含義，線段的和差，角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，熟練掌握線段中點(diǎn)以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．25．（2023·江蘇七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則；（3）（解決問(wèn)題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)平分線段長(zhǎng)的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可．（2）由“奇妙點(diǎn)”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點(diǎn)；情況2：，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)；情況3：，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長(zhǎng)度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點(diǎn)”，故此題分兩大類(lèi)情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，分別求出對(duì)應(yīng)時(shí)間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，求出每種情況對(duì)應(yīng)的時(shí)間．【詳解】（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可知：被中點(diǎn)平分的兩條線段長(zhǎng)度是線段總長(zhǎng)的一半，根據(jù)“奇妙點(diǎn)”定義可知：線段的中點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點(diǎn)”根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當(dāng)，即N為CD的中點(diǎn)時(shí)，有CN=12cm．當(dāng)，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=8cm．當(dāng)，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點(diǎn)不可能是“奇妙點(diǎn)”，故P或Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．t秒后，，．當(dāng)P點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．由“奇妙點(diǎn)”定義可分三種情況．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點(diǎn)、線段長(zhǎng)度、列方程等知識(shí)點(diǎn)，本題討論情況較多，從側(cè)面考察了數(shù)學(xué)中比較重要的分類(lèi)討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進(jìn)行分類(lèi)討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關(guān)鍵．26．（2022·廣東茂名·七年級(jí)期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD．（1）如圖1，OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如圖2，OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上，將∠AOB繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至OB邊第一次與OD邊重合為止，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)間記為t秒．若∠MON＝5∠BOC時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的t值及∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）或【分析】（1）根據(jù)角平分線定義計(jì)算（2）根據(jù)角平分線定義和角的和差運(yùn)算．（3）根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)變化列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；（2）∵OM、ON分別平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠BOD．∴∠MON＝（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝．（3）當(dāng)∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上時(shí)，∠AOD為平角，∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．當(dāng)0≤t≤10時(shí)，，由(2)可知．∴5（30﹣3t）＝75時(shí)t＝5．∠AOD＝180﹣3t＝165°．當(dāng)10＜t≤30時(shí)，∠BOC＝3（t﹣10）°，，∴75＝5×3（t﹣10），t＝15，此時(shí)∠AOD＝180﹣3t＝135°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線相關(guān)知識(shí)及角的計(jì)算，掌握角的和差關(guān)系，注意分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．27．（2023·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：、、，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個(gè)角的平分線_________這個(gè)角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開(kāi)始，以每秒8°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成90°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒；同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ是的“定分線”時(shí)，求t的值．【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)OC是角∠AOB的平分線時(shí)，∵∠AOB=2∠AOC，∴一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“定分線”；故答案為：是；（2）∵∠MPN=分三種情況①∵射線PQ是的“定分線”，∴=2=，∴=，②∵射線PQ是的“定分線”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射線PQ是的“定分線”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案為：或或；（3）依題意有三種情況：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t為2.4秒或4秒或6秒時(shí)，PQ是∠MPN的“定分線”．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的幾何應(yīng)用，“定分線”定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解“定分線”的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵．

專(zhuān)題01.雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門(mén)知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類(lèi)模型通常由問(wèn)題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫(xiě)出的線段（角度）和差種類(lèi)較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，長(zhǎng)度為2的線段在線段上運(yùn)動(dòng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，則．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號(hào)是．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類(lèi)推……，線段的長(zhǎng)為．例5．（2022秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┲本€l上有三點(diǎn)A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點(diǎn)則的長(zhǎng)是．例6．（2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，求的長(zhǎng)．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．例8．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．例9．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出時(shí)間t．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例1．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)校考期末）如圖，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

例3．（2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

例4．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．例5．（2023·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個(gè)角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）例6．（2022秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫(huà)射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若這兩個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為_(kāi)_________．(2)如圖2，已知，過(guò)點(diǎn)O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．例9．（2022·四川·成都市七年級(jí)期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫(xiě)出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取，再截取，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是（

）A． B． C．或 D．或3．（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④4．（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．5．（2023秋·廣西·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動(dòng)，且．下列說(shuō)法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙6．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作直角，以點(diǎn)為端點(diǎn)作一條射線．通過(guò)折疊的方法，使與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．7．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或8．（2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2023吉林七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中只有兩個(gè)120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補(bǔ)角有3個(gè) D．圖中∠AOE的余角有2個(gè)10．（2023秋·重慶開(kāi)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個(gè)結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．、為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，、同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號(hào)）12．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．13．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，則．14．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為b，則線段的長(zhǎng)為（用a，b的式子表示）．15．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，P，Q分別是的中點(diǎn)，若，則．16．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），